《电动力学》教案 第七章 带电粒子和电磁场的相互作用

1、第七章 带电粒子和电磁场的相互作用7.1 电子的速度与加速度的夹角为，证明与平面内与的夹角为的方向上无辐射，由以下方程决定：。证：由(7.2)式的第二项即粒子的辐射场可知，当时，方向无辐射。而即当时，方向无辐射。7.2 一个在高斯的磁场中作圆周运动，能量达到eV的高速回转电子。试求它在单位时间内损失的能量。解：电子在磁场中受到的力为，由于圆周运动而辐射损耗的功率为：电子动量，能量的平方，故上式中由，,有7.3 有一带电粒子沿z轴作简谐振动。设求：（1） 它的辐射场和能流；（2）它的自场。比较两者的不同。解：粒子在时刻辐射的波，时刻才传到场点。故在场点上看粒子运动方程为,其中。粒子的速度和加速度

2、为：由于，即粒子的速度，故其辐射场为电偶极场：为电矩振幅，是辐射方向与z轴的夹角。平均辐射能流为由于，由(7.2)式第一项，得粒子的自场：即低速运动粒子自场的电场部分近似于一个静止点电荷激发的球对称库仑场，磁场部分近似于恒定电流激发的磁场。辐射场，且是TEM波；自场，故主要存在于粒子附近，可略去推迟效应。7.4 带电荷e的粒子在xy平面上绕z轴作匀速圆周运动，角频率为，半径。设，试计算辐射场和能流密度。讨论，及处电磁场的偏振。解：将粒子在xy平面的圆周运动分解为两个独立的线振动：由此可求出粒子的加速度：由于粒子速度，故其辐射场是电偶极场：其中是电矩振幅，。可以看到，任何半径R的球面都是波的等相

3、面，但不波的等振幅面，而且在同一球面的不同点上，电场或磁场有不同的偏振态。例如处,沿经线和续线两个正交方向上，电场振幅相等，但纬线上的振动比经线上的振动相位滞后，因此在面对波传播方向的观察者看来，是左旋的圆偏振波。是右旋的圆偏振波。处,沿经线振动的振幅比沿纬线振动的振幅小，是左旋的椭圆偏振波。处，是右旋的椭圆偏振波。处，是沿纬线振动的完全偏振波。平均辐射能流为其中因子体现了辐射能量的角分布。7.5 设有一各向同性的带电谐振子（无外场时粒子受弹性恢复力作用），处于均匀恒定的外磁场中，假设粒子速度及辐射阻尼力可以忽略，求：（1）振子运动的通解；（2）利用上题的结果，讨论沿磁场方向和垂直于磁场方向上

4、辐射场的频率和偏振。解：令外磁场，振子受到的磁场力和弹性恢复力分别为为振子固有角频率。因且辐射阻尼力可忽略，振子运动方程的分量式为其中为振子在磁场中的回旋频率，记，并令则(3)的前两个方程可合与成当磁场仅对振子引起轻微扰动，即，方程(5)的近似解为A， B为常数，由初条件确定。(3)的第三个方程的解为。于是振子运动的通解为由此看到，在平行于磁场的方向上观察到两个频率为，旋转方向相反的圆偏振波；在垂直于磁场的方向上观察到频率为和三个线偏振波。7.6 设电子在均匀磁场中运动，取磁场沿z轴方向，己知时，设非相对论条件满足，求：（1）考虑辐射阻尼力的电子运动轨道；（2）电子单位时间内的辐射能量。解：（

5、1）电子受到的外场力为低速情形下电子受到的辐射阻尼力为记于是电子运动方程为令，则（4）的前两个方程可合写成一般地，电子辐射波长远大于电子经典半径。例如，假设这电子在原子中运动，则辐射波长，而电子半径，因此，即，故方程（5）右方一项可作为微扰项，先由得零级近似解为由此得，并将它代回方程（5），变成此方程的通解为由，及t=0时，得又由t=0时，得（4）的第三个方程的解为z=0。即电子运动轨迹是一条xy平面上的螺线。（2） 从运动方程（10）得电子加速度的平方：由于电子速度，其辐射为电偶极辐射，平均辐射能流与辐射功率为是辐射方向与加速度方向的夹角。电子的能量为它在单位时间内损失的能量与其辐射功率相等

6、。从此例可见，原子中的电子不可能遵从经典运动规律，否则就不可能存在稳定的原子。7.7 （1）根据相对论协变的方程，证明相对论性加速带电子的辐射场公式用作用力表示为其中，ret表示时刻时的值；（2） 利用公式，计算和；（3） 利用上述公式，证明带电粒子辐射功率的角分布公式用作用力表示为解：（1）由，相对论性力学方程可写成其中，于是有故（1）式可写成（2）式。（2）由，有 （4） 由（6）式，并利用（7）式和（8）式，有故（3）式可写成（4）式。7.8 应用导出介质色散的方法，推导等离子体折射率的公式解：设入射波电场，当电子速度，磁力可忽略，其运动方程为左方第二项为阻尼力项。稀薄等离子体的电子受外

7、场作用以角频率作强迫振动，在考虑等离子对于不同频率入射波的折射率时，可略去阻尼力。于是上述方程有近似解：设单位体积内的电子数为N，则等离子体的极化强度为由，电容率，于是相对电容率为又稀薄等离子体中，故折射率为其中，为等离子体的固有角频率。7.9 一个质量为m，电荷为e的粒子在一个平面上运动，该平面垂直于均匀静磁场。（1）计算辐射功率，用m,e,，表示()；（2）若在时，求E(t)；（3）若初始时刻粒子为非相对论性时，其动能为，求时刻t粒子的动能T。解：（1）粒子受到磁力F=evB,因此，辐射功率为（2）任意时刻粒子的能量，其能量减少率应等于幅射功率，即有积分，并由时，得,(3) 若初始时刻粒子为非相对论性的，即,，有积分，并由时，得时刻t粒子的动能7.10 带电粒子在有限区域内运动，区域线度为,粒子速度，求它的电磁场，准确到及的一次项。估算自场与辐射场过渡区域的距离。解：任意运动带电粒子的场为因，故可将展开为关于的幂级数：准确至及的一次项，粒子的场为电场的前三项均，都属于粒子的自场，主要存在于粒子附近，其中第一项是粒子的库仑场，第二项和第三项均与粒子速度有关，有似稳性质，由于粒