高考数学二轮复习解题思维提升专题数学思想方法专项

1、最新高考数学知识点和真题汇总专题22数学思想方法专项【训练目标】1、领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法；【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建领，对整体复习

2、起到引领和导向作用.【名校试题荟萃】1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解1 .若0<xi<X2<1，则()X2X一A. e2-e1>lnX2lnxiB. ex2-e1<lnX2InXiC. x2eXl>xieX2Xi一X2D. x2e<x1e【答案】C【解析】设f(x)=eXInx(0<x<1),X则f，(x)=e、1=包.xx令f'(x)=0,得xeX-

3、1=0.v1根据函数丫1=6与y2=-的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标xoC(0,1),因此函数f(x)在(0,1)X上不是单调函数，故A,B选项不正确；、一ex一,exx1设g(x)=(0<x<1),贝Ug(x)=2.xx又0<x<1,g，(x)<0,函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<xi<x2<1,g(xi)>g(x2),，xzex1>xiex2,故选c.2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g'(x),满足g'(x)g(x)<0,若函数g(x)的图象关于直线x=2对称，且g(4)=1,

4、则不等式gx>1的解集为e【答案】(巴0)【解析】函数式面的图象关于直线对称，寻(0)=("=1.设式*)=曜e则产二匕喑包=心口£(e)e又/(星)一#(a)8,(<0,而在R上单调递激.又h0)=f(jr)B3.已知f(t)=log2t,tC，2,8,对于f(t)值域内的所有实数my不等式x2+m杆4>2m+4x恒成立，则x的取值范围是.【答案】(8,-1)U(2,+OO)【解析】tC2,8,.f(t)|2,31问题转化为m(x2)+(x2)2>0恒成立，当x=2时，不等式不成立，xw2.令g(m)=m(x-2)+(x-2)2,mCg,3.问题转

5、化为g（m）在g 3 上恒大于0,即；2 x-2 +h x-2 +x- 2 2>0,x-2 2>0,解得x>2或x<1.4 .若xC2,1时，不等式axA.-3 B.x+4x+3>0恒成立，则实数a的取值范围是【答案】6,21解析】当一2WK0时，不等式转化为六HX令丹力=匕"口（-WK。），x故f（x）在2,1上单调递减，在（1,0）上单调递增,一一，,一一1+43此0寸年faWf(x)min=f(-1)=2.一1当x=0时，不等式恒成立.、“zx一4x一3当0<xw1时，a>x3,143则f(x)在(0,1上单调递增，此时有a>f(

6、x)max=f(1)=-1一=-6.综上，实数a的取值范围是6,2.二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程（组）来解决.5 .已知曰是等差数列，a10=10,其前10项和So=70,则其公差d等于（）最新高考数学知识点和真题汇总C.3D.3【答案】D【解析】设等差数列的首项为a + 9d= 10, 即.2a1+9d= 14,a10=a1+9d=10,as公差为d,则£10X9So=10a1+-2-d=70，/口2解得d=53

7、,、，.一,一n+2-an.6.已知在数列an中，前n项和为S1,且Sn=-an,则;一的取大值为()3an1A.3B.-1C.3D.1【答案】C【解析】当时,S二-a-?两式作差可得苴尸空卫外一空工2刀-12鼻由函数尸”口在3十上是减为数，可得不月2时取得最大值3.7.在等差数列an中，若ai<0,&为其前n项和，且S=S7,则与取最小值时n的值为【答案】12【解析】由已知得，等差数列an的公差d>0,设S=f(n),则f(n)为二次函数，又由f=f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n=12对称,故S取最小值时n的值为12.8.设等差数列an的前n项和为3,若&

8、amp;=2,4=3,则nS的最小值为【答案】9【解析】4ad6d=2,由1.6a+15d=3解得a=2,d=1,Rn25nn3-5n2所以S=-2，故nS=2.x3-5x23o令f(x)=2,贝Uf'(x)=2x25x,令f'(x)=0,f(x)在10,得x=0或x=，3130，单调递减，在停，十°°单调递增又n是正整数，故当n=3时，nS取得最小值一9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程（组）的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的

