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文档简介
1、1 第三章第三章 动量与角动动量与角动量量 2往往关怀过程中力的效果:往往关怀过程中力的效果:力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应:力在时间上的积累效应:平动平动 冲量冲量 动量改动动量改动转动转动 冲量矩冲量矩 角动量改动角动量改动力在空间上的积累效应力在空间上的积累效应功功 能量改动能量改动牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题如宏观的碰撞、微观的散射中,在有些问题如宏观的碰撞、微观的散射中,33.1 冲量、动量、质点动量定理冲量、动量、质点动量定理3.2 质点系动量定理质点系动量定理 3.3 动量守恒定律动量守恒定律3.4 蜕变量系统、
2、火箭飞行原理蜕变量系统、火箭飞行原理3.5 质心质心3.6 质心运动定理质心运动定理3.7 质点的角动量质点的角动量3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律3.9 质点系的角动量质点系的角动量3.10 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 43.1 冲量、动量、质点动量定理冲量、动量、质点动量定理定义:定义:力的冲量力的冲量 d 21tttFI质点动量质点动量 vmp ddd)d( tptmFv质点动量定理质点动量定理 ddd ptFI微分方式微分方式 d 1221pptFItt积分方式积分方式5平均冲力平均冲力tptttFFtt)(d1221 求:篮球对
3、地的平均冲力求:篮球对地的平均冲力F解:解:篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率m/s26. 6280. 922 ghvN1082. 3019. 026. 658. 0222 tmFv【TV】冲力演示】冲力演示Ft0 tF【例】质量为【例】质量为 m = 0.58kg 的篮球从的篮球从 h = 2m 的的 高度下落,到达地面后以同样速率反弹,触高度下落,到达地面后以同样速率反弹,触 地时间地时间 t = 0.019s 。83.2 质点系动量定理质点系动量定理 :质点:质点 i 受的合外力受的合外力iF:质点:质点 j 对对 i 的内力的内力ijfip:质点:质点 i 的动量的动量对质点对质点
4、i :iijijiptfFdd )(对质点系:对质点系: iiiijijiptfFdd() iijijf0由牛顿由牛顿III定律有:定律有:iFipijfjifi j质点系质点系9 iiiiptFdd()所以有:所以有:PpFFiiii ,外外令令 dd PtF外外得:得: dd tPF外外或或质点系动量定理质点系动量定理微分方式微分方式 d 1221PPtFtt外外 质点系动量定理质点系动量定理积分方式积分方式用质点系动量定理处置问题可避开内力。用质点系动量定理处置问题可避开内力。系统总动量由外力的冲量决议,与内力无关。系统总动量由外力的冲量决议,与内力无关。103.3 动量守恒定律动量守恒
5、定律 质点系的动量守恒定律。质点系的动量守恒定律。 几点阐明:几点阐明:质点系所受合外力为零时,质点系的总动量质点系所受合外力为零时,质点系的总动量不随时间改动不随时间改动 0 常矢量常矢量时时PF,外外3. 动量假设在某一惯性系中守恒,那么在其动量假设在某一惯性系中守恒,那么在其它一它一 切惯性系中均守恒。切惯性系中均守恒。1. 动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。114. 假设某个方向上合外力为零,那么该方向假设某个方向上合外力为零,那么该方向上动上动 量守恒,虽然总动
