几何最值问题讲义及答案

1、几何最值问题（讲义）Ø 课前预习1. 解决几何最值问题的理论依据： （已知两个定点） （已知一个定点、一条定直线） （已知两边长固定或其和、差固定）2. 几何最值问题基本结构分析（请根据所求目标，画图找出符合要求的点的位置）利用几何变换进行转化Pl（求 PA+PB 的最小值）MNl（求 AM+BN 的最小值）A PlB（求 PA - PB 的最大值）利用图形性质进行转化M AOBN（求点 D 到 O 的最大距离）Ø 知识点睛解决几何最值问题的通常思路：1. 分析定点、动点，寻找不变特征2. 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不

2、变特征转化，借助基本定理解决问题转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢Ø 精讲精练1. 如图，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为 BC 边上一动点，PEAB 于点 E，PFAC 于点 F若 M 为 EF 的中点， 则 AM 长度的最小值为 CAEFEMDBPCBA第 1 题图第 2 题图2. 如图，在 RtABC 中，B=90°，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 边上，则以 AC 为对角线的所有ADCE 中，DE 长度的最小值为 3. 若点 D 与点 A(8，0)，B(0，6)，C(a， -a )是一平行四边形的四个顶点，则 CD 长度的最

3、小值为 4. 如图，已知 AB=2，C 是线段 AB 上任一点，分别以 AC，BC 为斜边，在 AB 的同侧作等腰直角三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE，则 DE 长度的最小值为 PEACBACB第 4 题图第 5 题图5. 如图，已知 AB=10，C 是线段 AB 上任一点，分别以 AC，BC 为边，在 AB 的同侧作等边三角形 ACP 和等边三角形 BCQ， 则 PQ 长度的最小值为 6. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5如图所示， 折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A处，折痕为 PQ，当点 A 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动若限定点

4、P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 A在 BC 边上可移动的最大距离为 BA'CBCPAQDAD7. 如图，在直角梯形纸片 ABCD 中，ADAB，AB=8，AD=CD=4， 点 E，F 分别在线段 AB，AD 上，将AEF 沿 EF 翻折，点 A 的对应点记为 P（1）当点 P 落在线段 CD 上时，PD 的取值范围是 （2）当点 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 长度的最小值为DPCDC PFFAEBAEBDCDCABAB8.如图，在 RtABC 中，ACB=90°，A=30°，AC= 4，BC的中点为 D将ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角

5、度得到FEC，EF 的中点为 G，连接BEDG，则在旋转过程中，DG 长度的最大值为 DCA9. 如图，已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，顶点 A 的坐标为(0，6)，BC 的中点 D 在点 A 下方的 y 轴上，E 是边长为 2 且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中 DE 长度的最小值为 10. 探究：如图 1，在等边三角形 ABC 中，AB=6，AHBC 于点H，则 AH= ，ABC 的面积 S ABC = 发现：如图 2，在等边三角形 ABC 中，AB=6，点 D 在 AC 边上（可与点 A，C 重合），分别过点 A，C 作直线 BD 的垂线，垂足分别为点 E，F，设 BD=x，AE=m，CF=nAABHC图 1图 2（1）用含 x，m，n 的代数式表示S ABD 及 SCBD ；（2）求( m + n )与 x 之间的函数关系式，并求出( m + n )的最大值和最小值应用：如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 BC 边上的任一点（可DC与点