9、取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答9 .（2016全国I）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB=4/，|DE=25,则C的焦点到准线的距离为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】不妨设抛物线C：y2=2px（p>0）,圆的方程设为x2+y2=r2（r>0）,如图，又可设A（x0, 2的,D2'点A>, 2啦）在抛物线y2=2px上,8= 2pxo,点A>,22)在圆x2+y2=r2上，x2+8=r2,点DJp,R5耗圆x2+y2=r2上，5+2=r2,联立，解得p=4（负值舍去），

10、即C的焦点到准线的距离为p=4,故选B.22一条渐近线交于【答案】B10 .如图，已知双曲线C：a2b2=1（a>0,b>0）的右顶点为AO为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的p,q两点，若/paq=60。，且Oq=3Op则双曲线C的离心率为（【解析】因为Z?第=60"JAP=AQf所以I期二I闻二|用|,设I匐1=23又法=3法,贝力0川二闾|二花双曲线C的渐近线方程是产打总。),3b.a_olbaa0ab所以点A到直线y=-x的距离d=J'=.22,aVIL2小+b所以岛卜(2寸-13用即a2b2=3R2(a2+b2),在OQA由余弦定理得，22222122

11、|OA=|OQ+|QA2|OQQAcos60=(32+(2R)2X3Rx2Rx2=7R2=a.a2b2=3R2 a2+b2a2=7R2,a2=7R2,得-221.b2=Rf4所以双曲线C的离心率为e=a=-:j；2='1+；?=1+-7=2.11 .设椭圆中心在坐标原点，丹2,0),R0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.若ED=6DF,则k的值为【解析】，、目匚4/口1-m3、，X22._"、皿八皿，上E5依题意得椭圆的万程为-+y2=1,直线ABEF的万程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图，设D(x。

12、,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1，x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=由ED)=6D底口,xoxi=6(x2xo),/口1得 xo= 7(6 x2+ xi)5107x2 = -jI 277 Ji + 4k，一一22由点D在AB上知xo+2kxo=2,得*0=在就.210所以可存而化简得24k2-25k+6=o,解得k=2或k=3.38C的焦12 .已知直线l：y=k（x+1）与抛物线C：y2=4x交于不同的两点A,B,且以AB为直径的圆过抛物线点F,则k=.【答案】当或喙【解析】点户的坐标为（1，设垄，Z）?凤产）*贝U产=/（小+1）j

13、兄=以肥+1）,当&二0时，/与。只有一个交点，不合题意,因此科=0.将产去J+1）代入/=4打消去其得£犷+2（炉-2）黑+*；=0,依题意知，x1,x2是的不相等的两个实根，=4k2-22-4k4>o,9?k2则x1+x2=12k,lxx2=1.由以AB为直径的圆过F,彳导AF±BF,即kAF-kBF=-1,V1y2所以-=1,即x1x2+丫以2(x1+x2)+1=0,x1一1x21所以x1x2+k(x1+1)(x2+1)(x+x2)+1=0,所以(1+k2)x1x2+(k21)(x1+x2)+1+k2=0,22-k2_0v2把x1+x2=72,x1x2=

14、1代入得2k-1=0,解得k=±k22一，经检验k=±22适合式.综上所述，k=±-.2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解（或函数零点）的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数1.（2018咸阳模拟）函数f（x）=2x1的零点个数为（）xA.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系下,作出函数和f=工的图象，如图所示.*函数人a二片一1的零点个数等价于二工的根的个数，XX等价于函数歹二2,和兄二工图象的交点个数.由图可知只有一

15、个交点J所以有一个零点故选民1I|x|22.若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为Xi4【答案】g,十°0）【解析】x=0是方程的一个实数解；|x|2当xwo时，方程3=kx2xi4i,1可化为-=(x+4)|x|,xw4,kw0,k设f(x)=(x+4)|x|(xw4且xwo),y=1,k则两函数图象有三个非零交点.x2+4x,x>0,f(x)=(x+4)|x|=cx24xx<0x丰4的大致图象如图所示,一一,一1-1由图可得0<k<4,解得kq所以k的取值范围为e,+8.43 .已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x1)=f(x1

