函数导数及其应用

1、函数导数及其应用 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2等于()A9B9C1 D12(2011·江西高考)若f(x)x22x4lnx，则f(x)>0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)3(2011·湖南高考)曲线y在点M(，0)处的切线的斜率为()AB.CD.4(2011·浙江高考)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下

2、列图像不可能为yf(x)的图像是()5(2011·合肥模拟)已知函数f(x)x3ax2bxc，若f(x)在区间(1,0)上单调递减，则a2b2的取值范围是()A，) B(0，C，) D(0，6(2011年山西四校联考)已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)>0Cf(x0)<0 Df(x0)的符号不能确定7、(2012年辽宁省锦州市模拟)如图，阴影部分的面积是()A2B2C.D.8(2010年济宁联考)若a>2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点B1个零点C

3、2个零点 D3个零点9(2012年湛江调研)已知函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围是()A0<a<B0<aeCae Dae10(2011年黄山模拟)已知函数f(x)的导函数f (x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(1,0) B(2，)C(0,1) D(，3)11(2011年黄山调研)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y300020x0.1x2(0<x<240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100台B120台C150台D18

4、0台12(2010年全国新课标卷)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10) B(5,6)C(10,12)D(20,24)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若a>2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有_个根14.dx的值为_15设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_16已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_当x时函数取得极小值；f(x)有两个极值点

5、；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，1822题，每题12分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17设a>0，函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)若曲线yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，求a的值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的极值点18(2011年江南十校联考)已知函数f(x)ax3bx2cx在x±1处取得极值，且在x0处的切线的斜率为3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围19(2011年东北三校联考)已知函数f

6、(x)x3ex2mx1(mR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x1，x2R，若g(x1)<f(x2)恒成立，求实数m的取值范围20已知函数f(x)x2axbln x(x>0，实数a，b为常数)(1)若a1，b1，求函数f(x)的极值；(2)若ab2，且b<1，讨论函数f(x)的单调性21(2010年临沂模拟)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等

7、固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完假设2010年生产的化妆品正好销完，(1)将2010年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？22(2010年陕西高考改编)已知函数f(x)，g(x)alnx，aR.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的解析式；周末测试题答

8、案1、解析：f(x)3x22ax3，则x1·x21.答案：C2、解析：令f(x)2x20，利用数轴标根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.答案：C3、解析：y，把x代入得导数值为.答案：B4、解析：若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得ac.因选项A、B的函数为f(x)a(x1)2，则f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴x0，且开口向下，a0，b0.f(1)2ab0.也满足条件；选项D中，对称轴x1，且开口向上，a0，b2a.f(1)2ab0.与图矛盾，故答案选D.答案：D5、解析：由题

9、意得f(x)3x22axb，f(x)0在x(1,0)上恒成立，即3x22axb0在x(1,0)上恒成立，a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示则点O到直线2ab30的距离d.a2b2d2.a2b2的取值范围为，)答案：C6、答案：C7、解析：设阴影部分面积为S，则S (3x2)2xdx(3xx2)，故选C.答案：C8、解析：解答本题要结合二分法和函数的单调性判断由已知得：f (x)x(x2a)，由于a>2，故当0<x<2时f (x)<0，即函数为区间(0,2)上的单调递减函数，又当a>2时f(0)f(2)4a<0，故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)

10、上有且只有一个零点答案：B9、解析：f (x)，因为f(x)在1，)上为减函数，故f (x)0在1，)上恒成立，即lna1lnx在1，)上恒成立设(x)1lnx，(x)max1，故lna1，ae，选D.答案：D10、解析：由f(x)在xa处取得极大值可知，当x<a时，f (x)>0，当x>a时，f (x)<0，即a(x1)(xa)>0的解集为x<a且a(x1)(xa)<0的解集为x>a，通过对这两个不等式的解集讨论可知1<a<0.故选A.答案：A11、解析：设利润为f(x)(万元)，则f(x)25x(300020x0.1x2)0.1x

11、25x30000，x150.答案：C12、解析：f(x)，因此可以画出其图象，如图设f(a)f(b)f(c)k.则由图象可知yk与yf(x)的图象有三个互不相同的交点时，k(0,1)，即f(a)|lga|lgalgk，即a.f(b)lgbk，即b10k.ab×10k1.f(c)6k，c122k.又k(0,1)，c(10,12)，abc(10,12)，故选择C.答案：C13、解析：设f(x)x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)当x(0,2)时，f(x)<0，f(x)在(0,2)上为减函数又f(0)·f(2)1×(4a1)4a<0，f(x)0在(

12、0,2)上恰好有1个根答案：114、解析：由定积分的意义可知，dx表示由y，x2，x2和x轴所围成的图形的面积，即圆x2y24的面积的一半答案：215、解析：若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x>0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x<0，即x1,0)时，同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4.答案：416、解析：从图像上可以看到：当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(

13、2，)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值只有不正确答案：17、解：(1)由已知得x>0，f(x)x(a1).因为曲线yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1.即2(a1)1，所以a4.(2)f(x)x(a1)，因0<a<1，当x(0，a)时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；当x(a,1)时，f(x)<0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)>0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点18、解：(1)f(x)3ax22bxc依题意又

14、f(0)3c3a1f(x)x33x(2)设切点为(x0，x033x0)，f(x)3x23，f(x0)3x023切线方程为y(x033x0)(3x023)(xx0)又切线过点A(2，m)m(x033x0)(3x023)(2x0)m2x036x026令g(x)2x36x26则g(x)6x212x6x(x2)由g(x)0得x0或x2g(x)在(，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，)单调递减g(x)极小值g(0)6，g(x)极大值g(2)2画出草图知，当6<m<2时，m2x36x26有三解，所以m的取值范围是(6,2)19、解：(1)f(x)x22exm，令4(e2m)()当me2时

15、，f(x)0f(x)在R上递增()当m<e2时，>0令f(x)>0x<e或x>ef(x)在(，e)和(e，)递增令f(x)<0e<x<ef(x)在(e，e)递减(2)g(x)令g(x)0时，xeg(x)在(0，e)递增，(e，)递减g(x)maxg(e)又f(x)(xe)2me2当x>0时，f(x)minme2x1，x2R，g(x1)<f(x2)g(x)max<f(x)min<me2即：m>e2.20、解：(1)函数f(x)x2xln x，则f(x)2x1，令f(x)0，得x11(舍去)，x2.当0<x<

16、时，f(x)<0，函数单调递减；当x>时，f(x)>0，函数单调递增；f(x)在x处取得极小值ln 2.(2)由于ab2，则a2b，从而f(x)x2(2b)xbln x，则f(x)2x(2b)，令f(x)0，得x1，x21.当0，即b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；当0<<1，即0<b<2时，列表如下：x(1，)f(x)f(x)所以，函数f(x)的单调递增区间为，(1，)，单调递减区间为.21、解析：(1)由题意，得3x，将t0，x1代入，得k2，x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用32x332(3

17、)3，当销售x万件时，年销售收入150%·32(3)3t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，所以年利润年销售收入年生产成本年促销费，即y(t0)(2)y50()50242(万元)，当且仅当，即t7时，ymax42，当促销费定在7万元时，企业的年利润最大22、解：(1)f (x)，g(x)(x>0)，由已知得解得a，xe2，两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf (e2).切线的方程为ye(xe2)(2)由条件知h(x)2lnx(x>0)，h(x).当a>0时，令h(x)0，解得x4a2，当0<x<4a2时，h(x)<0，h(x)在(0,4a2)上递减；当x&g