动 量 矩定 理

1、113-1 13-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 13-2 13-2 动量矩定理动量矩定理 13-3 13-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程13-4 13-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量13-5 13-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理13-6 13-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程213-1 13-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1 1质点的动量矩质点的动量矩对点对点O的动量矩的动量矩()OMmvrmv3()()OzzMmvMmv1()nOOiiiLMmv 1()nzziiiLMmv 对对 z

2、z 轴的动量矩轴的动量矩 单位单位:kgm2/s 2 2质点系的动量矩质点系的动量矩 对点的动量矩对点的动量矩 对轴的动量矩对轴的动量矩()zMmv 等于等于 对点对点O的矩的矩.xymv()zMmv 是是代数量代数量,从从 z 轴正向看轴正向看,逆时针为正逆时针为正,顺顺时针为负时针为负.4iiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrm2iizrmJzzJL （1 1） 刚体平移刚体平移.可将全部质量集中于质可将全部质量集中于质心，心，作为一个质点来计算作为一个质点来计算.()zzCLM mv()OOCLM mv,（2 2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 转动惯量转动惯量OzzLLO

3、xyzLL iL jL k 即即 5dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 13-2 13-2 动量矩定理动量矩定理 1 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理设设O为定点为定点,有有0vmvd()dmvFt其中其中:ddrvt （O为定点）为定点）6d()( )dxxMmvMFtd()( )dyyMmvMFtd()( )dzzMmvMFt投影式投影式:d()( )dOOMmvMFt因此因此 称为称为质点的动量矩定理质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩等于作用力对同一点的矩.7OA8OzOzMtL

4、ddOA sinmglMOzdtdmlllmmvlLOz2)(9 sinmglMOz sin)dd(dd2mgltmlt0 sindd22lgtdtdmlllmmvlLOz2)(OA10ddd()()dddOOi iOi iLM mvM mvttt( )d()deOOiLMFt 得得称为称为质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理:质点系对某定点质点系对某定点O的动量矩对时间的动量矩对时间的导数的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和.( )( )d()()()dieOiiOiOiMmvMFMFt( )( )d()()()dieOi iOiO

5、iMmvMFMFt2. 2. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 由于由于 ( )()0iOiMF11( )d()dexxiLM Ft( )d()dyeyiLMFt 投影式投影式:( )d()dezziLMFt 内力不能改变质点系的动量矩内力不能改变质点系的动量矩.123 3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若若 , 则则 常矢量；常矢量；( )()0eOMFOL 若若 , 则则 常量。常量。( )()0ezMFzL 例：面积速度定理例：面积速度定理有心力有心力：力作用线始终通过某固定点：力作用线始终通过某固定点, 该点称该点称力心力心.由于由于 ,有有( )0OMF ()M mvrmv 常矢量常

6、矢量13ddrrmvrmt（2） b = 常量常量ddrrt即即 常量常量d2drrA由图由图, , ddAt因此因此, 常量常量（1） 与与 必在一固定平面内必在一固定平面内,即点即点M的运动轨迹是平面曲线的运动轨迹是平面曲线.rv 称面积速度称面积速度.ddAt 面积速度定理面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒：质点在有心力作用下其面积速度守恒.14OABr1r2(a)15OABr1r2(b)v1v2m1gm0gm2gF0y)a(ddOzOzMtL222111rvmrvmJLOOz)b()(222211rmrmJLOOz)c()(2211grmrmMOz16)a(ddOzOzMt

7、L)b()(222211rmrmJLOOz)c()(2211grmrmMOzgrmrmtrmrmJO)(dd)(2211222211grmrmJrmrmtO2222112211ddOABr1r2(b)v1v2m1gm0gm2gF0y17OMW1vW2FN18vRmJLO2RgmMM sin2)e(OMW1FOxFOyvW2W2NW2tFN19RgmMvRmJt sindd22Rvatvdd2222 sinRmJgRmMRaRgmM sin20aOMW1FOxFOyvW2W2NW2tFN20水轮机转轮水轮机转轮, ,进口水速度进口水速度 , ,出口水速度出口水速度 , ,它们与切线夹角它们与切线

8、夹角分别为分别为 , , ,总体积流量总体积流量 . .求水流对转轮的转动力矩求水流对转轮的转动力矩. .1v12Vq2v21222cosd1rvtqnLVCDcd111cosd1rvtqnLVABab2 221 11d( )(coscos)dOOVLMFnqv rv rt2 221 111dd (coscos)OVLqt v rv rn设叶片数为设叶片数为 ,水密度为水密度为 ,有有n经经dt 时间时间,水由水由ABCD流到流到 abcd 动量矩动量矩dOabcdABCDCDcdABabLLLLL改变为改变为解：解：222322ebrlv4Vm SVv4r240)(422brrSVVO)(4

9、22brSVrO1. )(4)(444)(42222erbrrSVVbrrSVVlvrvmMz25141WW OABACDE26WRMRgWJtD)(dd22121RgWJDRgWWRMa1134gWWRMa1134OWMODEW1(b)FoxFoy27lFRlWlWWRlRgWJtADN21)2(2)( )2(dd)21()(2121NlRWWWFAlaRlRgWJD)2(OAB(b)WW2FNAACDEFNBW1(c)RgWWFA11N161161728WWWFFRgWBA21NNagWWRgWFWWWFAB11N21N1651619 OAB(b)ACDE(c)29 13-3 13-3 刚

10、体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程12,nF FF主动力主动力:12,NNFF约束力约束力:d()()()dizzizNJMFMFt ()ziMF d()dzziJMFt 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFt 或或30MFMOO31111F101F)()1 (ddOFOOOOMMMMMMMtJWFxFyMrMOOcJMbJMMOOOO11F1,cbtdd32t00ddtccbcctcb0)ln(cbtddWFxFyMrMOOctebcb33)1 (ctecb11F1OOMMMcbWFxFyMrMOOctebcb34OCb35 sindd22mgbtJOOCb F1

