电磁场的数学物理基础

1、第第1 1章章 电磁场的数学物理基础电磁场的数学物理基础1.1 1.1 电磁场物理模型的构成电磁场物理模型的构成1.2 1.2 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.3 1.3 电磁场的数学模型电磁场的数学模型麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组1.1 1.1 电磁场物理模型的构成电磁场物理模型的构成理想化假设实际的电工、电子技术装置 电路模型(一种具体的 物理模型)电路模型：理想电路元件(R、L、C) 及其组合理想电压源、电流源(e,i)分析问题以u，i为基 本物理量给定激励(e,i) 求响应(u,i)电路分析：电路分析：电磁场分析：电磁场分析：理想化假设实际电磁装置中的电磁现象和过程电磁场的物理

2、模型电磁场的物理模型： 连续媒质的场空间(, 及其相应的几何结构) 理想化的场源(q,i)分析问题以 为 基本物理量(场量)给定源量(q,i),求场 分布( )EBDH、 、 、EBDH、 、 、以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为(1)(1)给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；(2)(2)运用相应的分析计算方法；运用相应的分析计算方法；(3)(3)解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定

3、解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。解。1.1.1 1.1.1 源量源量两类场源（电荷两类场源（电荷 q、电流、电流 i ） 1.1.电荷电荷 q（Charge） e = 1.6021773310-19 C取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式：取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式： 点电荷分布形式（点电荷分布形式（point charge） （ 源点的位矢）源点的位矢） rqr 体电荷密度（体电荷密度（volume charge density） 30C/mddlimVrqVrqrV 面电荷密度（面电荷密度（surface charge density）

4、 20C/mddlimSrqSrqrS C/mddlim0lrqlrqrl 线电荷密度（线电荷密度（line charge density）2.2.电流电流 i（current） dddSqiJStJ 定义一个与电流相关的点函数，作为产生场效应的源定义一个与电流相关的点函数，作为产生场效应的源量，体电流密度量，体电流密度( (简称电流密度简称电流密度) ) 矢量点函数：矢量点函数： 方向：正电荷运动的方向方向：正电荷运动的方向 大小：大小：n20nndlimA/mdSiiJSS1.1.2 1.1.2 场量场量对应于电场和磁场效应的两个基本场量对应于电场和磁场效应的两个基本场量( ( 、 ) )

5、 EB1.1.电场强度电场强度 （electric field intensity）E 试体电荷试体电荷 qt 0 ( (正电荷正电荷) ) 试体电荷几何尺寸很小试体电荷几何尺寸很小(“(“点点”特性的描述特性的描述) ) 试体电荷电量很小，不足以影响所研究的电场分布试体电荷电量很小，不足以影响所研究的电场分布 t0tlimN/C,V/mqF rE rq2.2.磁感应强度磁感应强度 （magnetic field induction）B(1)(1)洛仑兹力洛仑兹力 BvqF dd 洛仑兹力洛仑兹力 Fd定义定义 Wb/mT,ddmaxqvFB vFdFdBv 方向，由方向，由 决定决定 (2)

6、(2)安培力公式安培力公式 BlIFdd 磁场强度磁场强度 A/mBH2C/m ED 电位移矢量电位移矢量 1.1.3 1.1.3 媒质的电磁性能参数媒质的电磁性能参数 反映媒质在电场作用下的极化性能反映媒质在电场作用下的极化性能介电常数介电常数 (F/m) 反映媒质在电场作用下的导电性能反映媒质在电场作用下的导电性能电导率电导率 (1/m=S/m) 反映媒质在磁场作用下的磁化性能反映媒质在磁场作用下的磁化性能磁导率磁导率 (H/m) C R L真空（自由空间）中电磁性能的特征参数真空（自由空间）中电磁性能的特征参数 -9-1201108.854 10F/m36-70410H/m 光速光速 8

7、0013 10m/sc 1.2.1 1.2.1 标量场的梯度标量场的梯度 Gradient of Scalar Field1.2 1.2 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础 设一个标量函数设一个标量函数 (x，y，z)，若函数若函数 在点在点 P 可微，则可微，则 在点在点 P 沿任意方向沿任意方向 的方向导数为的方向导数为lcoscoscosxyzlxlylzlxyzxyzGeeexyzcoscoscoslxyzeeeecos( ,)llG eGG elcos( ,)1lG emaxGlgradxyzGeeexyzxyzeeexyz 纳布拉算子纳布拉算子 gradxyzeeexyz 梯度的