6、量能够并不守恒。量守恒,虽然总动量能够并不守恒。5. 当外力当外力 内力且作用时间极短时如碰内力且作用时间极短时如碰 撞,可以为动量近似守恒。撞,可以为动量近似守恒。6. 动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基 本的定律,它在宏观和微观领域均适用。本的定律,它在宏观和微观领域均适用。7. 用守恒定律作题,应留意分析过程、系统用守恒定律作题,应留意分析过程、系统 和条件。和条件。 12 粘附粘附 主体的质量添加如滚雪球主体的质量添加如滚雪球低速低速v c情况下的两类蜕变量问题:情况下的两类蜕变量问题:下面以火箭飞行为例,讨论蜕变量问题。下面以火箭飞行为例,讨论蜕
7、变量问题。3.4 蜕变量系统、火箭飞行原理蜕变量系统、火箭飞行原理 这属于相对论质量问题,这属于相对论质量问题,此处不讨论。此处不讨论。度改动度改动 m = m(v),还有一类蜕变量问题是发生在还有一类蜕变量问题是发生在v c的情况下,的情况下,这时即使没有粘附和抛射,这时即使没有粘附和抛射, 抛射抛射 主体的质量减少如火箭发射主体的质量减少如火箭发射 质量也可以随速质量也可以随速13条件:燃料相对箭体以恒速条件:燃料相对箭体以恒速 u 喷出喷出t 时辰:时辰: 一一. 火箭不受外力情形在自在空间飞行火箭不受外力情形在自在空间飞行 1. 火箭的速度火箭的速度系统:火箭壳体系统:火箭壳体 + 尚
8、存燃料尚存燃料参考系:地面参考系:地面先分析一微过程:先分析一微过程: t t + dtt + dt 时辰:时辰:喷出燃料质量喷出燃料质量 dm = dM喷出燃料速度喷出燃料速度 v u系统质量系统质量 M,速度,速度v ,动量,动量 Mvuv14剩余系统质量剩余系统质量 M dm = M + dM剩余系统速度剩余系统速度 v + dv由动量守恒有:由动量守恒有: 略去略去2阶小量得:阶小量得:Mdv = udMMMudd vfiMMfiMMudd v速度公式速度公式 ln fiifMMuvvt + dt 时辰:时辰:Mv = (M + dM)(v + dv) dM(v u) 15引入火箭质量
9、比:引入火箭质量比:fiMMN 得到得到 ln Nuifvv提高提高 vf 的途径:的途径: 为有效提高为有效提高 N,采用多级火箭,如,采用多级火箭,如2、3级:级:v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3(1) 提高提高 u现可达现可达 u = 4.1 km/s (2) 增大增大 N单级火箭单级火箭N 提得很高不合算提得很高不合算16t + dt时辰:时辰:由动量定理,由动量定理,dt 内喷出气体所受冲量满足内喷出气体所受冲量满足 2. 火箭所受的反推力火箭所受的反推力研讨对象:喷出气体研讨对象:喷出气体 dmt 时辰:时辰:速度速度v即主体速度,动量即主体速度,动量 v
10、dm F箭对气箭对气dt = dm(v u) vdm由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为 dd tmuFF气对箭气对箭= F气对箭气对箭dt速度速度 v u, 动量动量 dm(v u)17二二. 重力场中的火箭发射重力场中的火箭发射 可得可得 t 时辰火箭的速度本人推导:时辰火箭的速度本人推导: 忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的变化,的变化, ln)( tiiMMugttvv Mt : t 时辰火箭壳和尚存燃料的质量18一一. 质心的概念质心的概念定义质点系的质心定义质点系的质心 C 的位矢:的位矢: mrmriiC )(immmxmxiiC mymyi
11、iC mzmziiC 质心位置是质点位置以质心位置是质点位置以质量为权重的平均值。质量为权重的平均值。3.5 质心质心mizyx0CCr ir 19二二. 几种系统的质心几种系统的质心 两质点系统两质点系统 m1 r1 = m2 r2 延续体延续体mmrrC dmmxxC dm2m1r1r2CdmC0m zx yrCr20R Ordx y O “小线度物体的质心和重心重合小线度物体的质心和重心重合 均匀杆、圆盘、环、球的几何中心是质心均匀杆、圆盘、环、球的几何中心是质心【例】如图,求挖掉小圆盘后系统质心坐标。【例】如图,求挖掉小圆盘后系统质心坐标。 Ord由对称性分析,质心由对称性分析,质心
