非线性动态电路的分析

1、非线性动态电路的分析非线性动态电路的分析3 数值分析法 1 非线性电容与非线性电感 2 非线性动态电路的状态方程6 状态平面分析法 4 分段线性分析法 5 小信号分析法 7 平衡状态的稳定性 描述线性动态电路的方程是线性微分方程。工程上还广泛存在用非线性微分方程来描述的电路，称为非线性动态电路。本章简要介绍一些常用的非线性动态电路计算方法，包括数值分析法、分段线性分析法、小信号分析法和状态平面分析法。结合具体电路讨论平衡状态稳定性的判断方法、介绍跳变与振荡现象。 提要 压控型压控型:电荷是电压的单值函数,而电压是电荷的多值函数)(Cuqq 须以电压为控制量荷控型荷控型:电压是电荷的单值函数,而

2、电荷是电压的多值函数)(quuCC须以电荷为控制量单调型单调型:电荷与电压之间是严格单调关系,电压与电荷均可作为控制量可记作)(quuCC)(Cuqq 非线性电容：电容器所储存的电荷与极板间电压不成正比关系。(a)(b)(c)电压电荷关系曲线基本要求：了解非线性电容与非线性电感的特性。非线性电容与非线性电感非线性电容与非线性电感0),(Cuqf电荷与电压关系不能用显函数表示回线型非线性电容回线型非线性电容(例如用钛酸钡作介质的电容)电荷与电压关系uCqO非线性电容分类)(Li 流控型流控型表示为)(iiLL链控型链控型表示为波形为单调型单调型)(Li )(iiLL表示为波形为回线型回线型无显函

3、数表达0),(Lif表示为波形为非线性电感非线性电感：穿过线圈的磁链与流过的电流不是正比关系 。非线性电感非线性动态电路非线性动态电路：含有非线性元件(独立电源除外)的动态电路。以右为例，列写非线性动态电路的状态方程，过程如下：由KVL得SuuuLR代入得S)(dduRitL)(iiLL)(RiRiuLRRtuLdd推广到一般),(ddtxftx一阶非线性动态电路状态方程的一般形式状态变量非线性电路的状态方程非线性电路的状态方程非线性RL电路 电路如图所示，设电容的初始电压为 ，二极管的电压电流关系近似表示为 ，求 时的电压uC。0)0(UuC2buaui0t解22ddCCCbuaubuaut

4、uCi0t 时的电流为 伯努利伯努利方程方程两边除以-C2ddCCCuCbuCatu两边除以CbuCatuuCCC)1(dd)1(2或CbuCautCC)1()1(dd2Cu例例由已知条件得 01)0(1)0(1UKabuuCCCbuCautCC)1()1(dd其通解为 tCaCKabue10001aUbUaabUK解得将K值代入tCaCaUbUaabue )(100两边取倒数 )0(e )(100taUbUaabutCaC电路如图所示，非线性电感是链控型，即 ，非线性电阻是压控的，即 。列出状态方程。 )(222fi )(444ufi 解对节点列KCL方程 选电容电压 u1 和电感磁链 2

5、为状态变量。 对回路l列KVL方程 SiiiuCi421113122uuu)(222fi )()(14444ufufi)(223233fRiRu1224121322()( )/()Suf f uiCuR f )(222fi 例例非线性状态方程的标准形式 自治方程自治方程(autonomous equation)：方程中不明显地含有时间t的微分方程组。自治网络自治网络(autonomous network)：可用自治方程描述的电网络。平衡点平衡点(equilibrium)：自治方程的稳态解，即 的解。对应的电路状 态称为平衡状态。在平衡点处状态变量0)(tX0 )(tXG )()()(tttV,

6、XFX1224121322()( )/()Suf f uiCuR f 推广到一般情况状态向量输入向量V(t)是常量 )()(ttXGX直流激励或零输入),(ttXGX 外加激励是时间函数非自治方程非自治方程非自治网络非自治网络数值分析法：数值分析法：根据响应的初始值和 t0 时的激励，逐步递推响应在离散时刻的近似值。以一阶电路为例介绍如下。一阶电路状态方程),(ddtxftx两边乘以dt再取定积分11d),(d)()(kkkktttxtxttxfxkkttkkStxttxftxtxkk)(d),()()(11)(kktxx )(11kktxxkkttkkSxttxfxxkk1d),(1基本迭代

