抛物线的简单几何性质公开课)

1、 前面我们已学过椭圆与双曲线前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质的几何性质,它们都是通过标准方它们都是通过标准方程的形式研究的程的形式研究的,现在请大家想想现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么及准线是什么?一、复习回顾：图图 形形方方 程程焦焦 点点准准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）二、二、 练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点

2、在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下1、范围范围yox)0,2(pFP(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x 2、对称性、对称性yox)0,2(pFP(x,y)抛物线抛物线y2 =2px（p0）关于关于x轴轴对称对称.pyxpyxpxy222222x轴轴

3、y轴轴y轴轴注：焦点在对称轴上注：焦点在对称轴上定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点顶点。由y2 = 2px （p0）当当y=0时时,x=0, 因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点yox)0,2(pFP(x,y)4、离心率离心率yox)0,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的点的距离距离和它到准线的和它到准线的距离距离 之比，叫做抛物线之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的的离心率，由抛物线的定义，可知定义，可知e=1。 下

4、面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点 准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内2.抛物线只有抛物线只有1条对称轴条对称轴,没有没有对称中心

5、对称中心;3.抛物线只有抛物线只有1个顶点、个顶点、1个焦点、个焦点、1条准线条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;yox)0,2(pFP(x,y)例：已知抛物线关于例：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点在坐标原点，并且经过点M M（，），（，），求求抛物线抛物线的标准方程的标准方程。 例题例题22课堂练习：课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程求适合下列条件的抛物线的方程1 1、顶点在原点，焦点、顶点在原点，焦点F F为（为（0 0，5 5）; ;2 2、顶点在原点，关于、顶点在原点，关于x x轴对称轴对称, ,并且经过点并

6、且经过点M(-5, 4).M(-5, 4).3 3、若抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，、若抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点过点P P(2,2)(2,2)；20 xy2165yx 2222yxyx2或2. 若抛物线的焦点在直线若抛物线的焦点在直线x2y40上，求上，求抛物线的标准方程。抛物线的标准方程。解析：解析：由由x0，y2，由，由y0，x4即即(0，2)或或(4,0)为抛物线的焦点为抛物线的焦点抛物线方程为抛物线方程为y216x或或x28y.答案：答案：y216x或或x28y1lyx直线 的方程为：2216104yxxxyx 解法解法1 1 抛物线的焦点抛物线的焦点 F

7、(1 , 0), 121232 232 2 22 222 2xxyy或222212121212AB = (x -x ) +(y -y ) = 8AB = (x -x ) +(y -y ) = 81lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法 2:2:抛物线的焦点抛物线的焦点 F(1 , 0), 1 12 21 12 2x x + +x x = =6 6, , x x x x = =1 1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1 （二）焦点弦：通过焦点的直线，与（二）焦点弦：通过焦点的直线，

8、与抛物线相交于两点，连接两点的线段抛物线相交于两点，连接两点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦点弦焦点弦。12ABxxpxOyFA),(11yxB),(22yx特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为，称为抛物线的抛物线的通径。通径。 |AB|=2p焦点弦公式：焦点弦公式：（一）焦半径：连接抛物线任意一点（一）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的与焦点的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式焦半径公式：12pAFx（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。几何意义。（二）了解了抛物线的焦半径，焦点弦和通径（二）了解了抛物线的焦半径，焦点弦和通径（三）我们运用了（三）我们运用了数形结合数形结合，待定系数法待定系数法来求解抛来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程函数与方程以及以及分类讨论分类讨论的数学思想。的数学思想。 四、归纳总结四、归纳总结作业：作业：28yx 22xy 24yx 1、抛物线 上