竞赛辅导-动力学1

1、理论力学理论力学、工程力学工程力学的的与与解题方法总结暨竞赛辅导系列讲座之四：系列讲座之四：动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用理学院理学院 力学教研室力学教研室主 要 内 容主 要 内 容一、动力学普遍定理的结构二、动量法的应用及常见错误三、能量法的应用及一般步骤四、突解约束问题五、杂题举例一、动力学普遍定理的结构一、动力学普遍定理的结构动能定理积分式积分式微分式微分式机械能守恒定律 功率方程功率方程动量定理动量定理积分式积分式微分式微分式 冲量定理冲量定理 质心运动质心运动 定理定理动量矩定理动量矩定理冲量矩定理冲量矩定理刚体定轴转刚体定轴转动微分方程动微分方程相对质心的相对质

2、心的动量矩定理动量矩定理微分式微分式积分式 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程矢量方程矢量方程，运动与外力的关系运动与外力的关系标量方程标量方程，运动与作功力的关系运动与作功力的关系内 容 之 二内 容 之 二动量法的应用及常见错误图示均质圆盘转动惯量为J，其上绕以细绳，绳悬挂一重为P的重物。现在盘上加一力偶矩为的M力偶，设圆盘的角加速度为 ，问如下等式是否成立？MPJMPr2rgPJMPr正确的是：正确的是：答：不成立。答：不成立。另一方面另一方面：若对轮使用定轴转动微分方程，绳子的拉力并不等于重物的重力，重物加速向上或向下会产生超重或失重的现象。错误原因：错误原因：一方面一方面：若对

3、系统使用动量矩 定理，上面等式中没有考虑到重物的惯性。二、动量法的应用常见错误图示鼓轮对轴的转动惯量为J，悬挂的重物的重量分别为P1、P2，求轮的角加速度的计算公式是否正确？P2P1OJRPrP21图示两齿轮对各自轴的转动惯量分别为J1、J2，求轮的角加速度的计算公式是否正确？O1O2M212JJM二、动量法的应用常见错误222121RgPrgPJRPrP21212iJJM厚度及密度均相等的二大小均质圆盘，用铆钉固结在一起，将大盘的一面静止地放在光滑水平面上，在大盘上受有力偶的作用，力偶矩为2FR，如图所示。已知两圆盘的质量分别为m1=4 kg、m2=1 kg，半径R=2r=100 mm，F=

4、100 N。试求其角加速度，又绕哪点转动？（1）根据质心运动定理可知：系统质心运动守恒，因初始静止，故质心位置不动。解：解：取大、小两圆盘组成质点系。（2）由质心坐标公式确定质心位置：质心C在O、O1点之间，距O点 OC=r/5=20 mm（3）求系统对质心的转动惯量：根据转动惯量的平行轴定理：212212221)(21COmOCmrmRmJC（4）根据相对质心的动量矩定理求角加速度：2rad/S8602CJFRFFORrO1C二、动量法的应用常见错误一均质轮的半径为R、质量为m，在轮的中心有一半径为r的轴，轴上绕两条细绳，绳端各作用一不变的水平力F1和F2，其方向相反，如图所示。如轮对其中心

5、O的转动惯量为J，且轮只滚不滑，求轮中心O的加速度。RrF1F2F1F2mgaFNFsO对轮，由刚体平面运动微分方程有：RFrFFJS21SFFFma21运动学关系：Ra 解：解：以上方程联立求解可得：RmRJrFFRFFa22121)()(二、动量法的应用常见错误一细绳绕在半径为r0.5 m，质量为m=15 kg的均质圆盘上，在绳的一端有常力FT=180 N向上拉动，细绳不可伸长。求（1）圆盘中心的加速度；（2）圆盘的角加速度；（3）细绳的加速度。rCAFTrCAFTmgaCTFmgmaCrFmrT221aC (aa)aCA (ar)aA (ae)C取轮心C为动点，绳子（直线段）为动系ae=