12、C 应在应在 x 轴上。轴上。解:解:令令 为质量面密度,为质量面密度,2220rRrdxC )(1)/(2rRd CxC213.6 质心运动定理质心运动定理一一. 质心运动定理质心运动定理 iiiCmmvv 质质心心动动量量 CmPv质点系的总动量质点系的总动量 trCCdd vtmrmiid)d( 是质点系是质点系“平均速度平均速度CvP 系统总动量系统总动量 mizyx0CCr ir mmiiv iv Cv 22tPFdd外外由由 CamF外外 质心运动定理质心运动定理得得拉力拉力纸纸C球向哪边挪动?球向哪边挪动?质心运动:像一个质点的运动,该质点位于质心运动:像一个质点的运动,该质点位
13、于 质心处,且集中了整个质点系的质心处,且集中了整个质点系的 质量和所受外力。质量和所受外力。【思索】【思索】)(ddCmtvtmCddv通常所谓通常所谓“物体的运动,实践上就是物体物体的运动,实践上就是物体质心的运动。质心的运动。23系统内力不会影响质心的运动:系统内力不会影响质心的运动: 运发动虽在空中翻转,质心仍做抛体运动。运发动虽在空中翻转,质心仍做抛体运动。 光滑程度面上滑动的扳手,质心做匀速光滑程度面上滑动的扳手,质心做匀速 直线运动。直线运动。24 爆炸的焰火弹虽然碎片四散,但其质心仍爆炸的焰火弹虽然碎片四散,但其质心仍 做抛物线运动。做抛物线运动。【TV】质心运动】质心运动1
14、质心运动质心运动2质心运动质心运动【演示】【演示】25假设合外力为零,假设合外力为零,二二. 动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动质点系动量守恒质点系动量守恒常常矢矢量量CCav0假设合外力分量为零,假设合外力分量为零,常常量量CxiixFv 0质点系分动量守恒质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价!质点系动量守恒和质心匀速运动等价!那那么么那那么么质心相应分速度不变质心相应分速度不变例如:例如:26质心系:运动速度等于质心速度的平动质心系:运动速度等于质心速度的平动 参考系。参考系。质心系不一定是惯性系,假设质心有加速度,质心系不一定是惯性系,假设质心有加速度,那么质心系是平动
15、非惯性系。那么质心系是平动非惯性系。质点系的复杂运动可看成以下运动的组合:质点系的复杂运动可看成以下运动的组合:这由质心运动定理决议。这由质心运动定理决议。1. 质点系整体随质心的平动:质点系整体随质心的平动:2. 各质点相对于质心的运动:各质点相对于质心的运动: 三三. 质心系质心系这需求在质心系中调查质点系的运动。这需求在质心系中调查质点系的运动。27质心系的重要特征:零动量参考系质心系的重要特征:零动量参考系 0)( Ciiimmvv即在质心系中,质点系的总动量为零。即在质心系中,质点系的总动量为零。)( Ciiiimmvvv 是质点相对质心系的速度,是质点相对质心系的速度,iv 是质心
16、系中质心的速度,等于零。是质心系中质心的速度,等于零。Cv 证:证:0Ciiimmvv两质点系统在其质心系中,两质点系统在其质心系中,总具有等值、反向的动量。总具有等值、反向的动量。101vm202vm11vm22vm28解:解:【例】如图绳的线密度为【例】如图绳的线密度为 ,求:求:1v 恒定,恒定,F = ?2a 恒定,恒定,F = ?aF y y软绳软绳v此题可用蜕变量问题或动量定理求解,此题可用蜕变量问题或动量定理求解,这里用质心运动定理求解。这里用质心运动定理求解。设绳长设绳长 l ,质心坐标:,质心坐标:lylyyyC2022 y0y yC291v 恒定,恒定, lyyC22 lg
17、gylFylC )( 2v ygF2a 恒定,恒定, yaygF 3 质心受力:质心受力:支持力支持力拉力拉力F, 重力重力 lg , (l-y)g为何?为何? y0y lgF (l-y)g yC根据质心运动定理有:根据质心运动定理有:CylygF , 0,yy vygF )(2yyyyg ,22ayayy 30 一一. 角动量的定义角动量的定义 质点 m 对参考点 O )( vmrprL的角动量定义为:的角动量定义为:, v sinsinrmrpL 单位:单位:kg m2/s大小:大小:方向:方向:pr,决议的平面右螺旋决议的平面右螺旋垂直于垂直于 留意:参考点O 是参考系内一固定点。3.7
