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1、几何重数小于等于代数重数证明及P190.3设是维欧氏空间V上的一个线性变换，是的一个特征值，试证：的几何重数小于等于代数重数.设1，2, 3, 4 是线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为 A= 1 0 2 1-1 2 1 3 1 2 5 5 2 -2 1 -2求 (1) A 在基1=1-2 2+ 4；2=32- 3- 4 ； 3=3+ 4；4=2 4 下的矩阵；（2）A 的核与值域；（3）在A的核中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；（4） 在A 的值域中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵。 解：（1） 因为1，2, 3, 4=1，2
2、, 3, 4 1 0 0 0 -2 3 0 0 0 -1 1 01 -1 1 2=1，2, 3, 4P所以 A（1，2, 3, 4)=A1，2, 3, 4P=1，2, 3, 4AP=1，2, 3, 4P-1AP故A在基 1，2, 3, 4 下的矩阵为P-1AP, 因此， P-1AP= 1 0 0 0 23 13 0 0 23 13 1 0 -12 0 -12 12 1 0 2 1-1 2 1 3 1 2 5 5 2 -2 1 -2 1 0 0 0 -2 3 0 0 0 -1 1 01 -1 1 2 =13 6 -9 9 6 2 -4 10 10 8 -16 40 40 0 3 -21 -24 （2） 解：(2)设 A,则A=0,故 Ax1x2x3x4=0计算知且上述齐次线性方程组的基础解系为,因而是ker(A)的一组基,kerA=L(1,2).显然,矩阵的前两列线性无关,构成矩阵的列向量组的一个极大无关组,因而RA=AV=LA1, A2, A3, A4=L( A1, A2) 其中A1=1-2+3+24, A2=22+23-24是AV的一组基.(3) 取ker(A)的基把它扩充成的基,基到基的过渡矩阵为,A在基下的矩阵为.(1) 取AV的基A1, A2把它扩
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