第2章 能量守恒定律

1、2- -4 基本教学要求基本教学要求 一、掌握一、掌握功的概念功的概念, , 能计算变力的功，能计算变力的功，理解理解保守力作功的特点及势能的概念，会计保守力作功的特点及势能的概念，会计算万有引力、重力和弹性力的势能算万有引力、重力和弹性力的势能 二、掌握二、掌握动能定理、功能原理和机械动能定理、功能原理和机械能守恒定律，能守恒定律，掌握掌握运用动量和能量守恒定运用动量和能量守恒定律分析力学问题的思想和方法律分析力学问题的思想和方法 三、了解三、了解完全弹性碰撞和完全非弹性完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点，并能处理较简单的碰撞的特点，并能处理较简单的完全弹性完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的问题

2、碰撞和完全非弹性碰撞的问题2-4-4 基本教学要求基本教学要求2-4-1 功和功率功和功率 功是度量能量转换的基本物理量，它描功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。写了力对空间积累作用。功的定义： 在力在力 的作用下，的作用下，物体发生了位移物体发生了位移 ，则，则把力在位移方向的分力与把力在位移方向的分力与位移位移 的乘积称为功。的乘积称为功。FrrxyzO1rrFFrFrFcosW国际单位：国际单位：焦耳焦耳（J ）NmabFrd 质点由质点由a点沿曲线运动到点沿曲线运动到b点的过程中，变力点的过程中，变力 所所作的功作的功 。F元功：rFWddcosbbaaWFrFrd

3、d合力的功：合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21结论：合力对质点所作的功等于每个分力对合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和质点作功之代数和 。在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd在自然坐标系中，力在自然坐标系中，力 和和 可写成如下可写成如下形式：形式：Fdrt tn nFFeF etdrdsetdWF drFds质点沿曲线从质点沿曲线从s0运动到运动到s1过程中，力所做过程中，力所做的功为：的功为：10sts

4、WFds功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：功率：平均功率：平均功率：tWP瞬时功率：瞬时功率：tWtWPtddlim0瓦特瓦特（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd设作用在质量为设作用在质量为2kg的物体上的力的物体上的力F = 6t N。如。如果物体由静止出发沿直线运动，在头果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力）内这力作了多少功？作了多少功？ttmFa326taddvtttad3ddv两边积分：两边积分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ362-4-2 动能和动能定理 质

5、点因有速度而具有的作功本领。质点因有速度而具有的作功本领。221vmEk单位：单位：（J）设质点设质点m在力的作用下沿在力的作用下沿曲线从曲线从a点移动到点移动到b点点sFrFWdcosddrdFab1质点动能定理质点动能定理)(21dd212221vvvvvvmmWW质点的动能定理：质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFddcosv解解d5dxxtvddyyttv2225tv2221113J22Wmmvv例例 质量为质量为 的质点的质点, 在平面内在

6、平面内运动运动, 方程为方程为 ，求，求从从 到到 这段时间内，外力对质点这段时间内，外力对质点作的功作的功.25 (m)0.5 (m)tyt，x0.5kgm 4st 2st 2质点系的动能定理质点系的动能定理 iFif一个由一个由n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i个质点。个质点。 质点的动能定理：质点的动能定理： iiEE1k2k内外iiWW对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外内12kkEE外内WW 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。内力作功之代数

7、和。 内力做功可以改变系统内力做功可以改变系统的总动能。的总动能。 例例2 如图所示，用质量为如图所示，用质量为M的铁锤把质量为的铁锤把质量为m 的钉子的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？全相同，问第二次能把钉子敲入多深？1S2SxO设铁锤敲打钉子前的设铁锤敲打钉子前的速度为速度为v0，敲打后两者的共同速敲打后两者的共同速度

8、为度为v。 vv)(0mMMmMM0vv铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：力大小为： kxf由动能定理，由动能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S ，则有，则有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化简后化简后第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为： cm41. 0cm1) 12(211SSS2-4-3 保守力与非保守力 势能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrg

