概率统计总复习

1、一、填空题：一、填空题：(本大题共本大题共10个空格，每空格个空格，每空格2分，共分，共20分分)1、事件、事件A、B、C中至少有一个发生表示为中至少有一个发生表示为 。 事件事件A、B、C中至少有二个发生表示为中至少有二个发生表示为 。2、区间估计与假设检验中常用到的三个统计量的分布是、区间估计与假设检验中常用到的三个统计量的分布是(1)、 ；(2)、 ；(3)、 ；。；。3、若事件与相互独立，、若事件与相互独立，p(A)=0.4 ，p(B)=0.5,则则p(A-B)= 。 p(A B)= 4、设、设XN（1、4），则），则y=f(x)= N（0、1）。）。6、若、若X与与Y相互独立，且相互

2、独立，且XN（1、4），），YN（2、9）则则2Y-3X；D（3X+2Y-15） . 7、在参数的假设检验中可能遇到的两类错误：、在参数的假设检验中可能遇到的两类错误：1)、 ；(2)、 . 8、设总体服从正态分布、设总体服从正态分布 ， 为的一个样本为的一个样本 未知。则未知。则 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为 。9、设总体服从正态分布、设总体服从正态分布 ， 为的一个样本为的一个样本，已知，则对，已知，则对 作假设检验选取的统计量为作假设检验选取的统计量为nXXX,21)(2，N21)(2，NnXXX,212 1210, 、设设X XU U 0 0, , , ,为为取取自自

3、总总体体X X的的一一个个样样本本, ,则则，的的矩矩估估计计量量分分别别为为，。并并分分别别给给出出，的的一一个个无无偏偏性性估估计计量量为为，。nXXXEXDXEXDX 55000 5 5、设设随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为则则，D D。xexxXfxEXX1111、试写出、试写出0-10-1分布、分布、 二项分布二项分布b b( (m,pm,p) )、泊松分布、泊松分布P(P() )、均匀分布、均匀分布 R R( (a,ba,b) )、正态分布、正态分布N N( (, ,2 2) )中有关参数的矩估计式中有关参数的矩估计式12、假设检验使用了一条什么原理？、假设检验使用了一条

4、什么原理？13、若事件、若事件A和和B都不发生的概率为都不发生的概率为p,则则A和和B至少有一个发生的概率为至少有一个发生的概率为 axxaxxxfX则则，其它其它的概率密度为的概率密度为、设随机变量、设随机变量0211014且且X与与Y相互独立，则常数相互独立，则常数a= ,b= 16、袋中有、袋中有5个黑球，个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，个球，其中恰有其中恰有 3个白球的概率为个白球的概率为 服从服从，则，则，、设随机变量、设随机变量baXYNX 217 18、对目标进行、对目标进行3次独立射击，设每次射击的命中率相同，如果击中次独立射击

5、，设每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于则每次射击的命中率等于 122121,1() ,1 (),4. ,niiniiXnXXnSXXnE XE XE SD X总体 有容量为 的样本 样本均值 样本方差有性质这是否只对正态总体成立？二、判断题：二、判断题：(本大题共本大题共5个小题，每小题分，共个小题，每小题分，共20分分)4、设随机变量和随机变量的方差存在且都不等于零，、设随机变量和随机变量的方差存在且都不等于零，若和不线性相关，则若和不线性相关，则(X+Y)=DX+DY ( )6、最大似然估计法的依据是小概率事件不发生原理、最大似然估计法的

6、依据是小概率事件不发生原理. ( )7、边际分布可以确定联合分布、边际分布可以确定联合分布. ( )8、随机变量分为离散型和连续型随机变量两种、随机变量分为离散型和连续型随机变量两种 ( )9、相关系数是反映两个随机变量独立性的一个数字特征、相关系数是反映两个随机变量独立性的一个数字特征. ( )10、矩法和最大似然估计法是两种最常用的点估计方法、矩法和最大似然估计法是两种最常用的点估计方法. ( ) .1变变量量线线性性函函数数也也是是正正态态随随机机、一一个个正正态态随随机机变变量量的的 的无偏估计的无偏估计为为则则，的一个样本，的一个样本，为为、 ninXXinDXEXXXXX22211