8、意义：梯度的意义： 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即的最大变化率，即最大方向导数。最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的方向为该点最大方向导数的方向。例例1.1 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的等电位场的梯度与过该点的等位线垂直；位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数值等于该点的最大方向导数；数； 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。例例1.2 设一标量点函数设一标量点函数 (1) 该点函数该点函数 在点在点

9、P(1, 1, 1) 处的梯度，以及表示该梯度处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；方向的单位矢量；22( )( , , )rx y zxyz描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求： (2) 求该点函数求该点函数 沿单位矢量沿单位矢量 方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1, 1, 1) 处该方处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。cos62zecos60cos45lxyeee 解解 (1) 由梯度定义由梯度定义,可解出待求可解出待求 P 点的梯度为点的梯度为22(1,1,1)()(22)22xyzPPxyzxy

10、zeeexyzyxzxeyeeeee+222(1,1,1)coscoscos22(2 )(2 )( 1)221333GxyzPPxyzxyzeeeexeyeexyeee (2)211(22)222122lxyzxyzG elxeyeeeeexy(1,1,1)12212 22Pxyl222222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxyzxy 显然，显然，梯度梯度 描述了描述了P P点处标量点函数点处标量点函数 的最大变化率，的最大变化率，即系最大方向导数即系最大方向导数，故，故 ，恒成立。恒成立。PPPl 1.2.2 1.2.2 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度Flux and Div

11、ergence of Vector Field 对于一个矢量场对于一个矢量场 ，通过空间某一曲面的，通过空间某一曲面的通量为矢量场对该曲面的通量为矢量场对该曲面的面积分面积分。( , )F x y z 通量：通量：( , , ) dSF x y zS( , , ) dSF x y zS根据通量的大小判断闭合面中源的性质：根据通量的大小判断闭合面中源的性质：000( (有正源有正源) )( (无源无源) )( (有负源有负源) ) 矢量场的散度：矢量场的散度： VSP(1)(1)有无电荷？有无电荷？ (2)(2)在该点的电荷分布的密度在该点的电荷分布的密度 ？ 将将 S 向向 P 点收缩，即令其

12、所界定的体积点收缩，即令其所界定的体积 V0（物（物理无限小），而求穿过该微小表面理无限小），而求穿过该微小表面 S 的的 通量与通量与 V 比比值的极限，即值的极限，即 D数学上的处理方法：数学上的处理方法：00dlimlimSVVDSqVV 0ddiv limSVDSDV 矢量场的散度为一标量矢量场的散度为一标量； 该处该处 线是连续的线是连续的 div 0D Ddiv 00D 该点有发出通量线的源该点有发出通量线的源 （正源）（正源） div 00D 该点有汇集通量线的汇该点有汇集通量线的汇 （负源）（负源） 散度起到了检测通量源的作用；散度起到了检测通量源的作用； 矢量散度值与所选坐标

13、系无关，但若以该矢量的分量矢量散度值与所选坐标系无关，但若以该矢量的分量表示该矢量的散度时，则数学表达式将因坐标系不同表示该矢量的散度时，则数学表达式将因坐标系不同而互异。而互异。 直角坐标系下散度直角坐标系下散度( )( )的表达式：的表达式：div D 不失一般性，令包围不失一般性，令包围 P 点的微体积点的微体积 V 为一直平行为一直平行六面体，如图所示。六面体，如图所示。 设场量设场量 仅为空间坐标的函数；仅为空间坐标的函数；D 表达式表达式的推导用图的推导用图div D 散度定理散度定理ddSVFSF V 高斯定理高斯定理 建立了某一空间中的场与包围该空间的边界场之间建立了某一空间中

14、的场与包围该空间的边界场之间的关系。的关系。 矢量函数的面积分与体积分的相互转换。矢量函数的面积分与体积分的相互转换。1.2.3 1.2.3 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度Circulation and Curl of Vector Field 矢量场矢量场 沿空间有向闭合曲线的沿空间有向闭合曲线的线积分线积分。( , )F x y z 环量：环量：( , , ) dlF x y zl 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。趋势的大小。无旋无旋 有旋有旋 矢量场的旋度：矢量场的旋度： Hl000,P xyzlSdSnJJtJJ线S