7、公式基本要求基本要求：了解数值分析法的原理和特点。数值分析法数值分析法1前向欧拉法前向欧拉法(Forward Euler method) ),(),()(1kkkkkkktxhftxfttS如图所示，本法用高度为 矩形面积近似代替曲边梯形面积 ，即令 ),(kktxfkS代入 得 ),(1kkkktxhfxxkkttkkSxttxfxxkk1d),(1前向欧拉法迭代公式kktth1步长：步长：2后向欧拉法后向欧拉法(Backward Euler method) ),(),()(11111kkkkkkktxhftxfttS如图所示，本法用高度为 矩形面积近似代替曲边梯形面积 ，即令 ),(11k

8、ktxfkS),(111kkkktxhfxx代入 得 kkttkkSxttxfxxkk1d),(1后向欧拉法迭代公式3梯形法梯形法(trapezoidal method) 如图所示，本法梯形面积近似代替曲边梯形面积 ，即令 kS),(),(5 . 0),(),()(5 . 011111kkkkkkkkkkKtxftxfhtxftxfttS),(),(5 . 0111kkkkkktxftxfhxx代入 得 kkttkkSxttxfxxkk1d),(1梯形法迭代公式4预报预报校正法校正法(prediction correction method) 对梯形法稍加改造，以减小计算量而又保持较高的计算精

9、度：先用前向欧拉法求出 作为预报值，然后把它代入梯形法迭代公式的 作校正。其迭代公式为： 1kx1kx),(,(5 . 0),(1111kkkkkkkkkktxftxfhxxtxhfxx电路如图所示，设 ，非线性电阻特性为(单位：A,V)。试用预报校正法求出0到1s(步长取h=0.2s)各时刻的响应值 。F1,V10)0(Cu201. 01 . 0RRRuuiu解由图列出t0时的电路方程： RitutuCdd1dd代入非线性电阻特性得 )(),()01. 01 . 0(dd2uftufuutu根据预报校正法迭代公式得： 2)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111

10、)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu例例% 例题12.3的MATLAB语言程序uk=10;h=0.2; % 赋初值、设定步长。for t=h:h:1 % 循环体控制。起始时刻：步长：终止时刻。 fk=(-0.1*uk-0.01*uk2); uk1=uk+h*fk; % 用前向欧拉法进行预报。 fk1=(-0.1*uk1-0.01*uk12); uk=uk+0.5*h*(fk+fk1); %用梯形法进行校正。 t, uk % 显示迭代计算值。end % 循环结束。2)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01.

11、 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu0.8-1.68218.56348.5721 8.5727 -1.58970.6-1.77948.88988.8994 8.8998 -1.67930.4-1.88519.23489.2454 9.2457 -1.77630.2-2.00009.60009.6117 9.6118 -1.88161.0-1.59228.25428.2621 8.2628 -1.50670.0010.000010.0000 10.0000 0时间(s)f (uk)u(tk+1)uk+11ku1()kf u具体迭代过程如下2)(01. 01

12、 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu基本要求基本要求：掌握分段线性分析法的基本原理和计算步骤。) 0( tSCuCuit0时的电路方程为 )(ddddufiituCtuCCR上u，i关系近似为记作 i=f(u) 上述方程的解对应着u-i平面上的点(u，i)，称之为。动态点移动的路径(包括方向)称为。以下图为例：分段线性RC 电路分段线性分析法分段线性分析法(1) 确定动态路径确定动态路径 设uC(0-)=U0，则动态路径的起始点就是P0点Citudd)(ddddufiituCtuCC由得i

