(24)简谐振动1绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法new

1、机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法零、机械振动绪论零、机械振动绪论一、简谐振动的概念、特征方一、简谐振动的概念、特征方程、证明方法程、证明方法二、描绘简谐振动的特征量和二、描绘简谐振动的特征量和求法求法三、描述简谐振动的三种方法，三、描述简谐振动的三种方法，重点是重点是旋转矢量法旋转矢量法 课本：课本：16.1.1-16.1.3 作业：练习册（作业：练习册（24）tx图图AAxT2Tto机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢

2、量法 一一 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系相位）的物理意义及各量间的关系. . 二二 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析. . 三三 掌握掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义. . 四四 理解理解同方向、同频率简谐运动

3、的合成规律同方向、同频率简谐运动的合成规律（课外：拍、相互垂直简谐运动合成的特点）（课外：拍、相互垂直简谐运动合成的特点）【课时】【课时】3-43-4次课次课机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动振动。力学量（如位移）力学量（如位移）机械振动机械振动电磁振动电磁振动最基本、最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动最简单、最重要的振动是简谐振动。电磁量（如电磁量（如I 、V、 E、 B） 机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往

4、复运动物体围绕一固定位置往复运动. . 其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动. . 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等中原子的振动等. .简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动其他振动其他振动简谐振动简谐振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动 周期和非周期振动周期和非周期振动 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最

5、简单、最基本的振动. .谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体. . 振动与波动振动与波动是与人类生活和科学技术密是与人类生活和科学技术密切相关的一种基本运动形式。切相关的一种基本运动形式。机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法一、简谐振动一、简谐振动最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移（或角位移 ）随时间）随时间t按余弦按余弦（或正弦）规律变化的振动。即：（或正弦）

6、规律变化的振动。即：)tcos(Ax0 简谐振动简谐振动另一表达形式另一表达形式)tsin()tcos(200 20 )tsin(x 机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法)tcos(Ax0 【说明说明】 1、x可代表多个力学量（位移、角位移、速度、可代表多个力学量（位移、角位移、速度、加速度）加速度） 2、等幅振动、等幅振动 3、 周期振动：周期振动： x(t)=x(t+T ) 简谐振动简谐振动机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、

7、旋转矢量法kl0 xmoAA 范例：弹簧振子的振动范例：弹簧振子的振动00FxxxFmomakxF机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法makxF合xtx222ddmk2令令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法题型题型1、如何判断物体是否作简谐振动？如何判断物体是否作简谐振动？1、进行运

8、动学分析，位移、速度和加速度其中任一个、进行运动学分析，位移、速度和加速度其中任一个满足与时间的余弦或正弦函数关系，满足与时间的余弦或正弦函数关系， 即为简谐振动。即为简谐振动。2、进行力学分析，物体所受合外力与其位移大小成、进行力学分析，物体所受合外力与其位移大小成正比，方向与位移方向相反，正比，方向与位移方向相反， 物体即作简谐振动。物体即作简谐振动。)cos(1 tAx)cos(vmtvv )cos(amtaa kxF合坐标原点应取在其平衡位置处。坐标原点应取在其平衡位置处。3、进行动力学分析，物体位移、进行动力学分析，物体位移是否满足简谐运动的微分方程。是否满足简谐运动的微分方程。02

9、22 xdtxd 机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法例例1 1. .已知：已知：M, m, h, k，要求证明物从静止落下与板，要求证明物从静止落下与板粘在一起后作简谐振动，并求周期。粘在一起后作简谐振动，并求周期。 解：解：1、力学分析、力学分析 2、设定坐标系，原点放在力平衡处、设定坐标系，原点放在力平衡处 kLMg )lL(kg)Mm(hmMkLxoxlFFpp3、任意、任意 处处xg)mM(P)xlL(kF机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概

10、念、特征方程、特征量、旋转矢量法LhmMkoxxlFFppkx)xlL(kg)mMF （合合为简谐振动为简谐振动由由kxdtxdmM22)(0 xmMkdtxd22为简谐振动为简谐振动mMk 得得即即0 xdtxd222 其中其中kmM22T g)mM(P)xlL(kFkLMg )lL(kg)Mm(思考：加入改变原点位置，思考：加入改变原点位置，结果如何？结果如何？机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法0222 dtd结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率,

11、,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg 2200 当当 时时 sin sinmglM 例例2：单摆（单摆（近似近似简谐，简谐，非非x而是角位移而是角位移）gmfTCOmgldtdml222解：解：摆球对摆球对C点的力矩点的力矩 mglM l/g 2 设设机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法例例3（有刚体混入）（有刚体混入）:如图所示，振动系统由一倔强系数如图所示，振动系统由一倔强系数为为k的的 轻弹簧、一半径为轻弹簧、一半径为R、转动惯量为、转动惯量为I的的 定滑轮和一定滑轮和一质量为质量为m的的

12、 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2F moxkIR1 1、力学分析、力学分析0 lkmg 解：解：2 2、设定平衡位置为坐标原点、设定平衡位置为坐标原点取位移轴取位移轴ox，m在平衡位置时，在平衡位置时，设弹簧伸长量为设弹簧伸长量为 l，则，则机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法当当m有位移有位移x时时maTmg RaIRxlkT)(联立得联立得aRImkx202

13、22xRImkdtxd物体作简谐振动物体作简谐振动22RImkkRImT222TmTmga2F moxkJR3 3、分析一般情况、分析一般情况 x机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法其通解为：其通解为：1. 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 二、二、简谐振动的特征量简谐振动的特征量简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的简谐振动的运动学方程运动学方程振幅振幅圆频率圆频率初相位初相位相位相位 ( t + + 0 0 )是是 t 时刻的相位时刻的相位 0 是

