函数的幂级数展开41007

1、第五节函数的幂级数展开从前一节可以知道，如果幂级数的收敛半径R0, 那么它的和函数在收敛区间（x0-R，x0+R）上 有任意阶导数，在收敛域上内闭一致收敛. 当在收敛域上有和函数时，有 .也就是说可以写成. 显然只用到f(x)在x0点有任意阶导数的条件. .反之, 如果（x0-R，x0+R）上的函数f(x) 在x0点有任意阶导数, 能否在（x0-R，x0+R）上被表示为一个幂级数的和函数 ? 先看一个例子.,在（,+）上有任意阶导数,那么在（,+）上一致收敛于和函数S(x)= 0, 但对一切x0,S(x)f(x). 在什么条件下的和函数在一个非空开区间上等于f(x) ?为了方便,我们给出如下的

2、:定义1 设f(x)在x0有任意阶导数,那么称为f(x)在x0的Taylor(泰勒)级数 . 由于f(x)在x0任意阶导数,那么存在一个r0, 对于任意正整数n, 有Taylor公式 :, x（x0-r，x0+r）.其中是余项. 它的Lagrange:型为:, 介于x和x0 之间 .由此我们可以得到如下的结论:定理 11.26设f(x)在x0有任意阶导数, r0, 那么f(x) 在 (x0-r，x0+r）内等于它的Taylor级数的和函数的充分必要条件是: f(x)在x0的Taylor公式余项:满足:对任意(x0-r，x0+r）内的x有 (证明由读者完成).定义 2设f(x)在x0有任意阶导数

3、,r0, f(x) 在 (x0-r，x0+r）内等于它的Taylor级数的和函数, 那么我们说f(x)在 (x0-r，x0+r）内可以展开成Taylor级数.并称 为f(x)在x=x0处的Taylor展开式.或x=x0处的幂级数展开式. 推论 如果f(x) 在(x0-r，x0+r）内可以展开成Taylor级数,则Taylor展开式是唯一的.即是说,如果f(x) 在(x0-r，x0+r）内是一个幂级数的和函数, 那么f(x)在(x0-r，x0+r）内的Taylor展开式就是原幂级数(为什么?). 特别, 当x0=0时,f(x)的Taylor级数也称为Maclaurin级数.为了研究是否有Tayl

4、or展开式,我们必须了解Taylor公式的余项. 虽然我们已知Taylor公式的Lagrange余项. 下面还给出Taylor公式余项的另一个形式积分形式.引理 .设r0, f(x)在x0在(x0-r，x0+r）上有任意阶导数, 则对任意正整数n, 有其中.证明, 那么,并.重复使用分部积分得到:. 得证. 从这个余项积分表达式中由于保持不变号,在x, x0 或x0, x上对应用积分中值定理得,存在介于x 和x0 之间的,有,这就是Lagrange余项.同样也可以写成如果在x, x0 或x0, x上对应用积分中值定理得,存在介于x 和x0 之间的,有,也可写成这个形式的余项被称为Cauchy余

5、项.下面将给出基本初等函数在x=0处的Taylor展开式.也叫做Maclaurin展开式(1) 求k次多项式函数的Taylor展开式 .解, .所以余项, 显然 故 它的Taylor展开式为, x（,+）.(2) 有上一节知, 在x=0处的幂级数展开式为 , x（,+）.(3) 求,在x=0处的幂级数展开式 .由Taylor公式知道对任意是收敛的, 所以一般项趋于0.即得, 对任意x（,+）, .所以, sinx在x=0处的幂级数展开式.(4)由可逐项可微性得,cosx在x=0处的幂级数展开式为.(4) 同理可得: .(5) 设m0的实数, 求的x=0处的幂级数展开式.当m是正整数时, x（,

6、+）.当m0也不是正整数时,.当记.所以在x=0处的Taylor级数为.注意到,所以由DAlembert判别法, 此Taylor级数的收敛半径R=1. 又它的在x=0处的Taylor公式为.的Cauchy型为, 01.由于的收敛半径为R=1. 因此.又因为01,|x|1, 我们01,和,因此,当|x|1时, .即当|x|1时,.下面将讨论的情况:(a) 当m-1时,=1.所以 发散.即 , -1x1.,(b) 当-1m0时, 当x=1时,是交错级数. 由于 ,. 又, 从而 , 单调趋于0, 由Leibniz交错级数判别法.知道是收敛的. 当x= -1时,是正项级数, 又,由比较判别法,发散.

7、 故当-1m0时, , -10时, .由Raabe判别法得,收敛.这时, -1x1,.综上所述,将一个函数在某点展开成Taylor级数,可以用间接法,即利用已知的函数的Taylor展开式进行. 另一种方法直接法, 即用Taylor级数的定义,讨论其收敛域. 例如, |x|1 , 那么,|x|1,.其中用Raabe判别法,判断|x|=1时,右边的级数也是收敛.例如求在x=1点的幂级数展开式. 当|x-1|1时, ,两边求导,即 .习题 11-5 1 将下列函数在给定的点展开成Taylor级数1），（x=1）； 2）,(x=0) ；3),(x=0) ； 4), (x=0) ；5) , (x=ba) ； 6)