2018届高三年级数学二轮复习_数列专题与答案

1、WORD 格式.可编辑专业知识整理分享2018 届高三第二轮复习一一数列第 1 讲等差、等比考点【高考感悟从近三年高考看，高考命题热点考向可能为:考什么怎么考题型与难度1.等差(比)数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基 本量的求解题型： 三种题型均可出现 难度：基础题2.等差(比)数列的判定与证明主要考查等差、等比数列的定义证明题型： 三种题型均可出现 难度：基础题或中档题3.等差(比)数列的性质主要考查等差、等比数列的性 质题型：选择题或填空题 难度：基础题或中档题1.必记公式等差数列通项公式：an= ai+ (n- 1)d.n1等比数列通项公式：anaiq .(4)等比数列前 n 项和

2、公式：|nai(q= 1)Si=a1(1qn)=-(qz1).1 q 1 q(q丿等差中项公式：2an= an-1+ an+1(n2).(6)等比中项公式：an= an-1 an+1(nA2).、S1(n= 1)数列 an的前 n 项和与通项 an之间的关系：an=cSn S1-1(n2)2.重要性质(1) 通项公式的推广：等差数列中，an= am+ (n m)d;等比数列中，an= amqn m(2) 增减性：等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列.等比数列中，若 a1 0 且 q 1 或 a1v0 且 0vqv1,则数列为递增数列；若 a1 0 且 Ov

3、qv1 或 a1v0 且 q 1,则数列为递减数列.3.易错提醒(1) 忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件.(2)等差数列前 n 项和公式:n ai+WORD 格式.可编辑专业知识整理分享(2) 漏掉等比中项：正数 a, b 的等比中项是士.ab,容易漏掉一 ab.WORD 格式.可编辑专业知识整理分享【真题体验】求仓 1 的通项公式；（II）求 的前 n 项和.【考点突破】考点一、等差（比）的基本运算1.（2015 湖南高考）设 Sn为等比数列 an的前 n 项和，若 a1= 1,且 3S1,2S?, S3成等差数列，则 a*=_2.（2015 重庆高考）已

4、知等差数列an满足 a3= 2,前 3 项和&= |.（1）求an的通项公式；1.（2015 新课标I高考）已知an是公差为 1 的等差数列，Si 为an的前 n 项和.若 S8= 4S,则 a10=（）17A.yB.19C. 10D. 122. （2015 新课标1n高考）已知等比数列an满足 a1= 4，a3a5=4（a4-1），则a2=（）11A . 2 B. 1C.2D.83.（2015 浙江高考）已知an是等差数列，公差 d 不为零.若 a2, a3, a7成等比数列，且 2a1+ a2= 1,贝 V a14. （2016 全国卷 1）已知：aj 是公差为 3 的等差数列，数

5、列1际满足円，b2=3,晌1bn.,WORD 格式.可编辑专业知识整理分享（2）设等比数列bn满足 b1=a1,b4=a15，求bn的前 n 项和 Tn.考点二、等差(比)的证明与判断【典例 1】(2017 全国 1 )记 Sn为等比数列：an的前 n 项和，已知 S2=2 , S3=-6.(1) 求an?的通项公式；(2 )求 Sn,并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【规律感悟】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1) 定义法：对于 n1 的任意自然数，验证 an+i an或詈1为同一常数.(2) 通项公式法：1若 an= a1+ ( n 1)d= am+ (n m)d 或

6、 an= kn + b(n N*)，则an为等差数列;2若an=a1qn 1=amqn m或an= Pqkn b(n N )，则an为等比数列.中项公式法：*1若 2an= an-1+ an+1(n N*, n 2)，则环为等差数列；2若 an= an-1- an+1(n N*, n 2), 且 an* 0,则an为等比数列.变式：(2014 全国大纲高考)数列an满足 a1= 1, a?= 2, a*+2= 2a“+1 a“+ 2.(1)设 bn= an+1 an，证明bn是等差数列； 求an的通项公式.考点三、等差(比)数列的性质命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质【典例 2】(1)(

7、2015 新课标n高考)已知等比数列an满足 a1= 3, a1+ a3+ a5= 21,则 a3+ a5+ a7=()A. 21B. 42C. 63D. 84WORD 格式.可编辑专业知识整理分享(2)(2015 铜陵模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sg= 12,则 a5+ a6=()12 6A. B. 12 C. 6D.5命题角度二与等差（比）数列的和有关的性质【典例 3】（1）（2014 全国大纲高考）设等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S2= 3, $= 15,则S6=（ ） A. 31 B. 32C. 63 D. 64（2）（2015 衡水中学二调）等差数列a