6、 aa- ar= aC- r二、动量法的应用常见错误aChRPPFNFSOCmgaC例例： 图示均质磙子的质量为m，半径为R，对其质心轴C的回转半径为。磙子静止在水平面上，且受一水平拉力P 作用。设拉力P 的作用线的高度为h，磙子只滚不滑，滚动摩阻忽略不计。求静滑动摩擦力Fs ，并分析Fs 的大小和方向与高度h的关系对轮，由刚体平面运动微分方程有：RhPRFms2SCFPma运动学关系：Ra 解：解：以上方程联立求解可得：PRRhPRRhRFs222222122 RRh时，方向如图。二、动量法的应用常见错误例例 图示的传动系统，已知主动轮A的半径为r1，它与电动机的转子对转动轴的转动惯量为J1

7、，从动轮B的半径为r2，它与输出轴对其转动轴的转动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。假如电机启动后，作用在传动轴A上的转动力矩为M，求主动轮的角加速度。ABM11AMFAxFAyFT1FT2BFBxFByFT2FT122注：轮和胶带的重力对轮轴的力矩为零，故图中没有将这些重力画出。21llm二、动量法的应用常见错误二、动量法的应用常见错误2122221121222221112mrJrrJrlJrrrMTT122121rr运动学关系：运动学关系：112211111ddrFFMrlJtTT212222222ddrFFrlJtTT分别对轴分别对轴A、B，由动量矩定理得：，由动量矩定理得：将运动学

8、关系与上面将运动学关系与上面2式联立得：式联立得：11212111rFFMrlJTT21222222rFFMrlJTT 整理得：整理得：212222111mrJrrJM两边胶带张力之差为：两边胶带张力之差为：图示均质圆柱体A、B的质量均为m，半径均为r，在其中部绕以质量不计的细绳。求： （1）圆柱体B下落时轴心的加速度。运动学关系：)(BABra联立解得：rgBA52gaB54mgFT51解：解：分别以轮A、B为研究对象。BO A Bmg BaB FT1 AO A mg FT1 rFmrTA1221对A：1TBFmgmarFmrTB1221对B：二、动量法的应用常见错误由刚体平面运动微分方程得

9、：运动学关系：)(ABBra联立解得：22mrmgrMaB解：解：Bmg BaB FT1 rFMmrTA1221对A：1TBFmgmarFmrTB1221对B：图示均质圆柱体A、B的质量均为m，半径均为r，在其中部绕以质量不计的细绳。求：（2）若在圆柱体A上作用一逆时针的力偶M，能使圆柱体B质心加速度向上的条件。BO A M AO A mg FT1 M 为使aB0：mgrM2二、动量法的应用常见错误如图所示，质量为m的小车置于光滑水平面上。在小车的斜面上，放一质量为m1的均质圆柱。设圆柱与斜面间的静摩擦系数为fS，试分析使圆柱在斜面上作纯滚动的条件。FFNFsamgcossinsNFFma（1

10、）研究小车，平动，列写牛二方程：）研究小车，平动，列写牛二方程：（2）研究轮）研究轮C，平面运动，列写平面运动微分方程为：，平面运动，列写平面运动微分方程为：s1sinFmgamCxFNFsm1gaarCxxN1cosFmgamCyrFmrs22取小车为动系，轮心取小车为动系，轮心C为动点，作加速度分析，为动点，作加速度分析，以建立以建立aCx、 aCy与与a、 间的关系：间的关系：reaaaaraaaaCyCx故CyCxaaaaaa e其中ra rraaCxcos解得sinaaCy二、动量法的应用常见错误2111cos23cossin2mmmgma2111cos23cossin21mmmgm

11、mrtan311mmmmfS（3）上面）上面6个方程（个方程（4个动力学方程个动力学方程+2个运动学条件）联立，解得：个运动学条件）联立，解得：解得解得Fs、FN后，后，NSSFfF利用：利用：得圆柱在斜面上纯滚动的条件：得圆柱在斜面上纯滚动的条件：二、动量法的应用常见错误内 容 之 三内 容 之 三能量法的应用及一般步骤三、能量法的应用及一般步骤P2DO1AEIBFO2P1QQaAaBvAvB2211图示滑轮组中，定滑轮和动滑轮的重量均为Q，半径均为R，可视为均质圆盘。重物A重P1重物B重P2，且P1P2+Q。求重物B的加速度。22222212222121212121212121RgQvgQ