13、0du/dt0i0动态点左移动态点右移P0 P1 O得动态路径为新的稳态) 0( tSCuCui分段线性RC 电路(2) 计算动态点位于计算动态点位于AB段的响应段的响应 AB 段的非线性电阻的电压、电流关系方程为1S11S2121UiRUiIIUUu对应的分段线性模型如右图，其中 021211IIUUR根据三要素公式，图中电容电压为 )0(e )(11S01S1ttUUUuCRtCR1t1的响应为（零输入）tt1OU1U0uCUS1分段线性电路模型电压 uC 的波形电路如图(a)所示，设IS=1.5A，C=1F，非线性电阻的电压电流关系如图 (b)所示。uC(0-)=2.5V，求t0时的电容

14、电压uC 。 123512SIA/RiV/RuABC0P1P2PO3P(a) (b) 例例(b) 解RCRCuuiItuCSddt0时由图 (a)得： 所以 CiItuRR/ )(ddS根据已知初始值uC(0-)=2.5V得 V5 . 2)0()0()0(CCRuuu故动态路径的起始点为 直线段的P0点。 AB(a) i ISduR/dt0i0动态点左移动态点右移i= ISduR/dt=0平衡点CP3，P2AP1P1，P2，P3P2BP3，OP1123512SIA/RiV/RuABC0P1P2PO3P 直线段的直线方程为： ABA5 . 2S5 . 0RRui(c)对应该段的线性电路模型如图(

15、C)由此图得 15 . 05 . 0/S10V)e5 . 02(e )25 . 2(2e)0()0(V2)A5 . 2(S5 . 010s2S5 . 01ttuuuuIuCtttCpCCpCCp设t1为动态点到达B点的时刻，则 s386. 1V3V)e5 . 02()(15 . 011ttutC分段线性电路模型t 时，动态点趋近平衡点P3。当tt1时，动态点位于 段上。 BC 直线段的直线方程为： BC5 . 05 . 0RRui由此图得： 1)(5 . 0)(5 . 0/ )(1p1pSp2Ve4e )43(4e)()(V4)5 . 0(5 . 01s25 . 01121tttutuuuIu

16、CttttttCCCCC对应该段的线性电路模型如图 (d)。 (d) 基本要求：掌握小信号分析法基本要求：掌握小信号分析法(small signal analysis)分析法的原理和步骤。分析法的原理和步骤。+LLLCCCRRRRRRiIiuUuiIiuUu,小信号分析法小信号分析法小信号分析法主要包括主要步骤：小信号分析法主要包括主要步骤：确定电路平衡状态解答。计算小信号解答。1 计算电路平衡状态解答计算电路平衡状态解答 线性部分EeRuCuLiRi线性部分E0eRULICURI小信号电源e不作用利用直流电路方法求解平衡状态解如UR、UC和IL小信号基尔霍夫定律2 计算小信号解答计算小信号解

17、答类似得出结论：各支路电压增量须满足KVL，即上两代数和中包括小信号电流(压)源。0ku线性部分EeRuCuLiRi由KCL得0)(kkkkkiIiIi平衡状态时0kI所以得0ki元件方程的增量形式动态电容CUuCuquqCCCddd动态电阻或动态电导dddRiuiuRRIiRRRRdd1ddRuiuiGRRUuRRRR动态电感LIidiiLLLdd 综上所述，由小信号电源作用所产生的小信号电压、电流分别服从KCL和KVL，小信号元件方程为近似的线性方程。据此可作出线性的小信号等效电路，如右图所示。其中e为小信号电源，各非线性元件均用其动态参数表示。解此线性电路便可得到小信号的近似解。 把平衡

18、状态解答与小信号解答相加便得到电路的近似全解把平衡状态解答与小信号解答相加便得到电路的近似全解 LLLCCCRRRRRRiIiuUuiIiuUu,图为非线性动态电路，设非线性电阻电压电流关系为 iR= 1.389 10-3 uR2，(uR 0) (单位：A，V)，非线性电感 =1.06710-3iL2 (单位：Wb，A)，直流电压源US=60V，阶跃电压源 uS=3(t)V。求t0时的响应uR。 例例动态电阻和动态电感分别为 H2dd6ddd1dLLRIiLUuiLuiR画出直流电源单独作用时计算平衡状态的等效电路如图，求得 解A253A56010389. 1V60S23SUIIIUURLRR

