2019届高三文数一轮复习课时跟踪训练：选修4-4坐标系与参数方程课时跟踪训练

1、课时跟踪训练(六一一)基础巩固1. (2016 全国卷皿)在直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci的参数方程为/ =Q3cOSa,.(a为参数).以坐标原点为极点，以 X 轴的正半轴为极轴，建立y= Sina,(n极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为pin i 幷 4 !=22(1) 写出 Ci的普通方程和 C2的直角坐标方程；设点 P 在 Ci上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.x2解(1)Ci的普通方程为3+ y2= I.C2的直角坐标方程为 x+ y 4 = 0.(2) 由题意，可设点 P 的坐标为&3cosa,sin.因为 C2是直线，所以|PQ|的最小

2、值即为P 到 C2的距离 d(a的最小值，d(a)=辰讣叽-4|= 2nsin严3 2当 sin；a+ n=1 时， d 的最小值为 Q2,此时a=6+ 2kn,k Z, . P 点坐i3n 标为 2，2 .2 . (2016 全国卷I)在直角坐标系 xOy 中，曲线 G 的参数方程为x = acost,1(t 为参数，a0) 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐 y= 1 + asint标系中，曲线 C2:尸 4cos0.(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；直线 C3的极坐标方程为9= a，其中a满足 tana=2,若曲线 G 与 C?的公共点都在 C3上，

3、求 a.解(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2+ (y 1)2= a2,G 是以(0,1)为圆心， a为半径的圆.将 x=posB, y=pinB代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为2pinB+1a2=0.p2pin0+1a2=0,(2)曲线 Ci, C2的公共点的极坐标满足方程组、p=4cos0若产 0,由方程组得 16coS08sinfcos0+1 a2= 0, 由已知 tan0=2,可得16co 8sinficos0=0, 从而 1 a2=0,解得 a= 1(舍去)，a= 1.a= 1 时，极点也为 G, C2的公共点，在 C3上,所以 a= 1.3.(2018 湖

4、北七市联考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为x=2+tcosa(t 是参数),以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，y=3+tsina一(n曲线 C2的极坐标方程为尸 8cos(0- n(1) 求曲线 C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2) 若曲线 C1与曲线 C2交于 A, B 两点，求|AB|的最大值和最小值.(n-解(1)对于曲线 C2有P=8cosJ 3即p= 4pos0+43pin0,因此曲 线 C2的直角坐标方程为 x2+ y2 4x4 3y= 0,其表示一个圆.(2)联立曲线 C1与曲线 C2的方程可得 t2 2 3sinat 13= 0,

5、 |AB| = |b1?|=t1+1224 址2= ；2、3si na24X 13=12si n2a+52,因此|AB|的最小值为 2 13，最大值为 8.4.(2017 东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 C1的极坐标方程为p=4cos0,直线 l(1)求曲线 Cl的直角坐标方程及直线 I 的普通方程；X= 2C0Sa,若曲线 C2的参数方程为(a为参数)，曲线 Ci上的点 P 的极y=sinan角为 4，Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 I 的距离的最大值.解(1)由 尸 4cos0得p=4po

6、sB,又 x2+ y2=p,x=pos0y=pin0所以曲线 C1的直角坐标方程为 x2+ y24x= 0,由直线 I 的参数方程消去参数 t 得直线 I 的普通方程为 x+ 2y 3= 0.(2)因为点 P 的极坐标为 2 2,：,直角坐标为(2,2),点 Q 的直角坐标为(2cosasinc),(1、 所以 M 1+ cosa,1 + 2si na,|1+cosa+2+sina 3| x/10=5 !si%a+4/当a+4= 2+ knk Z)，即a=4+ k 兀牡 Z)时，点 M 到直线 I 的距离 d 的最大值为2 25. (2017 西宁统一测试)已知曲线 C: x4+ = 1,直线

7、 I:参数).(1) 写出曲线 C 的参数方程，直线 I 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 I 夹角为 30勺直线，交 I 于点 A,求|PA|的 最大值与最小值.x= 2cos0,(t 为参数).点 M 到直线 I 的距离 d=x= 2 +1,y= 2 2t(t 为的参数方程是解(1)曲线 C 的参数方程为(0为参数).y=3sin0直线 I 的普通方程为 2x+ y 6= 0.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos0,3sin0到 I 的距离为 d=|4cos0+ 3sin06|,d2/54则|PA| =s sin n30 =_5=_5 |5sin(0+ ”一 6|,其

