课例：数列的递推公式

1、.膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿节蒆羇膈莄蚁袃膇蒆蒄蝿芆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃节螆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒄虿螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿节蒆羇膈莄蚁袃膇蒆蒄蝿芆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃节螆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒄虿螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿节蒆羇膈莄蚁袃膇蒆蒄蝿芆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆

2、芃节螆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒄虿螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿节蒆羇膈莄蚁袃膇蒆蒄蝿芆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃节螆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁 课例：数列的递推公式（高一数列复习课）1 回顾回顾一：复习等差数列、等比数列的定义式（递推公式）及通项公式，为后面由递推公式推导通项公式做铺垫。回顾二：必修5中2.1的例2：谢宾斯基三角形（1）介绍数学史 上世纪初，波兰的数学家谢宾斯基想要找到一个图形，当它的面积无限减小时，它的周长则无限增大。用

3、几何画板进行迭代演示。（2）数一数将上述迭代过程逐一展示，让学生数数在每个图形中绿色三角形的个数依次为多少？引出该等比数列的递推式及通项公式。2 探究（3）再数一数：每个图形中绿色、黑色三角形的总个数依次为多少?学生容易先得出前三项为1，4，13。探究一：第4项是多少？（从特殊到一般，引出递推公式）方法一（几何方法）从第二个图象起，每一个图象可以看成由前一个图象的三份缩影加上中间一个黑三角形。因此，。方法二（代数方法）从前三项的数值上也可以发现：，方法三（代数方法） （）方法四（几何方法）从第二个图象起，每一个图象是在前一个图象的每个绿三角形中挖走一个中心三角形，这样如图所示的圈内一个三角形就

4、变为四个三角形，增加三个三角形。在第个图形中，绿三角形的个数为，所以，即。 归纳：当我们面对较为一个复杂的数列时，很难一眼看清其全貌的话，可以先得出其递推关系，这就是本堂课复习的重点数列的递推公式。递进：然而，我们得到该数列的递推公式便满足了吗？请问，它的第5项是几？第6项是几？（学生轻松回答。）那么，第100项是几呢？（学生一时语塞，随即提笔思考。） 探究二：第100项是多少？（引出求通项公式的方法） 方法一的引导：教师让学生观察递推公式， 提问：从而，诱导出利用“累加法”来解决此问题。 教师小结以上解法：其一，用了累加法，此法早在等差数列中由定义式推导通项公式就曾用过，类似的还有累乘法；其

5、二，用了等比数列求和公式。 方法二的引导：教师再让学生观察递推公式。在递推式中，若去1，就是等比数列；若改3为1，则是等差数列。是否可构造以3为公比的等比数列呢？如何把常数1进行分配呢？假设等式左边分得m，则右边就得3m。所以有：小结：这可谓“殊途同归”！同一个数列有两个不同的递推公式，两个不同的递推公式推出同一个通项公式，虽分别用了“累加法”和“构造法”，但却都是化归为等差或等比数列的有关概念来解决！ 探究三 请试由递推公式推得数列的通项公式。给学生些许思考时间。部分学生均只能由已知条件求出第3项为9，第4项为13，则猜想就是前面的数列。教师则引导从开始出发，是否可再构造等比数列？即即为探究

6、二中的两个递推公式，当然此数列就是前面的数列。3巩固思考意图：一、让学生再次经历特殊到一般的归纳过程，培养合情推理的能力；二、从归纳的结果中发现通项的分母为等差数列的通式，从而为严格论证的开启思路。变式训练：4 归纳小结 当我们研究一个较为复杂的数列时，若不能马上得出它的通项公式，可以先通过其特殊项或其蕴含的几何背景来发现它的递推公式，然后利用累加法、累乘法、构造法等，将递推公式化归为等差数列、等比数列的有关问题，从而最终求出数列的通项公式！化归为等差数列、等比数列 特殊项 通项公式发现 递推公式 几何背景5 课外作业本课例参加了2007年3月14-15日在浙江丽水市进行了一次校本培训活动，共

7、两天。以上是第一天的课堂设计，课堂效果不明显，前段后段较好，中间探究部分还不能很好引起学生的共鸣。在专家的指导下，给学生留了恰当的探究梯度，做了如下的修改，收效甚好。 修改后（为了便于前后对照，下面的编号与前面的一致。） 2探究 探究二：第100项是多少？（引出求通项公式的方法）一开始，教师先不引导，而是给学生一定的思考时间。（老师的行为改变了，学生的反映也随即发生了变化） 不久，学生甲在其草稿纸上写下： 教师小结以上解法：其一，其二，同上，其三，从结果中含看，应有可能为等比数列。（为另一递推公式推导通项公式埋下伏笔。） 探究三先给学生充分的思考时间。学生甲：我求得了所以我猜测就是前面的数列，

8、即当然这有一定的局限性。学生乙：我根据式子的特征，将一个移到等号左边，得：，则为以3为公比的等比数列。教师小结：其一，对于乙的解法，教师先给与充分肯定，再提出思考，你怎么看出从等号右侧移一个到左侧呢？一般情况下，如何解决呢？引出利用待定系数法构造等比数列的方法（见原设计）。 其二，前面的递推式我们均能从几何背景找到它们的解释，对于此递推公式，仍能从谢宾斯基三角形中得到验证吗？ 四个图案(3)的缩影去除三个图案(2)的缩影即可得图案(4)。同时，辅以几何画板的动画演示更加形象，引起学生极大的兴趣！3巩固思考 去除原来的变式训练，突出“化归意识”。 莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁袅膇芈蚇袅芀蒄薃袄聿芇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇蚆羇膃莀蚂羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿肃节艿薅肂羁蒅蒁肁肃芈蝿肀芆蒃螅聿莈莆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肇节薀螂膆莅莂蚈膅肄薈薄螁膇莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁袅膇芈蚇袅芀蒄薃袄聿芇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇蚆羇膃莀蚂羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿肃节艿薅肂羁蒅蒁肁肃芈蝿肀芆蒃螅聿莈莆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肇节薀螂膆莅莂蚈膅肄薈薄螁膇莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁袅膇芈蚇袅芀蒄薃袄聿芇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莆薀蚀袀肆莃