12、RgQvgPvgPTOBABOEvvv222BEADvvvv2RvRvBD21RvRvRvBBE222222127421BvQPPgTAOBvPQvvPP122BvQPPP)2(21PTt ddtvvQPPgBBdd274121BvQPP12BBatvddvO2QPPgQPPa27422121B三、能量法的应用及一般步骤已知：杆O1O2=l，重Q；力偶矩M；均质轮半径r，重P。求曲柄从静止由水平位置转过一角度后的角速度。O1O2rM01T2222221222121213121rgPvgPlgQT1212lv v2122rlrv222292121lgPQTsin292121212lPQMlgPQ

13、glPQlPQM22192sin21212glPQlPQM292cos266质量为m，长为l的均质杆AB放在水平桌面上，其质心C到桌边缘O的距离为d。该杆从水平位置由静止释放，开始围绕桌子边缘O转动。若杆与桌边缘O之间的静摩擦系数为fS，试求开始滑动时杆AB与水平面之间的夹角。OABmgCFNFsatCanC)12(1212222dlmdmmlJOsin212dmgJOOJdmgsin22cosdmgJOOJdmgcos OtCJdmgdacos2OnCJdmgdasin222NcosFmgmatCssinFmgmanC?NF?sFsNsfFF?三、能量法的应用及一般步骤三、能量法的应用及一般

14、步骤212222111mrJrrJM例例 图示的传动系统，已知主动轮A的半径为r1，它与电动机的转子对转动轴的转动惯量为J1，从动轮B的半径为r2，它与输出轴对其转动轴的转动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。假如电机启动后，作用在传动轴A上的转动力矩为M，求主动轮的角加速度。ABM222221121mvJJTTTTBA带系统的动能：系统的动能：122121rr运动学关系：运动学关系：2211rrv212122221121mrrJrJT利用运动学关系，利用运动学关系，动能以动能以1表达为：表达为：主动力（力偶）功率：主动力（力偶）功率：1MP 由功率方程：由功率方程：11121222211d

15、tdMmrrJrJT解得：解得：三、能量法的应用及一般步骤对 一 自 由 度 理 想 约 束 系 统 ， 能 量 法 的 一 般 步 骤对 一 自 由 度 理 想 约 束 系 统 ， 能 量 法 的 一 般 步 骤写出系统动能的表达式写出系统动能的表达式取某一速度作为取某一速度作为“特征速度特征速度”运动学关系：各速度运动学关系：各速度以以“特征速度特征速度”表示表示将系统动能写成此将系统动能写成此“特征特征速度速度”的表达式的表达式主动力的功（功率）主动力的功（功率）动能定理的积分形式动能定理的积分形式功率方程功率方程速度速度加 速 度加 速 度约 束 力约 束 力三、能量法的应用及一般步骤

16、OACBPP01T2222213121CvgPlgPTlvC22222232213121lgPlgPlgPTPlllgP23222lg492glan1627432043laCAB0anaFxFy0 xFPagPPFny84322图示系统，求在重力作用下由静止转过900后的角速度，及转轴O处的约束反力。三、能量法的应用及一般步骤图示直角弯杆OAB，求在重力作用下由静止转过900后的角速度，及转轴O处的约束反力。OABC解：解：设杆OAB的角速度为 。系统动能为：222121ABOAOJJJT22222411213121llmmlml2265ml由动能定理：12WT 即：2326522lmglmg

17、ml解得：lg5122lg1552三、能量法的应用及一般步骤 均质圆柱A和飞轮B的质量均为m，外半径均为r，中间用直杆以铰链连接。令它们沿斜面无滑动地滚下，假若斜面与水平面的夹角为 ，飞轮可视为质量集中于外缘的薄圆环，AB杆的质量可以忽略。求AB杆的加速度及其内力。ABrFmrAs221AsTFFmgmasinrFmrBs2BsTFFmgmasinBamgFBNFBsFTAmgFANFAsFTa对轮A由刚体平面运动微分方程对轮B由刚体平面运动微分方程三、能量法的应用及一般步骤运动学关系：raCsin74ga sin74mgFT（压力）解得：讨论：讨论： 两轮间连杆AB的内力为压力，说明若没有连