15、ilHld(1) 电流是否通过电流是否通过 P 点所在的点所在的微小表面微小表面 S？ (2) 在在 P 点上的电流密度有多点上的电流密度有多大？大？ 旋度旋度 是一矢量；是一矢量； curl Hne 旋度的方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定旋度的方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，并和获得最大环量位置的面元的法线方向则，并和获得最大环量位置的面元的法线方向( )( )相相一致；一致； 矢量的旋度值与所选择的坐标系无关，但若以该矢量矢量的旋度值与所选择的坐标系无关，但若以该矢量的分量形式来表示其旋度时，则数学表达式各异的分量形式来表示其旋度时，则数学表达式各异。 直角坐标系下旋度

16、直角坐标系下旋度( )( )的表达式：的表达式：curl H 设场量设场量 仅为空间坐标的函数；仅为空间坐标的函数；D 为简便起见，围绕为简便起见，围绕 P 点在点在 xOy 平面上作一很小的矩平面上作一很小的矩形积分回路，如图所示。形积分回路，如图所示。 表达式表达式的推导用图的推导用图curl HRCScurl (curl )(curl )(curl )xxyyzzHHeHeHe1234112233441234dddddxxxxlllllxyxyHlHlHlHlHlHxHyHxHy 00100,2xxxxyHyHHxyy同理同理 00200,2yyyxyHxHHxyx 斯托克斯定理斯托克斯

17、定理 建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。间的关系。 矢量函数的线积分与面积分的相互转换。矢量函数的线积分与面积分的相互转换。ddLSFLFS1.2.4 1.2.4 矢量分析常用的恒等式矢量分析常用的恒等式0V2()AAA =()AAA +2VV ()0A 1.2.5 1.2.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 若矢量场若矢量场 在无界空间中处处单值，且其导数在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则该矢量场唯一地由连续有界，源分布在有限区域中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯其散度和

18、旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即度和一个矢量函数的旋度之和，即 ( )F r( )( )( )F rrA r 标量函数标量函数 1d4VF rrVrr 矢量函数矢量函数 1d4VF rA rVrr 其中其中 是源点是源点( )( )到场点到场点( )( )的距离；的距离；|rrrr积分也对源点坐标展开。积分也对源点坐标展开。 xyzeeexyz 算子算子 是对源点坐标进行运算的；是对源点坐标进行运算的；定理的内涵：定理的内涵：矢量场的特性取决于该矢量场的散度和旋度特性；矢量场的特性取决于该矢量场的散度和旋度特性； 给出了场量与场的散度源和旋度源之间的定量关

19、系；给出了场量与场的散度源和旋度源之间的定量关系； 对特定的电磁场，可分类予以定义，分析各自的规律性。对特定的电磁场，可分类予以定义，分析各自的规律性。 分类：分类：(1) 无旋场无旋场( irrotational field )( )0F r( )0F r例如例如 静电场静电场 ( , )( )0B r tE rt D从而由矢量恒等式从而由矢量恒等式 0可定义可定义 （ 电位函数）电位函数） gradE 势量场，或位场势量场，或位场 ( potential field )(2) 无散场无散场( 无源场、管量场无源场、管量场 solenoidal field ) ( )0F r( )0F r例

20、如例如 恒定电流的磁场恒定电流的磁场 ( )0B rcHJ B线线管(3) (3) 一般的场一般的场 ( )0F r( )0F r例如例如 时变电磁场时变电磁场 is( )( )( )()()F rrA rFF 无旋部分无散部分1.3 1.3 电磁场的数学模型电磁场的数学模型麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组Mathematical Model数学模型数学模型将物理现象的固有特征及其与周围事物相将物理现象的固有特征及其与周围事物相互间的关联给以数学表达的互间的关联给以数学表达的数学关系式数学关系式。 宏观、大范围、大尺寸：积分形式宏观、大范围、大尺寸：积分形式 小范围、小尺寸：微分形式小范围、小尺寸

21、：微分形式1.3.1 1.3.1 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式1. 1. 电场中的高斯定理电场中的高斯定理dSDSq 数学语言的物理意义是，通过任意闭合面数学语言的物理意义是，通过任意闭合面 S 的电位的电位移矢量的移矢量的通量通量，恒等于该闭合面所限定体积，恒等于该闭合面所限定体积 V 内自由电内自由电荷的代数和，即荷的代数和，即 VVqdDq或面积分中被积函数面积分中被积函数 应在闭合面应在闭合面S（高斯面（高斯面S）上取值；上取值；D高斯面上高斯面上 通量为零，并不意味着面上各处通量为零，并不意味着面上各处 =0=0。DDd0SBS2. 2. 磁磁场中的高斯定理场中的