8、n中，3（a3+ a5） + 2（a7+ ae+殉=24,则该数列前 13项的 和是（ ）A. 13 B. 26 C. 52 D. 156针对训练1.在等差数列an中，若 a3+ a4+ a5+ a6+ a7= 25,则 a2+ a8=_ .2.在等比数列an中，a4a8= 16,则 a4_a5a7a8的值为.3._ 若等比数列an的各项均为正数，且 a10an + a9a12= 2e5,则 In a+ In a2+ In a20=_ .【巩固训练】一、选择题1.（2015 新课标U高考）设 Sn是等差数列an的前 n 项和.若 a1+ a3+ a5= 3,则務=（）A.5B. 7C. 9D

9、. 112.（2014 福建高考）等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a2,S3=12,则 a6等于（）A. 8 B. 10 C. 12 D. 143.（2014 重庆高考）对任意等比数列an，下列说法一定正确的是（ ）A.a1,a3, a9成等比数列B .a2,出，a6成等比数列C.a2,a4, a8成等比数列D. a3, a6, a9成等比数列4.（2014 天津高考）设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，SnWORD 格式.可编辑专业知识整理分享为其前 n 项和.若 0, , S4成等比数列，贝Ua1=（ ）1 1A. 2 B . 2 C 2 D . 2*1 ._t5.（201

10、5 辽宁大连模拟）数列an满足 an an+1二 an an+1（n N ），数列bn满足 bn=： ,且 b1an+ 6+ b9= 90,则 b4 be（）A.最大值为 99 B .为定值 99 C.最大值为 100 D .最大值为 200、填空题6.（2015 陕西高考）中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为2 015,则该数列的首项为 _7. （2015 安徽高考）已知数列an是递增的等比数列， a1+a4= 9, a2a3=8，则数列a.的前 n 项和等于& （2014 江西高考）在等差数列an中，a1= 7,公差为 d,前 n 项和为 5,当且仅当 n= 8 时

11、 S.取得最大值, 则 d 的取值范围为_.三、解答题9.（文）（2015 兰州模拟）在等比数列an中，已知 a1= 2, a4= 16.（1）求数列an的通项公式；若 a3, a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的前 n 项和 Sn.10、（2014 湖北高考）已知等差数列an满足：a1= 2，且 a1, a?,氏成等比数列.（1）求数列 an的通项公式；（2）记 Sn为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n,使得 Sn60n+ 800?若存在，求 n 的最小值；若不存 在，说明理由.WORD 格式.可编辑专业知识整理分享11.（2015 江苏高考）设 a1, a

12、2, a3, a4是各项为正数且公差为d（d* 0）的等差数列.（1）证明：2a1, 2a2, 2a3, 2a4依次构成等比数列；（2）是否存在 a1, d，使得 a1, a2, a3, a：依次构成等比数列？并说明理由第 2 讲 数列求和（通项）及其综合应用【高考感悟从近三年高考看，高考命题热点考向可能为:考什么怎么考题型与难度i数列的通项考查等差、等比数列的基本量的求解；题型：三种题型均可出现公式考查 an与 Sn的关系，递推关系等难度：基础题或中档题2 数列的前 n 项和考查等差、等比数列前 n 项和公式；题型：三种题型均可出现，更多考查用裂项相消法、错位相减法、分解为解答题组合法求和难

13、度：中档题3数列的综合证明数列为等差或者等比；题型：解答题应用考查数列与不等式的综合.难度：中档题【真题体验】1.（2015 北京高考）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若 ai+ a20,贝 U a2+ 出0B. 若 ai+ a30,贝 U ai+ a20C. 若 0vai .aia3D. 若 ai0i2.（20i5 武汉模拟）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn, a5= 5, S5二 i5,贝擞列的前anan+ii00 项和为（）A i00B 99C 99D i0iA.i0iB.i0iC.i00D.i003.(20i5 福建高考)等差数列an中，a2= 4, a4+ a7=

14、 i5.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn 2an 2+ n,求 bi+ b2+ b3+ bi0的值.WORD 格式.可编辑考点二、数列的前 n 项和【规律感悟】1分组求和的常见方法(1) 根据等差、等比数列分组.(2) 根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.2.裂项后相消的规律常用的拆项公式(其中 n N*)3. 错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项(an bn)型数列求和.步骤：求和时先乘以数列 bn的公比.把两个和的形式错位相减.整理结果形式.4. 倒序求和。命题角度一基本数列求和、分组求和考点一、数列的通项公式【规律感悟】求通项的常