19、代入三要素公式得 0Ve2e)()0()(tuuuuttRRRR平衡状态解答与小信号解相加得 )0(V)e260(tuUutRRR小信号线性等效电路如图 所示。它是一阶线性动态电路，并且为零状态。由图得 s 1330)(V2)0(3)0(ddddSddRRLRLuuRRuRR基本要求：了解状态平面的概念和状态轨迹的画法。基本要求：了解状态平面的概念和状态轨迹的画法。状态平面：状态平面：以(x1，x2)为坐标点的x1x2平面。状态轨迹：状态轨迹：将t看作参变量，并设 t=0+，t1，t2 ， 对应x1和x2将在x1x2平面上描绘出一条以x1(0+)，x2 (0+)为起点的轨迹，称为状态轨迹。状态

20、平面分析法：状态平面分析法：在状态平面上绘制状态轨迹，通过分析状态轨迹的几何性质，进而研究动态电路的特性的方法。 如果已知状态变量的初始值和，由式(1)可求得 t0 时的解，记作 )()(2211txxtxx(2),(dd),(dd21222111xxftxxxftx(1)设二阶非线性自治电路的状态方程为状态平面分析法状态平面分析法绘制状态轨迹的方法：绘制状态轨迹的方法：在给定初始值x1(0+)及x2 (0+) 的情况下，求出微分方程(3)的解x2=F(x1) ，根据这一解答画出状态轨迹。 (1) 求出方程(1)的解x1(t)和x2 (t) ，令t=0+，t1，t2 ，求出相应的x1和x2 便

21、可绘制状态轨迹。(3),(),(dd21121212xxfxxfxx(2) 通过求出x1与x2的函数关系绘制状态轨迹。为此将式(1)中两式相除得画出图示电路的状态轨迹。 解电路的状态方程为 CLLCuLtiiCtu1dd1dd(1) 二式相除得CLLCuiCLiudd(2) 分离变量并求定积分得 )()0()()0(ddtiiLLtuuCCLLCCiLiuCu)0()0(2222LLCCiiLuuC(3) 令LLiCuKCLiCuKLCLC/)0()0(/)0()0(222221(5) 1222212KiKuLC简化成 例例(5) 1222212KiKuLC上式表明状态轨迹是垂直半轴为K1、水

22、平半轴为K2的椭圆。 K1 、 K2与初始值有关，不同的初始值对应不同的椭圆轨迹，LCiCtu1dd画出的。由上式得知，当iL0 时，duC /dt0，uC递减；当iL0 ，uC 递增。所以状态轨迹方向为顺时针。如图所示，图中状态轨迹的方向是根据 1 1 利用动态路径判断一阶电路平衡状态的稳定性利用动态路径判断一阶电路平衡状态的稳定性 1p2p (a) (b)稳定平衡状态不稳定平衡状态总结：如果平衡状态附近的动态路径方向均指向平衡状态，则该平衡状态是稳定的；否则是不稳定的。 基本要求：了解平衡状态稳定性的概念及判别方法。基本要求：了解平衡状态稳定性的概念及判别方法。平衡状态的稳定性：若由于某种

23、扰动使电路工作状态偏离了平衡状态，扰动结束后，如果电路能够恢复到原来的平衡状态，则称该平衡状态是稳定的；否则为不稳定的。 平衡状态稳定性平衡状态稳定性 图(a)为一弧光灯电路，US为直流电压源，弧光灯为一非线性电阻，其特性为流控型，记作u=u(i)，如图 (b)所示。判断平衡状态的稳定性。 (a) (b) RiUuS)(iuu USABMiuO例例利用图解法解上述方程，求得各平衡状态M、A、B点。 先确定全部平衡状态。由于在平衡状态时di/dt=0 ，有解)(SiuuRiUu(1)RiUuS)(iuu USABMiuO由上式可判定 M 和 B 对应稳定平衡状态；而 A 对应不稳定平衡状态。(2) 确定动态路径。设电路处于非平衡状态，其KVL方程为 uRiUtiLSdd或写作 LuRiUt