7、,2.3估估计计可可能能不不惟惟一一、同同一一个个未未知知参参数数的的矩矩 015lim APAfnnAPAAfAn，即，即的概率的概率逐渐稳定于逐渐稳定于的频率的频率，一事件，一事件、当试验次数充分多时、当试验次数充分多时填空：填空：1 1、若事件、若事件A A与与B B相互独立，相互独立，P(A)=0.3 P(A)=0.3 ，,P(B)=0.6,P(B)=0.6,则则P(AP(A B)=B)= P(A-B)=P(A-B)= 若事件若事件A A与与B B互不相容，互不相容，P(A)=0.3 P(A)=0.3 ，,P(B)=0.6,P(B)=0.6,则则P(AP(A B)=B)= P(A-B)

8、=P(A-B)= 2 2、若事件、若事件A A与与B B相互独立，相互独立，P(A)=0. 5 ,P(A)=0. 5 ,，P(AP(A B)= 0.8B)= 0.8、则、则3 3、若、若P(AB)= P(AB)= ，且，且P(A)=1/3P(A)=1/3，求，求P(B)P(B)4 4、若事件、若事件A A与与B B互不相容，互不相容，P(A)=0. 5 ,P(A)=0. 5 ,，P(AP(A B)= 0.8B)= 0.8、则、则 )(BAP)(BAP)( BAP)(BAP)(BAP 设设总总体体X服服从从正正态态分分布布)(2，N，nXXX,21为为X的的一一个个样样本本。 所构造样本函数为所

9、构造样本函数为( ( )( (置信度为置信度为1-1-a)a) 例例1 1、若、若X X与与Y Y相互独立，且相互独立，且X X N N（1 1、4 4），），Y Y N N（2 2、9 9）则）则Y-XY-X ， D D（2X+3Y-52X+3Y-5）= = E E（2X2X2 2+3Y-5+3Y-5）= = 例例2 2 ：已知：已知 r v X X、Y Y分别服从正态分布分别服从正态分布N N（1 1、9 9）和）和 N N（2 2、1616），且），且X X与与Y Y的相关系数的相关系数p=-1/2p=-1/2，设，设Z=X/3+Y/2Z=X/3+Y/2, ,求（求（1)1)、EZEZ、

10、DZDZ？(2)(2)、关于、关于X X与与Z Z的相关系数？的相关系数？辨别题：辨别题：1 1、若、若= = , , 则则p(p()=1.)=1.反之未必。反之未必。2 2、若、独立，则、不线性相关。反之未必。、若、独立，则、不线性相关。反之未必。3 3、联合分布唯一确定边缘分布。反之未必。、联合分布唯一确定边缘分布。反之未必。4 4、随机变量仅包括离散型和连续型两种。、随机变量仅包括离散型和连续型两种。5 5、两个事件相比较概率大则频率大。、两个事件相比较概率大则频率大。6 6、n n个事件相互独立，则一定两两独立。反之未必。个事件相互独立，则一定两两独立。反之未必。7 7、样本均值是总体

11、均值的矩估计、无偏性估计、相容估计、样本均值是总体均值的矩估计、无偏性估计、相容估计样本方差是总体方差的矩估计、无偏性估计、相容估计样本方差是总体方差的矩估计、无偏性估计、相容估计 0,1,8112121 niiniinnxxxnxXXXxxx则则记记的一组观测值的一组观测值为样本为样本、设、设9 9、设、设XN( (, ,2 2),),则则 (1)(1)E( (X2 2)=)=D( (X)+)+E( (X)2 2= =2 2+ +2； (2) E( (X2 2)=)=E( (X. .X)=)=E(X) ). . E( (X)=)=2；古典概率的计算古典概率的计算：例例1、分发一副、分发一副5

12、2张的扑克牌，发第张的扑克牌，发第10张牌是的概率是张牌是的概率是多少？头一个多少？头一个A正好出现在第正好出现在第10张的概率是多少？张的概率是多少？例例2、掷一枚骰子、掷一枚骰子4次至少出现一次六点的概率是多少？次至少出现一次六点的概率是多少？掷一双骰子掷一双骰子24次至少出现一次双六点的概率是多少？次至少出现一次双六点的概率是多少？例例3：将一枚均匀骰子掷两次，观察骰子面的出现情况以：将一枚均匀骰子掷两次，观察骰子面的出现情况以及骰子点数之和出现的情况。及骰子点数之和出现的情况。条件概率的计算条件概率的计算：( (包括三大公式包括三大公式) )例例1 1、一批产品共有、一批产品共有101