18、杆AB的作用，则轮A将比轮B的加速度大（若两轮同时自静止运动，则轮A的速度将快于轮B）。这是由于虽然两轮的移动惯性相同，但轮A的转动惯性小于轮B。光滑接触接触面有摩擦比较接触面有摩擦接触面有摩擦接触面有摩擦课间休息内 容 之 四内 容 之 四突 解 约 束 问 题四、突解约束问题的解法一圆环由绳AB和光滑斜面支撑。圆环的质量为10 Kg、半径为2 m。在圆环上，有一质量为3 Kg的物块D与之固结。求在绳子剪断的瞬时，质点D的加速度。6045DB AErDAEFCm2gm1g060sinmgmaCx015sindFJCCDAEFC(m1+m1)gaOOC21mmmm1362133212rmmmd

19、CO22221222121)()()()(drmdrmdrmdmJJJJOCCCCOOCaaa daCODAEaOaOOaCOCxy060cosmgFmaCCyDOODaaa raDODAEaOaOOaDOC015cosCOOCxaaa015sinCOCyaa四、突解约束问题的解法6045DB AErxyDOODaaaAEFCm1gODFDyFDxDm2gFDxFDyDAEaOaOOaCOxy raDODOODxaaa015cos015sinDODyaa0001115sin15cos60sinDyDxOFFgmam21rmJOrFJDxO0001115cos15sin60cos0DyDxCFF

20、gmFmDxDxFgmam02245sinDyDyFgmam02245cos对圆环对圆环对球对球长为l，质量为m的两根相同的均质杆AB与BC铰接后一端A用铰链固定，另一端置于光滑水平面上。求在系统从图示位置无初速地开始运动的瞬时，水平面对杆的约束力。CBA60CBFByFBxmgDFCmgFBxFByBAABaBlFlmgmlBxAB0260sin23ABBla（1）研究杆）研究杆AB，定轴转动，列写定轴转动微分方程、运动学关系分别为：，定轴转动，列写定轴转动微分方程、运动学关系分别为：（2）研究杆）研究杆BC，平面运动，列写平面运动微分方程为：，平面运动，列写平面运动微分方程为：000260

21、sin230cos30sin12lFFFmlCBxByBC0030sin60sin1BxByDFFmaCBxByDFmgFFma00230cos60cos 杆杆BC作平面运动，以作平面运动，以B为基点，研究为基点，研究C点加速度，建立点加速度，建立aB与与BC间运动学关系：间运动学关系：nCBCBBCaaaaCBDBCaBaCaD2aD1atCBanCB0nCBa其中投影于竖直方向得：0060sin60sin0CBBaa四、突解约束问题的解法lgBC733mgFC740060sin60sin0CBBaaBCCBla2注意到解得：laBBC2CBDBCaBaCaD2aD1atDBanDB 以以B

22、为基点，研究为基点，研究D点加速度，建立点加速度，建立aD1、 aD2与与aB间运动学关系：间运动学关系：nDBDBBDDaaaaa210nDBa其中投影于水平及竖直方向得：00130sin30sinDBBDaaa00230cos30cosDBBDaaaBCCBla2注意到解得：BBCBDalaa2212110223232BCBDlaa（3）联立求解以上）联立求解以上8个方程（个方程（4个动力学方程个动力学方程+4个运动学关系），可解得：个运动学关系），可解得：四、突解约束问题的解法四、突解约束问题的解法例：例：图示系统，力图示系统，力F使使A点以点以u匀速运动，绳匀速运动，绳OB=L/2。图示瞬时，运动至。图示瞬时，运动至OB铅垂。求此瞬时铅垂。求此瞬时OA杆的加角杆的加角速度、地面约束力、绳的拉力。设杆长为速度、地面约束力、绳的拉力。设杆长为L，质量为质量为mA030BOgmF分析：此题目给出了杆的运动，可以用刚体平面运动微分方程求出未知力。四、突解约束问题的解法lua234BA22lu340Aa02lanBAlBnB222)2(ul/va其其中中nBABAABaaaaAB0AaAa0nBAaBaBAanBa投影于 轴，得：cosBAnBaa