16、),当xC1,0时，f(x)=X3,则关"511于x的方程f(x)=|cos兀x|在|一2，2I上的所有实数解之和为.【答案】7【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2.又当xC1,0时，f(x)=-x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y2=|cos兀x|的图象如图所示.3加翼网而利511由图象知关于x的方程f(x)=|cos兀x|在|一2,2上上的实数解有7个.不妨设x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7,则由图得x1+x2=4,x3+x5=2,x4=1,x6

17、+x7=0,所以方程f(x)=|cos兀x|在|一I，21上的所有实数解的和为一4-2-1+0=-7.x+1,x<1,4 .(2018石嘴山模拟)已知函数f(x)0则方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时，实数alnx,x>1,的取值范围是.【解析】画出匡Mifj)的图象如图所示，由图可知，要使直线产眨与函数f(#)有两个交点，当产“与产彳+1平行时，显然有两个交点，此时产也当加手寸，只需求出当直线尸制和装尸卜，相切时的斜率即可.由于不拟时交点只有1个j数结合图象知，实数廿的取值范围是,；二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研

18、究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018则满足f (x+1) vf(2x)的x的取值范围是()2x,x<0,全国I)设函数f(x)=5。，x>o,A.( 81B.(0 , +8 )C.( -1,0)D.( 8, 0)【解析】方法x+ 1<0当,2x<0,即xw 1时,f(x+1)vf(2x)即为2一"+1？2x,即一(x+1)<-2x,解得x<1.因此不等式的解集为(一8,1.x+1w0,当时，不等式组无解.2x>0当个+1,0'即一1vxW0时，f(x+1)vf(2x)即1<2一2x,解得x<0

19、.2x<0,因此不等式的解集为(一1,0).x+1>0,当即x>0时，f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意2x>0,综上，不等式f(x+1)vf(2x)的解集为(一8,0).故选D.2",x<0,方法二.f(x)=，1,x>0,函数f(x)的图象如图所示.由图可知，当x+1<0且2xW0时，函数f(x)为减函数，故f(x+1)vf(2x)转化为x+1>2x.此时x<-1.当2x<0且x+1>0时，f(2x)>1,f(x+1)=1,满足f(x+1)vf(2x).此时一1vxv0.综上，不等式f(x+1)vf(

20、2x)的解集为(8,1u(-1,0)=(8,0).故选D.6 .设A=(x,y)|x2+(y1)2=1,B=(x,y)|x+y+m>0,则使A?B成立的实数m的取值范围是【答案】2-1,+oo)【解析】集合A是圆x2+(y1)2=1上的点的集合，集合B是不等式x+y+m>0表示的平面区域内的点的集合，要使A?B,则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|mt-11=1,又m>0,所以m=、/21,故m的取值范围是加一1,+00).41.一7 .若不等式|x-2a|>2x+a-1对xCR恒成立，则实数a

21、的取值范围是【答案】一一，一一1,，一，一一一【解析】作出yi=|x2a|和y2=2x+a1的间图，如图所不2a<2-2a,1依题意得故aw大a-i<o,2x+2ax,x>1,8 .已知函数f(x)=*若存在两个不相等的实数xi,x2,使得f(xi)=f(x2),则实数a2ax-1,x<1,的取值范围为.【答案】0,+°°)【解析】根据题意知捣)是一个分段12翻当11时，是一个开口向下的二;赋数，对称轴方程为广中当K1时，是一个一次函教.当时，如图所示,符合题意i当0W哀1时，如图所示，符合题意3当虱。时，如图所示，此时函数在R上单调建遍，不满足题意

22、.综上所述，可得畲0.三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：比值一一可考虑直线的斜率；二元一次式一一可考虑直线的截距；根式分式一一可考虑点到直线的距离；根式一一可考虑两点间的距离.9 .已知圆C：(x3)2+(y4)2=1和两点A(-mi0),Rmj0)(m>0).若圆C上存在点P,使彳导/APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心。的坐标为(3,4),

