第六章 弯曲—内力-1

1、第六章第六章 弯弯 曲曲 梁：承受横向力梁：承受横向力墙墙楼板楼板桥板桥板6-1 6-1 平面弯曲及梁的类型平面弯曲及梁的类型 起重机大梁起重机大梁P镗刀杆镗刀杆P火车轮轴火车轮轴火车轮轴简化火车轮轴简化弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁受力特点：在构件的纵向对称面内，受到垂直于杆件轴线的受力特点：在构件的纵向对称面内，受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或力偶的作用外力（即横向力）或力偶的作用变形特点：杆件的轴线在此平面内由原来的直线变成曲线变形特点：杆件的轴线在此平面内由原来的直线变成曲线常见梁截面常见梁截面具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在

2、此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线平面弯曲平面弯曲梁载荷的分类梁载荷的分类qq(x)均匀分布载荷均匀分布载荷线性（非均匀）线性（非均匀）分布载荷分布载荷P集中集中力mm集中力偶集中力偶 m分布载荷分布载荷载荷集度载荷集度 q(N/m)注意还有支座反力注意还有支座反力mA固定端支座固定端支座（fixed support)XAYAA滚动铰支座滚动铰支座 (roller support)YAA固定铰支座固定铰支座 (pin support)YAXA支座种类支座种类支座反力支座反力AB 简支梁简支梁AP2P1YBYAXA梁的类型梁的类型 悬

3、臂梁悬臂梁 ABP1P2mAYAXAP1P2 外伸梁外伸梁ABCYAYBXA步骤：步骤：解解除约束，取分离体；解解除约束，取分离体；画受力图；画受力图；列平衡方程，求得支座反力；列平衡方程，求得支座反力；用截面法求截面上的内力用截面法求截面上的内力 0Y0PRRBA 0AM0 PalRB由：由：得：得：lpaRlpalRBA,6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩（一）截面法求内力（一）截面法求内力剪力剪力Q与弯矩与弯矩Mxx2lABPa221x11PBABRAR1Q1M 0y01 QRAARQ1 00FM011xRMA11xRMA力平衡：力平衡：力矩平衡：力矩

4、平衡：剪力：剪力：弯矩：弯矩：在在1-1截面上：截面上：剪力：剪力：梁横截面上切向分力的合力。梁横截面上切向分力的合力。弯矩：弯矩：横截面上内力偶的矩称为弯矩。矩横截面上内力偶的矩称为弯矩。矩心心O是截面的形心。是截面的形心。6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩oA1xAR在在2-2截面上：截面上： 0y02QPRAARPQ2 00FM0)(222axPxRMA)(222axPxRMA力平衡：力平衡：力矩平衡：力矩平衡：剪力：剪力：弯矩：弯矩：oBR2Q2MPA2xAR2Q2Mo6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩6-2 6-

5、2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩（二）剪力与弯矩正负号的规定（二）剪力与弯矩正负号的规定-以变形为依据以变形为依据口诀口诀-剪力：左上右下，剪力为正；左下右上，剪力为负；剪力：左上右下，剪力为正；左下右上，剪力为负；+-弯矩：左顺右逆，弯矩为正。左逆右顺，弯矩为负。弯矩：左顺右逆，弯矩为正。左逆右顺，弯矩为负。 或上压下拉为正，上拉下压为负或上压下拉为正，上拉下压为负+例例 题题ABC2qaqaa求求A A截面右侧、截面右侧、B B截面左右侧的剪力、截面左右侧的剪力、 弯矩。弯矩。0qaYY- :0YBA02302qaaqaaY :MBAqa25Yqa23YBA(正号

6、表明力方向与标注相反）正号表明力方向与标注相反）（1）计算支反力）计算支反力解：解：qYAYBABC2qaaa6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩（2）计算各截面内力）计算各截面内力 A A右截面右截面 B B左截面左截面 B B右截面右截面0Mqa0QYA2AA右右002左左BABAMaYqaQY0a21qaM0qaQBB右右2AAqaMqa23Q右右2BBqa21Mqa23Q左左2BBqa21MqaQ右右AYA2qaMA右QA右MB左AYA2qaBaQB左BCqaMB右QB右6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩例题例题4-