22、高斯定理 线（磁力线）是无头无尾的线（磁力线）是无头无尾的磁通连续性原理磁通连续性原理 B 电场的通量线（电场线）有头有尾电场的通量线（电场线）有头有尾 磁场的通量线（磁场线）无头无尾磁场的通量线（磁场线）无头无尾dddlElt 3. 3. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律Bedl楞次定律楞次定律：闭合回路中的感应电：闭合回路中的感应电势及其所产生的感应势及其所产生的感应电流总是企图阻止磁电流总是企图阻止磁通的变化。通的变化。 e 假定正方向满足右螺旋关系假定正方向满足右螺旋关系ddet (1) (1) (1) e 的计算的计算 磁场不随时间变化磁场不随时间变化( (恒定磁场恒定磁场) )

23、，导电回路相对于磁，导电回路相对于磁场有位移，即有场有位移，即有“切割磁力线切割磁力线”的效应存在的效应存在常常称作切割电动势或发电机电动势。称作切割电动势或发电机电动势。BvqF ddidleEliddFEvBq感应场强感应场强 idd2lleElvBl局外场强局外场强 ddFvBq导线回路不动，回路内磁通随时间变化，即导线回路不动，回路内磁通随时间变化，即 = ( (t) ) 常称作变压器电动势。常称作变压器电动势。 以上两者兼有，即导电回路运动，且以上两者兼有，即导电回路运动，且 ，此，此时，对于时，对于感应电动势感应电动势 e，应是以上，应是以上两种效应的迭加。两种效应的迭加。 Bf

24、t dd4lsBevBlSt (2) (2) 法拉第电磁感应定律的推广法拉第电磁感应定律的推广 产生电场的场源有两种：产生电场的场源有两种：电荷电荷和和变化的磁场变化的磁场 iqEEE 麦克斯韦把法拉第电磁感应定律推广到场域中任一麦克斯韦把法拉第电磁感应定律推广到场域中任一假想闭合回路的情况（简称为假想闭合回路的情况（简称为数学环数学环），提出了），提出了“涡旋涡旋电场电场”的假设，即只要与数学环相交链的磁通发生变化，的假设，即只要与数学环相交链的磁通发生变化，即使没有感应电流产生，但在该回路中的任一点总有感即使没有感应电流产生，但在该回路中的任一点总有感应电场存在，因此沿该数学环将产生感应电

25、动势。应电场存在，因此沿该数学环将产生感应电动势。qd0lEl例例1.3 电子回旋加速器电子回旋加速器( 加加速器速器)可作为法拉第电磁感应可作为法拉第电磁感应定律物理含义的实验例证。定律物理含义的实验例证。e电子 的运动轨迹i(0)eFeEemFe vBiERBSN环形真空室 电子回旋加速器的构造原理图电子回旋加速器的构造原理图 电子回旋加速器中电磁铁电子回旋加速器中电磁铁由正弦电流激励，在两磁极中由正弦电流激励，在两磁极中间放置一扁平环形真空室。该间放置一扁平环形真空室。该加速器内运动电子的加速过程加速器内运动电子的加速过程就是在该真空室内由变动的磁就是在该真空室内由变动的磁场所产生的感应

26、电场来实现的。场所产生的感应电场来实现的。 解解 设电子在真空室中运动是沿着半径为设电子在真空室中运动是沿着半径为 R 的圆周轨道进的圆周轨道进行的。在正弦激磁电流由零到最大值的增长过程中行的。在正弦激磁电流由零到最大值的增长过程中( 1/4 周周期期)，磁场也将由零单调地增加到某一终值。在这一段时间，磁场也将由零单调地增加到某一终值。在这一段时间内，圆周轨道上呈现感应电动势内，圆周轨道上呈现感应电动势idddlet El 当磁场对圆周轨道中心呈对称分布时，轨道上任一场当磁场对圆周轨道中心呈对称分布时，轨道上任一场点处的感应电场强度值点处的感应电场强度值i1d2dERt 电子枪射入的电子电子枪