15、用方法【考点突破】(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法.(2)已知 Sn与 an的关系，利用an=Si, n= 1,Sn-Sn-1, n 2 求an-(3)累加法：数列递推关系形如时，常用累加法(叠加法)an+计 an+ f(n),其中数列f(n)前 n 项和可求，这种类型的数列求通项公式(4)累乘法：数列递推关系如法(叠乘法).an+1= g(n)an，其中数列g(n)前 n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘(5)构造法：递推关系形如an+1= pan+ q(p, q 为常数)可化为 an+1+= p an+p 1話(p 工 1)的形式，利用+是以 p

16、 为公比的等比数列求解.递推关系形如an+1=器(P 为非零常数)可化为士 = 0；-1的形式.an+11.(2015 新课标n高考)设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a1= 1, a*+1= SnSn+1,则 Sn=_111*2._(2015 铜陵模拟)数列an满足童1+ 32+ + 3an= 3n + 1, n N ,贝Van=_.3.若数列an满足 a1=3,an+1=5an 133an7,则 a2015的值为1n (n+1)1丄 1_ = 1I1丄)n n+ 1.n (n + k) kS n+ k /1(2n 1)( 2n + 1)1(12(2 n 12n + 1).WORD 格式

17、.可编辑专业知识整理分享专业知识整理分享WORD 格式.可编辑专业知识整理分享【典例 1】（2015 湖北八校联考）等差数列a*的前 n 项和为 Sn,数列bn是等比数列，满足 ai= 3, bi= 1,n为奇数，令 Cn=Sn设数列cn的前 n 项和为 Tn,求T2n.bn, n 为偶数,命题角度二裂项相消法求和【典例 2】（2015 安徽高考）已知数列an是递增的等比数列，且a1+ a4= 9, a2a3= 8.（1）求数列an的通项公式;设 Sn为数列 an的前 n 项和，bn= U，求数列bn的前 n 项和 Tn.SnSn+1命题角度三 错位相减法求和【典例 3】（2015 天津高考）

18、已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a1= 6= 1, b?+ b3=2a3, a5 3b2= 7.（1）求an和bn的通项公式；设 Cn= anbn, n N ,求数列Cn的前 n 项和.b2+S2=10,a52b2=a3.(1)求数列an和bn的通项公WORD 格式.可编辑专业知识整理分享1.(2014 湖南高考)已知数列an的前 n 项和 S =(1)求数列an的通项公式；设 bn= 2an+ (-1)nan,求数列bn的前 2n 项和.2.(2015 东高考)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列ian.+1啲前 n 项和为 齐盲.(1)求数列an的通项公式；(2)

19、设 bn= (an+ 1) 2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.考点三、数列的综合应用【典例 4】(2015 陕西汉中质检)正项数列an的前 n 项和 Sn满足：时一(n2+ n 1)Sn-(n2+ n)= 0.(1)求数列an的通项公式 an；n -P1*5令 bn=(n+ 2)囁，数列bn的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 n N ,都有 TnV云.变式：(2015 辽宁大连模拟)数列an满足 an+计2玄：；，*1= 1.针对训练n2+ n2WORD 格式.可编辑专业知识整理分享11 11 1n(1)证明：数列-是等差数列； 求数列 的前 n 项和 Sn,并证明+ S + S.

20、【巩固训练】一、选择题1.（2015 浙江高考）已知an是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn若 a3, a4,成等比数列，则（）A.a1d0,dS40B. v0,dS0,dS402.（2015 保定调研）在数列an中，已知 a1= 1, a*+1= 2a*+ 1，则其通项公式为 a*=（）A . 2n 1 B. 2n_1+ 1C. 2n 1 D. 2（n 1）1 _ 13.（预测题）已知数列an满足 an+1= 2+ .an an,且 a1= ?,则该数列的前 2 015 项的和等于（）3 023A.B. 3 023 C. 1 512 D . 3 0244.（2015 长春质检）

21、设数列an的前 n 项和为 S，且a1=a2=1,nSn+（n+2）an为等差数列，则 an=（）nn +12n 1 n +1A2n1Bn1+ 1C2n1 D. 2n+112 a a+1+ 1an 0, a1= 1，如果 an+1是 1 与亠的等比中项，那么24 ana1+岁+肆+拿+十需的值是()A迦B他C宓D鲤991001011005. (2015 云南第一次统一检测)在数列 an 中,WORD 格式.可编辑专业知识整理分享、填空题WORD 格式.可编辑专业知识整理分享27.若数列n(n + 4)(2)n中的最大项是第 k 项，贝Uk=_.* , 8(2015 江苏高考)设数列 an满足