18、 质点的角动量质点的角动量rpmOL31质点作匀速率圆周运动时,质点作匀速率圆周运动时,对圆心的角动量的大小为:对圆心的角动量的大小为:方向方向 圆面不变。圆面不变。L = mvR,留意:参考点选择不同,角动量普通也不同,留意:参考点选择不同,角动量普通也不同, 对角动量必需明确参考点。对角动量必需明确参考点。vmrLomO vlmLO 方向变化方向变化vmrLmoO sinvlmLO 方向竖直向上不变方向竖直向上不变Ol vO锥摆锥摆mOLOLmORvL32二二. 质点的角动量定理、力矩质点的角动量定理、力矩prL 由由有有)(ddddprttL 定义力对参考点定义力对参考点 O 的力矩:的
19、力矩: FrMFrrFM0sin sin0rr 称为力臂称为力臂tprptrdddd Frm vvFr 是相对参考点是相对参考点 O 的位矢的位矢r rMFmOr033 dd tLM 质点角动量定理质点角动量定理 微分方式微分方式 dd tML d 1221LLtMtt 质点角动量定理质点角动量定理 积分方式积分方式21dtttM称为冲量矩称为冲量矩 力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用34gm【例】锥摆的角动量【例】锥摆的角动量0 Trom)(sinmglgmrom 0 gmrTrmomoTrmo 对对 O 点:点:合力矩不为零,角动量变化。合力矩不为零,角动量变化。对对O 点:点:合力
20、矩为零,角动量大小、方向都不变。合力矩为零,角动量大小、方向都不变。合力不为零,动量改动!合力不为零,动量改动!T)(gmrmo Ol vO锥摆锥摆m35zMzrs i n三三. 质点对定轴的角动量定理质点对定轴的角动量定理 1. 力对轴的力矩力对轴的力矩把对把对O点的力矩向过点的力矩向过O点的轴如点的轴如 z 轴投影:轴投影:kMMz kFr )(kFFrr )()(/kFr )( sin rF 力对轴的力矩力对轴的力矩rMFOr/rF/Fr 平面平面 z 轴轴362. 质点对轴的角动量质点对轴的角动量kprkLLz)( sin rp 质点对轴的角动量质点对轴的角动量3. 质点对定轴的角动量
21、定理质点对定轴的角动量定理 kM dd tLMzz 质点对定轴的角动量定理质点对定轴的角动量定理)(ddkLtktLdd 是固定方向是固定方向kppzLzrs i nrLOr 平面平面 z 轴轴37 0 常矢量常矢量则则若若LM,质点角动量守恒定律:质点角动量守恒定律: 0F3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律 F经过参考点经过参考点 O,如有心力场,如有心力场0M的条件的条件 const. 0 zzLM 质点对轴的角质点对轴的角 动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的根本定律之一。角动量守恒定律是物理学的根本定律之一。 假设合力力矩为零,那么质点角动量守恒。假设合力力矩为零,那么质
22、点角动量守恒。38【讨论】开普勒第二定律【讨论】开普勒第二定律tSddtrt2dsind v常量2 mL质点在有心力作用下运动质点在有心力作用下运动离心节速器离心节速器【演示】【演示】常常矢矢量量 )(vmrL1L = mvrsin = 常量常量2轨道在同一平面内轨道在同一平面内 S mrLvF有心力有心力OF由于由于 经过经过 O 点:点:掠面速度:掠面速度:rvF39【讨论】【讨论】 星云的盘状构造星云的盘状构造旋旋转转的的星星云云pc 秒差距,秒差距,1pc = 3.0861016m40 星球所需向心力:星球所需向心力:星球具有原始角动量星球具有原始角动量kmr00v0 zM.const