7、14-1：一简支梁一简支梁ABAB，如图，在如图，在C C点处作用一集中力点处作用一集中力 P=10KN P=10KN ，求距左端求距左端0.80.8m m处截面处截面 n-nn-n上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。ABC1.5m0.8m4mRARBP=10KNnnARARB0.8mQB2.5mcP=10KNQMM3.2m0.7m解解: (1): (1)求支反力求支反力 由平衡方程由平衡方程 M MA A=0, R=0, RB B4- P1.5=0 , 4- P1.5=0 , R RB B=1.5P/4=1.5=1.5P/4=1.5* *10/4=3.75KN10/4=3.75KN Y=0Y=0

8、， R RA A+R+RB B-P=0, R-P=0, RA A=P-R=P-RB B=10-3.75=6.25KN=10-3.75=6.25KN（2 2） 求求n-n n-n 截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 将截面截开，取左段梁为研究对象，假设截面上剪力将截面截开，取左段梁为研究对象，假设截面上剪力Q Q和弯矩和弯矩M M为正，则由平衡方程：为正，则由平衡方程： Y=0Y=0， R RA A-Q=0-Q=0 Q=RQ=RA A=6.25KN=6.25KN M MO O=0=0，-R-RA A0.8+M=0 0.8+M=0 M=RM=RA A0.8=6.250.8=6.250.8=5KN

9、m0.8=5KNmARARB0.8mQB2.5mcP=10KNQMM3.2m0.7m22剪力的规则剪力的规则：梁的任一截面上的剪力的大小等于：梁的任一截面上的剪力的大小等于截面之左（或右）所有外力（包括约束反力）的截面之左（或右）所有外力（包括约束反力）的代数和。代数和。弯矩的规则弯矩的规则：梁的任一截面上的弯矩的大小等于：梁的任一截面上的弯矩的大小等于截面之左（或右）所有外力（包括力偶）对该截截面之左（或右）所有外力（包括力偶）对该截面形心之矩的代数和。面形心之矩的代数和。 FMMFQoy6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩PBABRAR23计算横截面上弯矩

10、的法则计算横截面上弯矩的法则：凡是向上的外力，其矩取凡是向上的外力，其矩取正正值；值；凡是向下的外力，其矩取凡是向下的外力，其矩取负负值。值。梁上作用的力偶，截面左侧顺时针转向或截面右梁上作用的力偶，截面左侧顺时针转向或截面右侧逆时针转向的力偶取正值，反之取负值。侧逆时针转向的力偶取正值，反之取负值。6-2 6-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力- -剪力与弯矩剪力与弯矩注意注意:当梁的跨度当梁的跨度(两支点间的距离两支点间的距离)较大时，较大时，剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪力的作用，只考虑弯矩。力的作用，只考虑弯矩。 6-3 6-3 剪力图和弯矩

11、图剪力图和弯矩图 梁横截面上的剪力和弯矩，一般随横截面的位梁横截面上的剪力和弯矩，一般随横截面的位置而变化，以坐标置而变化，以坐标 x x 表示横截面位置，则剪力和表示横截面位置，则剪力和弯矩可表示为弯矩可表示为x x的函数：的函数： 分别分别称为梁的剪力方程和弯矩方程称为梁的剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图的作法剪力图和弯矩图的作法先求得梁的支座反力，列出剪力方程和弯矩方先求得梁的支座反力，列出剪力方程和弯矩方程，然后选择适当的比例，以程，然后选择适当的比例，以x x为横坐标，剪力为横坐标，剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图。正的剪力或弯或弯矩为纵坐标，按方程作图。正的剪力或弯矩画在矩画在x x

12、的上方，负的画在下方。的上方，负的画在下方。)()(xMMxQQ 例例4-24-2：悬臂梁：悬臂梁ABAB，在自由端受集中力在自由端受集中力P P的作用，作剪力图的作用，作剪力图及弯矩图及弯矩图（1 1）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程xlPABxxPAQMPxQ)(PxxM)(lx 0lx 0（2 2）作剪力图和弯矩图）作剪力图和弯矩图剪力不随剪力不随 X X 变化，为一常数，故变化，为一常数，故剪力图为剪力图为X X 轴下方一条直线；轴下方一条直线； 弯弯矩矩M M是是X X 的一次函数，故也是一条的一次函数，故也是一条直线，如右图所示：直线，如右图所示：弯矩在固定端有最大值，为