11、F2mg0 sindd22OJmgbt0OJmgb 36)a()( cos0tJmgbO)b(22;00mgbJTJmgbOO)c(422mgbTJO0,0OCb F1F237OBAB38 0BBJconst0BllmJJtBBA20(dd sin sin221glmlgm0 sin)21()31(2121gmmlmm BBAm2gFAxFAy(b)OBAm2gm1gFOyFOx(c)39lgmmmm.626321210BBAm2gFAxFAyOBAm2gm1gFOyFOxt00 cos(b)(c)4041020122maamaLz22) sin(2lamLz022) sin(laa42ROF

12、1F243)(21FFRJJRFF)(21ROF1F24445RFfFRtJONsddtRFfJtOOdd0Ns0RFfJtOONsOOFFNFOxFOyW461212RRi471111RFMJ2222MFRJ 121221 ,RRiFF2122112211iJJiMM48MMBACBAr1r2RCJ2J1WW49RmgrFmvRJtB2t22dd1t11rFMJA（a）RmgrFmaRJB2t22（b）1221rr1111MM2222BACBAr1r2RCJ2J1WWFtAFnBFtBFnAaavv50Rv2Ra2RmgRrrMamRaJrrJ12222121irr12212221mRJiJ

13、RmgRMia1111MM2222BACBAr1r2RCJ2J1WWFtAFnBFtBFnAaavv1221rr（c）5121iinizrmJ13-4 13-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 单位：单位：kgm2 1. 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得5242)d2(402RrrrJARAO222mRmRRmJiiz（2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量Aiiirrmd2（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2R

14、mA式中式中：221mRJO 或或532 2. . 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mJzz2zzmJ或或2mdJJzCz3 3平行轴定理平行轴定理Czdzz 式中式中 轴为过质心且与轴为过质心且与 轴平行的轴，轴平行的轴， 为为Cz与与 轴之间的距离。轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积平方的乘积.54)(2121yxmJizC)(222yxmrmJiiz)(2121dyxmiiiimdy

15、mdyxm2121212)(01iiCmymy证明证明：因为因为2mdJJzCz01ymi有有 ，得，得55lACzCz231mlJz22121)2(mllmJJzzC56要求记住三个转动惯量要求记住三个转动惯量22mR（1） 均质圆盘对盘心轴的转动惯量均质圆盘对盘心轴的转动惯量32ml（2） 均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量122ml（3） 均质细直杆对中心轴的转动惯量均质细直杆对中心轴的转动惯量574 4组合法组合法58盘杆OOOJJJ2131lmJO杆22)2(dlmJJCO盘2222)2()2(21dlmdm)83(222ldldm)83(3122221ldldml

16、mJO59lR1R2z6021JJJz211121RmJ 222221RmJ 21121RmJz22221RmlR1R2z61lRm211lRm222)(214241RRlJz)(2122212221RRRRl,)(2221mRRl)(212221RRmJz625 5实验法实验法O例：求对例：求对 轴的转动惯量轴的转动惯量.将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动上，作微幅摆动. .mglJT2由由lm,TJ其中其中 已知已知, 可测得，从而求得可测得，从而求得 .解解：636. 6. 查表法查表法6465666713-5 13-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定

17、理1 1对质心的动量矩对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmv0i iCmrrm 有有CiiirLrmv由于由于iCirvvvCiiCiiirLrmvrmv得得()0iiCiiCrmvmvv其中其中即：质点系相对质心的动量矩，即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.68OCCiiLrrmvCiiiiirmvrmv,iiCiiiCmvm vrmvLOCCCLrmvLOCCMmvL对任一点对任一点O的动量矩：的动量矩：69 ddddeOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相对质心

18、的动量矩定理相对质心的动量矩定理 eeCiiirFrFdd,0ddCCCCrrvmvtt由于由于ddddddCCCCCrLmvrmvttt即即70 ddeCCCirmvrFt eeCiCirFrF质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩的外力对质心的主矩. ddeCiiLrFt得得 d()deCCiLMFt或或71 ()eCeCCmaFJMF 2222ddd()deCeCCrmFtJMFt或或13-6 13-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分

19、方程72 ()eCxxeCyyeCCmaFmaFJMF 以上各组均称为刚体平面运动微分方程以上各组均称为刚体平面运动微分方程. ()etCtenCneCCmaFmaFJMF 应用时一般用投影式应用时一般用投影式：73xyOCAFNFmgaC740dd,dd2222tyatxCCCxyOCAFNFmgaC75xyOCAFNFmg cos sin31smgfmg76 xyOABC77)c(cossin)b( )a(lFlFJmgFymFxmABCBCAC xyOFAFBmgCvABCx) e ( cos)d( sinlylxCC78)g( cos sin)f ( sin cos sin, cos2

20、2 llyllxlylxCCCC)h( sin43lg xyOFAFBmgCvABC79dddddd t0dsin43d0lg) i () cos (cos230lgxyOFAFBmgCvABC80121 sin cos ll11011 sin) cos (cos23 cos sin43lgllgl) cos32(cos011) i () cos (cos230lg81MCraCx82FmaCxmgFmaCyNFrMmC2MCraCmgFFNx83,CmaF mgF N,)(22rmMraCCrrFMC)(22rrmgfMC22s MCraCmgFFNx8485 sintmgFmaC cosN2mgFrRvmCFrJCRr（+）FmgFNOCtCa86)(rRs22tddtsaC221mrJCsin0d2d322srRgts)( 3220rRg0dd2022stsraCtRr（+）FmgFNOCtCa87)( sin0