8、中a为锐角，且 tana=3.当 sin(0+a= 1 时，|PA|取得最大值，最大值为22g5.当 sin(0+a= 1 时，|PA|取得最小值，最小值为 令5能力提升6. (2017 陕西西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 0 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为p2sin000,2n(1) 求曲线 C 的直角坐标方程；x x= V3t+U3,(2) 在曲线 C 上求一点 D，使它到直线 l :y y= 3t3t+2 2(t 为参数)的距离最短，并求出点 D 的直角坐标.解(1)由 尸 2sin0, 00,2n可得P =2pin0因为

9、p= x2+ y2,pin0=y,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+ y2 2y= 0(或 x2+ (y 1)2= 1).(2)因为直线 l 的参数方程为x=卑+呼ly= 3t + 2消去 t 得直线 l 的普通方程为 y= 3x+ 5.因为曲线 C: x2+ (y 1)2= 1 是以 G(0,1)为圆心、1 为半径的圆，(易知 C、l 相离)设点 D(XD, y),且点 D 到直线 l: y= 3x + 5 的距离最短，(t 为参数),所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 I:即直线 GD 与 I 的斜率的乘积等于1,y= 3x+5 平行.即即 (- 3)= 1,又 x0+ (yo 1

10、)2= 1,可得 Xo= -(舍去)或 xo=23，所以 yo=32,坐 3、2,2 /7. （2017 湖南五市十校高三联考）在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为a的直即点 D 的坐标为,x 3 + tCOSa,线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 I 与曲线C:lytsinax=cos9y=tan9为参数）相交于不同的两点 A, B.（1）若a= n,求线段 AB 的中点的直角坐标;（2）若直线 I 的斜率为 2,且过已知点 P（3,0），求|FA| |PB|的值.解（1）由曲线C:1x cos9（9为参数），可得曲线 C 的普通方程是ytan9x2y2= 1.当a=r1x 3+ 2

11、匕,直线 l 的参数方程为（t 为参数） ,ly-爭代入曲线 C 的普通方程，得 t2 6t 16= 0,设 A, B 两点对应的参数分别为 t1, t2,则 t1+12= 6,所以线段 AB 的中点对应的 t =十=3,故线段 AB 的中点的直角坐标为9 3/32 2 丿(2)将直线 I 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，化简得(cos2asin2at2+6tcosa+8=0,由已知得 tana=2,故|PA|PB|=.x=acos6&在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci：j一(6为参数)，其中 ab0.y=bsin6以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线

12、C2： 尸 2cosB,射线 I:0= ap0).若射线 I 与曲线 Ci交于点 P,射线 I 与曲线 C2交于点 Q,当a=0时，|PQ|=1；当a= n时 |OP|=3(1) 求曲线 G 的普通方程;x= t,(2) 设直线：=$求厶 OPR 的面积.x=acos6,解(1)因为曲线 C1的参数方程为(6为参数)，且 ab0,所y=bsin62 2 2 202i i20以曲线 G 的普通方程为移+ *= 1,而其极坐标方程为pcs+卩翠 =1.2 2 2 2将0=0(P0)代入卩爭0+p：n0= 1,得 尸 a,即点 P 的极坐标为(a,0),将0=0(p0)代入 尸 2cos0,得 尸 2,即点 Q 的坐标为(2,0).因为 |PQ|= 1,所以 |PQ|= |a 2|= 1,所以 a= 1 或 a= 3.2202i20/n将0=2(P0)代入卫 co +P* = 1,得 尸 b,即点 P 的极坐标为 p2!,因为|OP|= .3,所以 b= 3,因为 ab0,所以 a= 3,x2y88(1+tan2a2 . 2cosasina21tana则 |PA| |PB|= |tit2=n(t 为参数，t 工 0)与曲线 C2交于点 R,若a=3,所以曲线 C1的普通方程为 9 + 3 = 1.x= t,(2 )因为直线I的参数方程为 jy(3t(t