23、 zLvvrmmr00 100 rrrvv32rrmFv向向但当但当 时,时,向向引引FF 定性解释:定性解释:引力使引力使 r 减小,减小, r 就不变了。就不变了。在在 z 轴方向无此限制,可在引力下不断收缩。轴方向无此限制,可在引力下不断收缩。引力可近似为:引力可近似为:2 rF引引vrr0v0zm413.9 质点系的角动量质点系的角动量 iiLL 质点系的角动量质点系的角动量iiiiiFrMM 外外外外0)( ijijiiiifrMM内内内内 iiLttL)(dddd本人证本人证 )(内内外外iiiMM iitLdd内内外外MM 42 0 常常矢矢量量则则若若LM,外外质点系角动量守恒
24、定律:假设外力矩的矢量和质点系角动量守恒定律:假设外力矩的矢量和为零,那么质点系总角动量守恒。为零,那么质点系总角动量守恒。质点系角动量和动量守恒相互独立吗?质点系角动量和动量守恒相互独立吗? dd tLM 外外 质点系角动量定理质点系角动量定理于是有:于是有:留意:一切留意:一切 和和 都是对同一参考点而言!都是对同一参考点而言!iLiM假设外力矩的矢量和沿某一方向的分量为零,假设外力矩的矢量和沿某一方向的分量为零,那么质点系总角动量沿该方向的分量守恒。那么质点系总角动量沿该方向的分量守恒。【思索】【思索】 43【例【例1】一长为一长为l 的轻质杆端部固结一小球的轻质杆端部固结一小球 m1
25、,碰时重力和轴力经过碰时重力和轴力经过 O ,022vmllmmm021242v 解:解:选选 m1含杆含杆+ m2为系统为系统另一小球另一小球m2以程度速度以程度速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求:碰撞后杆的角速度求:碰撞后杆的角速度 角动量守恒:角动量守恒:lm1Ov0m2 解得:解得:m1+m2 的程度动量能否守恒?的程度动量能否守恒?llm 1 222lml 【思索】【思索】 44解:解:选选 m1、m2、m3 为系统,为系统,求:碰后求:碰后m1, m2, m3 速度,速度,m1和和m2的质心速度的质心速度 【例【例2】光滑程度面上,】光滑程度面上,m1, m2 用长
26、为用长为l 的轻杆连结,静止放的轻杆连结,静止放置,置,m3 以速度以速度 v0 垂直射向杆垂直射向杆中心中心 O,发生弹性碰撞。,发生弹性碰撞。Ov0m3m1m2C程度方向不受外力程度方向不受外力程度方向动量守恒程度方向动量守恒弹性碰撞:动能守恒弹性碰撞:动能守恒设碰后设碰后m1、m2、m3 的速度分别为的速度分别为v1、v2、v3垂直程度方向角动量守恒垂直程度方向角动量守恒45动量守恒:动量守恒:动能守恒:动能守恒:23322221120321212121vvvvmmmm 角动量守恒:角动量守恒:33221103vvvvmmmm 选与选与 O 点重合的定点,点重合的定点,规定垂直页面向外为
27、正:规定垂直页面向外为正:2202211lmlmvv 假设选与质心假设选与质心 C 重合的定点有:重合的定点有:)2()2(33221103vvvvmlmlmm v2Ov0m3m1m2Cv1v3 46v2Ov0m3m1m2Cv1v3解得:解得: 032121321213032121312032121321)(4)(4)(44)(44vvvvvvmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm03212121321)(4)(8vvmmmmmmmmmmC 假设假设 m1 m2,v1 v2 ,碰后杆、,碰后杆、m1、m2系统既平动又转动角速度会求吗?。系统既平动又转动角速度会求吗?。47设设 O 是是 S 系内一固定点,系内一固定点,) (iiimrLv 在在 S 系中,质点系对系中,质点系对 O 点的角动量为:点的角动量为:)(iiimrLv CiCCmrLv)(3.10 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理一一. 质心系中的角动量质心系中的角动量 在质心系中,质点系对质心在质心系中,质点系对质心 C 的角动量为:的角动量为:在在 S 系中,质心系中,质心 C 对对 O 点的角动量为:
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