23、半径=1,且|4|=2如因为N5K9Q0,连接班可知|明二；|朋=血U5«,IH要求时的最大值，即求圆。上的点产到原点口的最大距离.因为IM=53所以I明卬=|困+二仇即属的最大值为62210.设双曲线 C: a一 -2= 1( a>0b>0)的左、右顶点分别为 AA2,左、右焦点分别为Fl, F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以AlA2为直径的圆与直线PE相切，则双曲线 C的离心率为()A. 2 B. 3C.2 D.,5OQ【解析】如图所示，设以则OQLPE.又PFXPB,O为F1F2的中点,所以|PF|=2|OQ=2a.又|P因一|PF|=2a,

24、所以|PE|=4a.即 e= a=5.在RtFiPE中，由|PF|2+|P£|2=|FiF2|2,得4a2+16a2=20a2=4c2,11.已知抛物线的方程为x2=8y,F是其焦点，点A：-2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小，此时点P的坐标为【解析】因为(一2)2<8X4,所以点A(2,4)在抛物线x2=8y的内部,如图，设抛物线的准线为l过点F作用_/于点®过点卫作曲1/于点的连接第，由抛物线的定义可知，在产的周长为I朋+|尸n|+|朋=|网|+|加+|明汽服|+|川至|曲+|明，当且仅当？国/三点共线时，破的周长取得最小值，即I朗+1期.因为川-

25、2,4),所以不妨设破的周长最小时，点F的坐标为(-21又),代人解二加得W二/故使郎的周长最小的点F的坐标为一2,ik4/12.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点，PAPB是圆x2+y22x2y+1=0的两条切线，A,B是切点，C是圆心，则四边形PAC前积的最小值为【答案】22连接pc由题意知圆的圆心 qi左上方或右下方无穷远处运动时,【解析】1),半径为1,从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x+4y+8=0向RtAPAC的面积$pac=2|PA|AC=|PA越来越大，从而S四边形pac也越来越大;3r+h+8=(当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形pAc及小，显然，当

26、点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形pacbW唯一的最小值，此时|PC=|3*1*2+8|=3,从而|PA=SPC2一|AC23+4=20所以(S四边形PACmin=2X2X|PAX|AC|=22.【配套练习】1.(2018咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+f'(x)>1,设a=f(2)1,b=ef(3)1,则a,b的大小关系为()A. a<bB. a>bC.a= bD.无法确定【答案】A【解析】令力一则，(力=，丹才)+#(*)-1>0即虱M在R上为增函数.户做式3)式2),即eV(3)-e:&

27、gt;e：A2)-e整理得ef(3)1,即晨瓦B.fD.f2.(2018宣城调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在0,1上是减函数，则有【解析】因为f(x+2)=f(x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又T=4,作图，由图知f睁引1-4；3.在三麴t A BCDK AB等边三角形， AB= 2g / BDC= 90° ,面角A- BO D的大小为150° ,则三棱锥A-BC曲外接球的表面积为()A.7兀B.12兀C.16兀D.28兀【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A-BC加图所示，设三棱锥A-BCDW外接球的球心为O,半彳至

28、为RBCDABC的外接圆的圆心分别为0,O,可知QO,O在同一平面内，由二面角ABC-D的大小为150°,得/OOQ=150°90°=60°.依题意，可得BCDABC勺外接圆的半径分别为BC232ri=y=-=3,2=23Xsin60。x3=2,R2=OO+r2R2=OO+r2,所以OOsin/OOQ=人7VOWR=oO+ 3,R=oO+ 4,4.过双曲线b2=解得R= S，所以三棱锥A- BCD勺外接球的表面积为4兀R= 28兀.1( a>0, b>0)的右焦点F作直线b .，.一y=-ax的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若FB=2F