13、：弯矩在固定端有最大值，为：xpplPlMmax6-3 6-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图弯矩图221ql（-）QMqlmnx例例2 2、图示一受均布载荷的悬、图示一受均布载荷的悬臂梁，画该梁剪力图和弯矩臂梁，画该梁剪力图和弯矩图。图。2)xl (q212xl)xl (qMxqQ6-3 6-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图（-）ql32/32ql32/32qlBAl例例4 4、简支梁受均布载荷作用试写出、简支梁受均布载荷作用试写出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22

14、 2写出剪力与弯矩方程写出剪力与弯矩方程yxCx lxqxqlxxM 02/2/23. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。Mx8/2ql 2ql2qlxQqxqlqxRxQA 2)()0(lx 剪力图和弯矩图可知：在靠近两支座的横剪力图和弯矩图可知：在靠近两支座的横截面上剪力的绝对值最大；在梁的中间横截面上剪力的绝对值最大；在梁的中间横截面上，剪力为零，弯矩最大。截面上，剪力为零，弯矩最大。6-3 6-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAlFAYFBY例例3 3、图示简支梁、图示简支梁 C C 点受集中力作用。试写出剪力方程和点受集中力作用。试写出剪力方程和弯矩方程，并

15、画出剪力图和弯矩图。弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出弯矩方程写出弯矩方程x2x13. 3. 依方程画图。依方程画图。 MxlFab/CFablFblFaQAC axlFbxxM 1110/ lFbRxQA ax 0CB lxalxlFaxM 222/ lFbRxQB lxa 6-3 6-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 BAl例例5 5、图示简支梁、图示简支梁C C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力和弯矩图。，并画出剪力和弯矩图。解：解：

16、1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxxM 1110/CB bxlMxxM 2220/3. 3. 依方程画图。依方程画图。lMb/CMab lMRxQA )0(lx 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程lM剪力图和弯矩图的内在规律：剪力图和弯矩图的内在规律：若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；

17、若梁上有集中力，则在集中力作用处，剪力图若梁上有集中力，则在集中力作用处，剪力图 有突变，突变值即为该有突变，突变值即为该处集中力的大小，弯矩图在此处有折角；处集中力的大小，弯矩图在此处有折角；若梁上有集中力偶，则在集中力偶处，剪力图无变化，而弯矩图有突若梁上有集中力偶，则在集中力偶处，剪力图无变化，而弯矩图有突变，突变值即为该处集中力偶的力偶矩；变，突变值即为该处集中力偶的力偶矩；1.1. 在剪力在剪力Q=0Q=0的地方，弯矩取极值。的地方，弯矩取极值。xppllabPlpalpb2ql2ql82qllMolbMolaMo例例4-6：一外伸梁受均布载荷和集中力偶作用，如图所示，：一外伸梁受均

18、布载荷和集中力偶作用，如图所示， 作此梁的剪作此梁的剪力图及弯矩图。力图及弯矩图。解：(1)求支反力 由梁的平衡方程：MoRARB0,0qaRRYBA02, 022aRMMBOqaA得：KNRKNRBA15,35ABCDma1RBRAxMoma1ma1（2）作剪力图（3）作弯矩图15KN20KN15kN.m5kN.m10kN.mmKNq/20mKN 20 规律：规律：在梁上没有分布载荷的地方，弯矩图为一直线，在梁上没有分布载荷的地方，弯矩图为一直线，且一般为一倾斜直线。且一般为一倾斜直线。(2)(2)在有均布载荷的一段梁内，弯矩图为一抛物线。在有均布载荷的一段梁内，弯矩图为一抛物线。(3)(3)在集中力作用处，弯矩图在此为一折角。在集中力作用处，弯矩图在此为一折角。(4)(4)在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变之值在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。即为该处集中力偶之力偶矩。6-3 6-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例6 6、图示外伸梁受载荷如图所、图示外伸梁受载荷如图所示。已知示。已知q q和和a a值，值，试写出弯矩方试写出弯矩方程，并画出弯矩图。程，并画出弯矩图。aaaACBDqP=qaRARB解：解：1 1确定约束力确定约束力qaRqaPRRFqaRaqaaPaRFMABAyBByA410, 047025