9、m),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功仅取决于质点的始、末位置重力做功仅取决于质点的始、末位置z za a和和z zb b，与质点经过的具体路径无关。与质点经过的具体路径无关。 （2） 万有引力作功万有引力作功 设质量为设质量为M的质点固的质点固定，另一质量为定，另一质量为m的质点的质点在在M 的引力场中从的引力场中从a a点运点运动到动到b b点。点。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddrrdrrd crdMabarbrbarrrrMmGrr

10、MmGWba11d020 万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。与具体路径无关。 （3）弹性力的功）弹性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力沿任何闭合路径作功等于零。0drF设保守力沿闭合路径设保守力

11、沿闭合路径acbda作功作功abcd按保守力的特点：按保守力的特点：因为：因为：所以：所以：adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点的势能两点的势能Epa与与 Epb之差，等之差，等于质点由于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力所做的功点过程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(由物体的相对位置所确定的系统能量称为由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能势能（E Ep p）（1）势能是一个系统的属性。）势能是一个系统的属性。（2）（3）势能的零点可以任意选取。）势能的零点可以任意选

12、取。 设空间设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：的势能为：orropprFrErErEd)()()( 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。点移动到势能零点时保守力做的功。mghEp（地面（地面（h = 0= 0）为势能零点）为势能零点）221kxEp（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）rMmGEp0（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）保守力与势能的积分关系：pEW保守力与势能的微分关系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppd

13、ddd所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。指向势能降低的方向。 结论：2-4-4 机械能守恒定律21ppWEE 保内12kkEE外内WW质点系的动能定理：质点系的动能定理：非保内保内内WWW其中其中12kkEEWWW非保内保内外 1p1k2p2kEEEEWW非保内外pkEEE机械能12EEWW非保内外 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保质点系机械能的增量

14、等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。守内力所作功的代数和。 质点系的功能原理0外W如果如果0非保内W，pkEEE恒量 当系统只受保守内力作功时，质点系的总机当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。械能保持不变。机械能守恒定律 注意：（1 1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。非惯性系。这是因为惯性力可能作功。（2 2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一

15、个参考系外力功为零，但考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。在另一参考系中外力功也许不为零。例例3. 传送带沿斜面向上运行速度为传送带沿斜面向上运行速度为v = 1m/s，设物料无，设物料无初速地每秒钟落到传送带下端的质量为初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M = 50kg/s，并，并被输送到高度被输送到高度h = 5m处，求配置的电动机所需功率。处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）hv解：解： 在在t 时间内，质量为时间内，质量为Mt 的物料落到皮带的物料落到皮带上，并获得速度上，并获

16、得速度v 。t内内系统动能的增量：系统动能的增量：0212vtMEki重力做功：重力做功：ghtMW电动机对系统做的功：电动机对系统做的功：tP由动能定理：由动能定理：221vtMghtMtPW247558 . 92150222ghMPv例例4. 一长度为一长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）解解设单位长度的质量为设单位长度的质量为l 2lOOcc始末两态的中心分别为始末两态的中心分别为c和和c机械能守

17、恒：机械能守恒： 2221222vlglllg l解得解得lgv例例5. 5. 计算第一，第二宇宙速度计算第一，第二宇宙速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量，质量为为M，卫星质量为，卫星质量为m。要使。要使卫星在距地面卫星在距地面h高度绕地球高度绕地球作匀速圆周运动，求其发作匀速圆周运动，求其发射速度。射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：hRmhRMmG22v解方程组，得：解方程组，得：hRGMRGM21v2RmM

18、Gmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv2. 第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。等于零。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102 .11222vvgRRGM（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。 一轻弹簧一轻弹簧, 其一端系在其一端系在铅直放置的圆环的顶点铅直放置的圆环的

19、顶点P，另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小的小球球, 小球穿过圆环并在环上小球穿过圆环并在环上运动运动( (=0) )开始球静止开始球静止于点于点 A, 弹簧处于自然状态，弹簧处于自然状态，其长为环半径其长为环半径R; 30oPBRA当球运动到环的底端点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数力求弹簧的劲度系数 解解 以弹簧、小球和以弹簧、小球和地球为一系统地球为一系统BA只有保守内力做功只有保守内力做功系统系统ABEE 即即)30sin2(2121022mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取点取点B为重力势能零点为重力势能零点0pE3