27、射入的电子e (e 0) 受到的沿圆周轨道切向的受到的沿圆周轨道切向的电场力电场力id2deeFe ERt =电子受到的沿圆周轨道内法向的磁场力电子受到的沿圆周轨道内法向的磁场力mFe vB 此时，电子即由时变磁场产生的感应电场加速，并在此时，电子即由时变磁场产生的感应电场加速，并在向心的磁场力作用下，沿逆时针方向在圆周轨道上加速环向心的磁场力作用下，沿逆时针方向在圆周轨道上加速环行。因切向电场力行。因切向电场力 Fe 的作用等于切线方向上动量的变化的作用等于切线方向上动量的变化率，即率，即dd()2ddemvRtt 设电子射入真空室时，设电子射入真空室时， 00，且初速度，且初速度 v0 远

28、小于末远小于末速度。在这样的初始条件下，上式积分得速度。在这样的初始条件下，上式积分得向心的磁场力向心的磁场力Fm则被离心力所平衡，即则被离心力所平衡，即 以初始时刻分析，应有以初始时刻分析，应有02emvR2mve vBR0mve RB 212BR 由此可知，为保证持续加速、能量不断累积的电子始终沿由此可知，为保证持续加速、能量不断累积的电子始终沿着圆周轨道运动，工程设计要求轨道上各场点处的磁感应强度着圆周轨道运动，工程设计要求轨道上各场点处的磁感应强度必须满足一定条件，即该磁感应强度值必须等于轨道所限定面必须满足一定条件，即该磁感应强度值必须等于轨道所限定面上平均磁感应强度的一半。这一条件

29、可由加强该面中心部分的上平均磁感应强度的一半。这一条件可由加强该面中心部分的磁场来实现。磁场来实现。 当设定激磁在当设定激磁在1/4周期的时间内，加速的电子能量可达几亿周期的时间内，加速的电子能量可达几亿电子伏特电子伏特(1eV1.6021910-19J )。这时，移出高能电子，使之。这时，移出高能电子，使之去轰击一个去轰击一个“靶靶”时，即可产生时，即可产生 X 射线等。这一生动体现了麦射线等。这一生动体现了麦克斯韦第二方程物理含义的装置，被用作核物理研究、工业探克斯韦第二方程物理含义的装置，被用作核物理研究、工业探伤和治疗癌症等。伤和治疗癌症等。dlHli4. 4. 全电流定律全电流定律

30、(1) (1) 位移电流的假设，即位移电流的假设，即 ddDSSDDJtiSS 电场中某点的位移电流密度（电场中某点的位移电流密度（ ）等于该点电位移的时）等于该点电位移的时间变化率。间变化率。DJ 的量值与电位移矢量的模的变化率成正比；的量值与电位移矢量的模的变化率成正比；DDJt 的方向与所在点在的方向与所在点在dt 时时间发生的间发生的 的方向一致。的方向一致。（注意：并非一定同于（注意：并非一定同于 的方向）的方向） DJdDD 通过电场中的某截面的位移电流等于通过该截面的电位移通过电场中的某截面的位移电流等于通过该截面的电位移通量的时间变化率。通量的时间变化率。 传导电流密度（导体中

31、）传导电流密度（导体中）cJvJ运流电流密度（真空、惰性气体等气态中）运流电流密度（真空、惰性气体等气态中）DJ 位移电流密度位移电流密度例例1.4 电容器的充放电电容器的充放电 ciotciot 解解 (1)(1)充电过程充电过程 c0dtqi tdsDsDq SddDDSSDiJSStcidSDStDSqdSD Sqt(2)(2)稳态稳态 c0i 0Dt0DJ0Di ( )q t( )q tSd ()D tt( )D tDJKci()D tt(3)(3)放电过程放电过程 ddDDSSDiJSStcidSDStqt例例1.5 含电容器的正弦交流电路中的电流连续性。含电容器的正弦交流电路中的电流连续性。 SdDJmsinuUtc( )i t 解解 msin( )Utu tEdd( )( )DE tD t0Dt tEJtdDDDSiJSJSmcosSUtd mcosUtC ci (2) (2) 全电流定律全电流定律Ic传导电流，传导电流，conduction currentIv运流电流，运流电流，convection currentID位移电流，位移电流，displacement currentcvd,DlHlI IIIiicvddDSSJSJJJS 在在Maxwell关于涡旋电场和位