《电动力学》教案 第三章静磁场

1、第三章 静磁场3.1、试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同的表达是，证明两者之差就是无旋场。【解】由，在直角坐标系中，有，有许多A场可以满足这组方程，其中两个A场可选为，而且显然有3.2、均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流为，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。【解】设螺线管截面半径为a，z轴为其中心轴，在柱坐标系中，螺线管表面电流密度，记螺线管内部磁场为，外部磁场为，全部定解条件为，（，）（1），有限；，（2），（3）由于螺线管无穷长，外部磁场应为.由（3）的第二个条件，内部磁场应为，（4）这解满足两区域中的场方程（1）和全部边界条件，因此是唯一正确的解。3.

2、3设有无穷长的线电流I沿z轴流动，z<0空间充满磁导率为的均匀介质，z>0区域为真空，使用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。【解】电流I的磁场是介质磁化。记区域磁场为，区域磁场为，在柱坐标系中，全部定解条件为，（，）（1），和；，和（2）因电流线无穷长，而介质是均匀的，两区域内的磁场应当只有分量，而且只是离开电流线距离r的函数，由安培环路定律提出尝试解：可以验证，这解满足全部定解条件。由，得介质的磁化强度为上半空间，因此介质表面即处磁化电流面密度为这电流显然是从处流出并沿介质表面径向流动，根据电流的连续性，可判断下半空间的介质中，即电流线表面存在“线磁化电流”：3.4、

3、设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。【解】电流的磁场使介质磁化。记区域磁场为B1，区域磁场为B2，在柱坐标系中，全部定解条件为因电流线无穷长，而介质是均匀的，两区域的H和B应当只是离开线电流的距离r的函数而且只有分量，由安培环路定理，对围绕着电流线、任意半径r的圆，有由（3）的第一个条件及对称性，应当有，而，于是由（4）得尝试解：这解显然满足全部定解条件。由，在电流线周围作的无限小圆周L，得电流线与介质分界面出现的“线磁化电流”为3.5某空间区域内有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知，其中B0为常量，求该处的B。

4、【解】磁场有Z轴对称性，意味着其分量（或与坐标无关）。于是在柱坐标系中，由得，A可以是，Z的任意函数，但因为这是原点附近小区域的轴对称磁场，可令A=0，即有可以验证，即该处，。若常量，则描写半径为，电流为I的圆电流圈在其中心附近的磁场。3.6两个半径为a的同轴圆形线圈，位于面上，每个线圈上载有同方向的电流I。（1）求轴线上的磁感应强度；（2）求在中心区域产生最接近均匀的磁场时L和a的关系。【解】设两线圈中的电流I均沿方向，用毕奥-萨伐尔定律，可分别求出两个电流圈在Z轴上任一点的磁感应强度和，再将两者相加，即得在中心区域存在最接近于均匀磁场的条件为3.7、半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流J均

5、匀分拨于截面上，试解矢势A的微分方程，设导体的磁导率为，导体外的磁道率为。【解】设Z轴为导体柱的中心轴，导体内有恒定电流，由于电流不是分布于有限区域，应选择有限远折点为矢势零值参考点，可令。即导体柱面。则在柱坐标系中，导体、外两区域矢势的全部定解条件为有限（3）因导体内的电流总是沿方向，从方程（1）可知导体内矢势A1只能有方向的分量，且由对称性它只是r的函数，即；又由处矢势连续的条件，外部矢势也只能是，于是方程（1）和（2）分别是边界条件（4）为处，对（5）的两个方程积分，得各积分常数由条件（3）和（6）确定，得可以验证，A1和A2均满足库仑规范条件。3 8 假设存在磁单极子，其磁荷为，它的磁

6、场强度为，试找出是矢势的一个可能的表达式，并讨论它的奇异性。解：以磁荷所在点为坐标原点，由，通过任一半径为的球冠的磁通量为其中且，与坐标无关，而，故得可以看到，对于，在（磁荷所在点），以及但处，有一条奇异弦；而对于，在（磁荷所在点），以及但处，也好有一条奇异弦。3 -9 将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内，求总磁感应强度和诱导磁矩。解：这类问题类似于在均匀电场中放入线性均匀介质球的情形。这介质球将被磁化。以球心为坐标原点，令做用外场，于是就有Z轴的对称性。因球内外均无传导电流分布，可引入磁标势，使。球内球外，因此球内假想磁荷体密度，球外。于是磁标势的全部定解条件为：， （1）有限；（2

7、） （3）由（2）的两个条件，及轴对称性，两区域内标势方程的通解可写为再由条件（3），解出，球内为均匀磁场，是第一项原外场与第二项介质球面磁化电流产生的均匀磁场之叠加；球外的第一项为原外场，第二项为球面磁化电流产生在外部产生的磁磁偶极场，将与式比较，得：事实上，介质球的磁化强度是常矢量，因此它的磁矩为3 -10 将一内外半径分别为和的空心球，位于均匀磁场内，球的磁导率为，求空腔内的磁感应强度，并讨论时的屏蔽作用。解：以球心为坐标原点，令外场。球腔内、介质中及球外三个区域均无传导电流，故可使。介质球腔内，球外，故由，可知三个区域内假想磁荷密度均为零，即有边界条件为有限；由Z轴对称性得由边界条件，

8、求得待定系数，空腔内的标势和磁场为，是与外场方向相同的均匀场，但比外场弱。对于给定的，介质的磁导率越大，越弱，球壳对外场的屏蔽作用越显著，当时，。3-11 设理想铁磁体的磁化规律为，是恒定的，与无关。今将一理想铁磁体做成的均匀磁化球（为常量）浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。解：铁磁体内，外部介质种故，两区磁标势方程为。设球半径为，并令，于是关于Z轴对称，边界条件为：有限；其解球内为均匀场，球外为偶极场。球面的磁化电流密度为312 当上题的永磁球置入均匀外磁场中，结果如何？解：当，由轴对称和条件有限，则有边界条件：球内的两项均为均匀场，球外第二项为偶极场，而313 有一个均

9、匀带电的薄导体壳，半径为，总电荷为，今使球壳绕自身某一直径一角速度转动，求球内外的磁场。解：一球心为坐标原点，转动轴为Z轴。球壳电荷面密度为，因球壳自转而形成的面电流密度为方法一 磁标势法求内外均无传导电流，故，边界条件：有限；即而，球内为均匀场，球外为偶极场。球面电流形成的磁矩为方法二有上式得而且，即，方法三 矢势法球内外传导电流均为零，故定解条件为：，（）有限；和球面电流形成的磁矩故球外矢势为由轴对称性及，可知球内矢势函数为，可以验证，矢势都满足314 电荷按体积均匀分布的刚性小球，半径为，总电荷为，它绕自身某一直径以角速度转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比。设小球质量是均匀分布的。解：小球的电荷密度和质量密度分别为，设转动轴为Z轴，则球内任一点的转动速度为球内电流密度和动量密度分别为，小球的磁矩和自转角动量分别为315 有一块磁矩为的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力。解：设介质表面为Z=0平面，为于介质表面上方处，它与界面法向的夹角为。由于高磁导率介质表面是等磁势面，令其表面磁