20、0oPBRA2-4-5 碰撞 两个或两个以上的物体在运动中两个或两个以上的物体在运动中发生极其短暂的相互作用，使物体的发生极其短暂的相互作用，使物体的运动状态发生急剧变化，这一过程称运动状态发生急剧变化，这一过程称为为碰撞碰撞。 1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO动量守恒动量守恒2211202101vvvvmmmm完全弹性完全弹性碰撞：碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的的动动能没有损失能没有损失。 非弹性碰撞非弹性碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的的动动能有损失能有损失。 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的的动动能有损失能有损失，且且碰撞后碰撞后物体物体

21、以同一速度运动以同一速度运动。 1. 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1) 如果如果m1= m2 ，则，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体即两物体在碰撞时速度在碰撞时速度发生了发生了交换交换。 (2) 如果如果v20 =0 , 且且 m2 m1, 则则v1 = - v10, v2 = 02完全完全非非弹性碰撞弹性碰撞 21202101mmmmvvv由动量守恒定律由动量守恒定律完全非弹性碰撞中完全非弹性碰撞中

22、动动能的损失能的损失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv牛顿的牛顿的碰撞定律碰撞定律：在一维对心碰撞在一维对心碰撞中，中，碰撞碰撞后两物后两物体的分离速度体的分离速度 v2 2- - v1 1 与与碰撞碰撞前两物体的接近速度前两物体的接近速度 v1010- - v2020 成正比成正比，比值由两物体的材料比值由两物体的材料性质性质决定决定。 3非非弹性碰撞弹性碰撞201012vvvve e 为恢复系数为恢复系数 e = 0，则则v2 = v1，为，为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。 e =1，则分离速度等于接近速度则分离速度等于接近

23、速度，为，为完全弹性碰撞完全弹性碰撞。 一般一般非弹性碰撞非弹性碰撞碰撞碰撞：0 e 1 如果系统的状态在某种操作下保持不变，则称如果系统的状态在某种操作下保持不变，则称该系统对于这一操作具有该系统对于这一操作具有对称性对称性。 如果某一物理现象或规律在某一变换下保持不变，则称该现象或规律具有该变换所对应的对称性。 物理学中最常见的对称操作：物理学中最常见的对称操作： 时间操作：时间操作：时间平移、时间反演等；时间平移、时间反演等； 空间操作：空间操作：空间平移、旋转、镜像反射、空间反演等。空间平移、旋转、镜像反射、空间反演等。 时空操作：时空操作：伽利略变换、洛仑兹变换等。伽利略变换、洛仑兹

24、变换等。 zxyO1空间的对称性及其操作（1）空间平移操作）空间平移操作zzyyxx,系统具有空间平移对称性。系统具有空间平移对称性。 x（2）空间反演操作）空间反演操作zzzyyyxxx,空间反演操作下空间反演操作下不变的系统具有不变的系统具有对对O O点的对称性。点的对称性。 xyz（ 3）镜像反射操作）镜像反射操作 xx不变zy,zxyyzx（4）空间旋转）空间旋转（球对称球对称）操作操作 zyxO在此操作下系统称具有球在此操作下系统称具有球对称性。对称性。 rr保持不变保持不变（5）空间旋转）空间旋转（轴对称轴对称）操作操作r保持不变,对绕对绕 z 轴作任意旋转都不变的系统具有轴对称性。轴作任意旋转都不变的系统具有轴对称性。 2时间的对称性及其操作（1）时间平移操作）时间平移操作ttt，系统不变，系统不变例如例如,系统作周期性变化系统作周期性变化（2）时间反演操作）时间反演操作tt系统具有时间反演对称性。系统具有时间反演对称性。 3时空的对称性操作 物理规律对对于某一变换（也是一个时