29、A则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.5D.7【答案】C【解析】设网内0),则直线期的方程为户;5-0,代入双曲线渐近线方程产一4,得d亘，barcj,-'2ac2由.xxy.CZaff4a由2-FA可将£f尸把艮点rk标代入二一三=1*得2F二1cc)3bacc.c=5a%二离心率e=-=V5.a5.记实数xi,X2,，xn中最小数为minx1,X2,，xn,则定义在区间0,+8)上的函数f(x)=minx2+1,x+3,13X的最大值为()A.5B.6C.8D.10【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y1=x2+1,y2=x+3,y3=13x的图象如图.由图可

30、知，在实数集 R上，minx2+1, x+3, 13x为y2= x+3上A点下方的射线，抛物线分，线段 BC与直线y3=13 x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间0, +8）上，在AB之间的部C点时，y=min x2+1, x+3, 13x取得最大值.y2=x + 3, 解方程组|y3= 13 -x,得点8).所以 f(X)max= 8.6.已知函数f(x)=|lg(x-1)|1 <a< b且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范围为（）A.(3 +2 +8)B.3 +2© +0°)C.(6 , +8 )由图象可知>2*，1式甘1) = lg (方一

31、1) ?则户汴则 a+ 2b=2b' - b2: 2j 1 r + 3fj5 1 i +1j6 1=2 3-L+U+3,J& 1由对勾函数的性质知，当 be+ oo, f(b) = 2(b1)+ 六+ 3 单调递增,b>2,-a+2b=r-b-+2b>6.b1x2x,x>1,m的取值范7 .（2018.东莞模拟）已知函数f（xHx2-3x+2,x<1,若不等式f（x户mx恒成立,则实数围为（）A.-3-24-3+2出8 .-3+2y/2,0C.-3-2®0D.(巴32小U3+2卷+8)【答案】C【解析】电数及尸射的图象如图所示，由图象可知当第2

32、时,不等式义启三期不恒成立，设过原点的直线与附数fG）=-3,+2（Kl）相切于点且院，乐-3此十2）,因为f殳）=2斯一3,所以该切线方程为厂3-3面+2）=（2厮-3）（才一a：）,因为该切线过原点，所以一（33号+2）二一乐（2萩一3）,解得谶=一啦,艮喉切线的斜率#=-2/-3.由图象得2也一3WWO.故选C.一 一一 ，一3x- 1，一,.28.(2018 德阳诊断)已知函数 f (x) = 3*+ i +x + sin x,右存在 xC2, 1,使得 f (x + x) + f (xk)<0成立，则实数k的取值范围是（）A.( - 1 ,+8 )B.(3 ,+8)C.(0 ,

33、 +8 )【答案】AD.( 一00, 一 1)【解析】 g -右3x- 1由题息知函数"刈=而+x+sinc、3 x- 1x 的 te义域为 R, f( - x) = 3 x+ 1 + ( x) + sin( - x)=-g1、2ln 3 - 31 + x+sin x = - f (x),即函数 f(x)为奇函数，且 f' (x)=-f + x2+ 1 + cos x>0在R上恒成立,即函数f （x）在R上单调递增.若？ XoC 2, 1,使得 f （x2 + x。）+f（x。k）0 成立,2即 f ( Xo+ Xo)< - f (xo- k),所以 f (x0

34、+ xo)<f (k Xo),即 x0+xo<k Xo,则问题转化为？X0C2,1,k>x0+2x0,令g(x)=x2+2x,xC2,1.则k>g(x)min=g(1)=1故实数k的取值范围是(一1,+8).9 .已知正四棱锥的体积为31,则正四棱锥的侧棱长的最小值为3VmM23a3故 a2h=32,即 2 32则其侧棱长为y1h6+h2.【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a,高为h,则该正四棱锥的体积小1$rriI曰rn161cL23一10令fS=工+占，则f=一T+24k，nJ3J3令，(=。，解得42.当於Q,2)时，F5)<6H如单调递我当旅+8)时，空口)>0,力单调递增,所以当42时，穴取得最小值/(2)=y+2;=127故Zi,=/12=23.10,若函数f(