14、是t =0时刻的相位时刻的相位初相位初相位机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法)cos(tAx（一）（一） 振幅振幅maxxA （二）（二） 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 圆频率圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意tx图图AAxT2Tto2. 描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念

15、、特征方程、特征量、旋转矢量法1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； （三）相位（三）相位t3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . ) 0( t) (2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）周期性）20( ( 取取 或或 ) )tx图图AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 简谐运动中，简谐运动中， 和和 间不存在一一对应的关系间不存在一一对应的关系. .x vvvv机械振动机械振动简谐运动（

16、简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法22020vxA00tanxv（四）常数（四）常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAx机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论

17、讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法00cos0Axt 时00sinAv000tanxv2020)( vxA 则)cos(0tAx ( (或或 . .T). ). A 和和初相位初相位 三个特征量确定，则谐振动三个特征量确定，则谐振动方程就被唯一确定。方程就被唯一确定。建立简谐振动方程就是确定建立简谐振动方程就是确定A, 和和初相位初相位 。其中其中 ( (或或 . .T) )由系统本身的性质决定。由系统本身的性质决定。A 和和初相位初相位 由系统的初始条件（由

18、系统的初始条件（x x0 0,v,v0 0) )决定。决定。题型题型2 2、如何建立简谐振动方程、如何建立简谐振动方程初相初相 有两个数学解，有两个数学解， 需根据需根据x0 或或 v0的正负来分辨的正负来分辨机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法例例. .已知：已知：M, m, h, k，要求以物与板相碰时间作为，要求以物与板相碰时间作为记时起点，写出简谐振动方程。记时起点，写出简谐振动方程。解：解：前面已经求出前面已经求出hmMkLxoxlFFpp0 xmMkdtxd22kmM22T mMk 0t kmg

19、lx0mMgh2mv00t 则当则当机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法0t kmglx0mMgh2mv0（注意正负号！）（注意正负号！）k)mM(ghm2)kmg()v(xA222020 g)mM(kh2tg)xv(tg1o01 振动方程为振动方程为)g)mM(kh2tgtmMkcos(k )mM(ghm2)kmg(x122代入公式得代入公式得讨论：若讨论：若 轴向上为正，写方程有那些变化？轴向上为正，写方程有那些变化？xkx)xlL(kg)mMF （合合取第取第3象限值象限值取第取第1象限值象限值机械振

20、动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法三三. . 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法（重点：旋转矢量法）（重点：旋转矢量法）1. 解析法解析法2. 曲线法曲线法oA-Atx = /2T由由 已知表达式已知表达式 A、T、 已知已知A、T、 表达式表达式)tcos(Ax0 00 已知曲线已知曲线 A、T、 已知已知 A、T、 曲线曲线00机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAo

21、ooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 ox【一、讲解一、讲解】3. 旋转旋转矢量法矢量法机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAcos0Ax

22、 当当 时时0t0 x【一、讲解一、讲解】机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAtt t)cos(tAx时时【一、讲解一、讲解】机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法)cos(tAx 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .xA【一、讲解一

23、、讲解】机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx【一、讲解一、讲解】机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法例例：相位：相位3t1 ，问状态？，问状态？3 xx2Ax,且向且向 负向运动。负向运动。相位相位23t2 ，问状态？，问状态？0 x，且向，且向 正向运动。正向运动。x例例：o注意两个特殊状态的注意

24、两个特殊状态的 值！值！ A【二、应用二、应用】讨论讨论旋转矢量法的应用旋转矢量法的应用1、分析振动状态、分析振动状态x2Ao00vAx20 x0vAx230 x上半圆上半圆v0机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法x，求，求 ？例例：0t2Ax0 0v03 或或35 例例：0t，2Ax0，0v0为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 将平衡位将平衡位置取为原点置取为原点 k=mg/ l 令向下有位移令向下有

25、位移 x, 则则 f=mg-k( l +x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为)tcos(Ax0 s/rad.lgmk10098089 机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法由初条件得由初条件得或者0)(000 xvarctgmvxA09802020.)( 由由x0=Acos 0=0.0980 cos 00, 取取 0=0srad /10 振动方程为：振动方程为：x=9.8 10-2cos(10t) m(2)按题意按题意 t=0 时时 x0=0，v00 x0=Acos 0=0 , cos 0=

26、0 0= /2或或3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A不变不变Hzlg6 . 1212 固有频率固有频率XOmx机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法例例 ：已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。示，试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cm

27、sv解：解：方法方法1100715cms.sinAv )tcos(Ax0 设振动方程为设振动方程为0020 cosAa1431 cmsvAm. 2143171500.Avsin 6560或或0000 cos,a则则60 机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法17151 cmsvt.2161 mvvAv )sin( 6116761或 01001)cos(,a 则则 6761 1143 s. cmvAm10143431 . 故振动方程为故振动方程为cmtx)cos(610 方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。)cos(0tAx)2cos()sin(00tvtAvm1431 cmsAvm. v函数的初相比函数的初相比x的初相超前的初相超前90度度机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法绪论、概念、特征方程、特征量、旋转矢量法 0 tst1 20vov的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角轴夹角表示表示t 时相位时相位20t由图知由图知32206 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 v函数的初相比函数的初相比x的初相超前的初相超前90度度机械振动机械振动简谐运动（简谐运动（1 1）绪论、