13、0个正品个正品2 2个次品，从中任取两次个次品，从中任取两次，每次取一个，每次取一个( (不放回不放回) )，则，则(1)(1)、两次都取到正品的概率、两次都取到正品的概率？(2 )(2 )、恰有一次取到次品的概率？、恰有一次取到次品的概率？(3)(3)、已知第一次取、已知第一次取到的是次品，则第二次取到次品的概率？到的是次品，则第二次取到次品的概率？( (有放回呢？有放回呢？) )例例2 2、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产品、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产品依次占全厂总产量的依次占全厂总产量的25%25%、35% 35% 、40%40%，如果各车间生产产，如果各车间生产产品的

14、次品率依次为品的次品率依次为5% 5% 、4%4%、2%2%。现从待出厂的产品中随。现从待出厂的产品中随机地取一件，求（机地取一件，求（1)1)、取到的是次品的概率？、取到的是次品的概率？(2)(2)、若已、若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率？知取到的是次品，它是第一车间生产的概率？随机变量的概率分布随机变量的概率分布： 213EXXp例例2 2、设随机变量的概率密度为、设随机变量的概率密度为求求 (1) (1) 系数系数A A； (2)x(2)x的分布函数；的分布函数； (3)X(3)X落在区间落在区间内的概率内的概率 (P73 2(P73 2、6 6、1313、14)14)其它02

15、cos)(pxxAxf)44(pp，例例3 3、一口袋中装有四只球，分别标有数字、一口袋中装有四只球，分别标有数字1 1，1 1 ，2 2，3 3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X X、Y Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求(1) (1) 、X X和和Y Y的联合概率分布？的联合概率分布？(2)(2)、关于、关于X X和和Y Y的边缘的边缘概率分布？概率分布？(3) (3) 、 X X与与Y Y是否独立？为什么？是否独立？为什么？(4) (4) 、 X X与与Y Y是否线性相关

16、？为什么？是否线性相关？为什么？ ( (有放回呢？有放回呢？) ) 例例 4 4、 设设测测量量的的随随机机误误差差)100(2，NX, ,试试求求 1 10 00 0 次次独独立立重重复复测测量量中中至至少少有有三三次次测测量量误误差差绝绝对对值值大大于于 1 19 9. .6 6的的概概率率。 解：解：由由(2-3)(2-3)式，当式，当0 x时，时，0)(xXPxF； 当当10 x时，时，xxkkpxXPxF)(; 3/1当当21 x时，时，xxkkpxXPxF)(; 2/16/13/1 当当x2时，时，1)(xF。所以所以21212/1103/100)(xxxxxXPxF，31)21(

17、21FXP231 XP231 XP61123XPXP61312123231XPXP21212/1103/100)(xxxxxXPxF， 分分布布函函数数F x( )的的图图形形如如下下： 1 1 F x( ) 1 1/ /2 2 1 1/ /3 3 o 1 1 2 2 3 3 x 分析：分析：设设Y表示表示 100100 次独立重复测量中事件次独立重复测量中事件6 .19X出现的次数，出现的次数，则则Y服从二项分布，即服从二项分布，即)6 .19100(XPBY，, ,问题化为求问题化为求3YP。 解：解：设设p为每次测量误差的绝对值大于为每次测量误差的绝对值大于 19.619.6 的概的概率

18、，则率，则 p= =6 .19XP6 .196 .191XP )1006 .19(1)1006 .19()96. 1 (22)96. 1()96. 1 (105. 0975. 022 设设Y表示表示 100100 次独立重复测量中事件次独立重复测量中事件6 .19X出出现的次数，则现的次数，则Y服从二项分布，即服从二项分布，即)05. 0100(，BY。由于由于100n比较大，比较大，p=0.05=0.05 很小，故由泊松定理知，很小，故由泊松定理知，Y近似服从参数为近似服从参数为505. 0100的泊松分布， 从而所的泊松分布， 从而所求概率为求概率为313YPYP2101YPYPYP555

19、! 22551eee875. 0)2/2551 (15e CH2 解：解：（1 1）由于）由于1)(dxdyyxf，故，故00)(dxdyCeyx100CdyedxeCyx所所以以C= =1 1， 即即其他，00, 0),()(yxeyxfyx （2 2）由）由（2-162-16）式，当）式，当0, 0yx时，时，xyvudvedueyxF00),()1)(1 (yxee其他情况其他情况),(yxF均为零，均为零， 所以所以其他，00, 0),1)(1 (),(yxeeyxFyx （3 3）),(GYXP1010 xyxdyeedx2642. 0211e y xy 1 o 1 1 x 图图 2-72-7 思考练习：思考练习：设二维随机变量设二维随机变量)(YX，的概率分布为的概率分布为