22、a1= 1,且 an+1 an= n+ 1(n N )，则数列 百前10 项的和为_ .9.(2015 福建高考)若 a, b 是函数 f(x)= x2 px+ q(p0, q0)的两个不同的零点，且a, b, 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于 _.三、解答题10. (2015 湖北高考)设等差数列 an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列的公比为 q.已知 3= aj, b?=2, q = d, S10= 100.(1) 求数列an , bn的通项公式；(2) 当 d1 时，记 Cn=严，求数列Cn的前 n 项和 Tn.11. (201

23、4 山东高考)已知等差数列an的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S , S2, S4成等比数列.(1) 求数列an的通项公式；(2) 令 bn= ( 1)n1，求数列bn的前 n 项和 Tn.anan+16. (2014 全国新课标n高考)数列 an满足 an+1=11 a8= 2,贝 U a1=WORD 格式.可编辑专业知识整理分享2018 届高三第二轮复习一一数列答案【真题体验】(第 1 讲等差、等比考点)1.【解析】设等差数列an的首项为 ai，公差为 d由题设知 d = 1, S&= 4S4,所以 8ai+ 28 = 4(4ai+ 6),解1119得 a1=，所以 a10

24、= 2+ 9=Q.故选 B.2.【解析】设等比数列an的公比为 q, a1= , a3a5= 4 1)，由题可知 q丰1,贝 V ag2xag 4= 4(ag31)，二存 q6= 4(4Xq3 1)，- q6 16q3+ 64= 0,.(q3 8)2= 0,Aq3= 8,Aq= 2,Aa?= g.故选 C.3.【解析】由 a2, a3, a7成等比数列，得 a2= a2a7，则 2d2= 3a1d，即 d = a1.又 2a1+ a2= 1，所以 a122=3, d = 1.【答案】2 114.【解】(1)an=3n1.bn二一.22x3考点一、等差(比)的基本运算1 .【解析】本题考查等比数

25、列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等比数列的通项公式.由3S1, 2S2, S3成等差数列，得 4S2= 33+ S3,即卩 3S2 30 = S3 S2,则 3a?= a3,得公比 q= 3,所以 an= a1qn 1= 3n 1.【答案】3n 12.【解】本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前n 项和公式，考查考生的运算求解能力.(1)将已知条件中的 a3, S3用首项 a1与公差 d 表示，求得 a1, d,即可求得数列an的通项公式；结 合(1)利用条件 b1= a1, b4= a15求得公比，然后利用等比数列的前n 项和公式进行计算.(1)设an的

26、公差为 d，则由已知条件得3X29a1+ 2d = 2, 3a1+ d= ,3即 a1+ 2d= 2, a1+ d = 3,1解得 a1= 1, d =1,故通项公式为 an= 1+ 号，即 an= 呀.(2)由(1)得 b1= 1,b4=a15=WORD 格式.可编辑专业知识整理分享设bn的公比为 q,则 q3= g= 8,从而 q = 2,故bn的前 n 项和 b1(1qn)1X(12n)Tn 1q12考点二、等差(比)的证明与判断2n1.【典例 1】解：(1)设an的公比为q，由题设可得(1+q)=2,9a2(1 q q )一6.解得q - -2, = -2故an的通项公式为a.= (-

27、2)nWORD 格式.可编辑专业知识整理分享2=2 +(1)n土一 =2Sn,故S,Sn,SM2成等差数列33变式.【解】（1）证明：由 an+2= 2為+1 an+ 2 得an+2an+1=an+1an+2, 即 bn+1= bn+ 2.又 b1= a2 a1= 1, 所以bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列.（2）由（1）得 bn=1+2（n1），即an+1an=2n1S （做十 S（21）,于是：一I一-所以 an+1玄1= n2, 即卩 an+1= n2+ a1. 又 a1= 1，所以an的通项公式为 an= n2 2n + 2.考点三、等差（比）数列的性质 命题角度一与等差（比）

28、数列的项有关的性质【解析】（1）本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力.由于 a1（1 + q2+ q4） = 21, a1= 3,所以 q4+ q2 6= 0,所以 q2= 2（q2= 3 舍去）， a3+a5+a7=q（a1+a3+a5）= 2x21 = 42.故选 B.本题主要考查等差数列的性质am+ an= ap+ aq.a1+ a10由 S10=12 得一-x10=12,所以 a1+ a10= ，所以 a5+ a6=学.故选 A.55命题角度二与等差（比）数列的和有关的性质【解析】（1）在等比数列an中，S2,S4 S2,S6 S4也成等比数列，

29、故（S4Sz）2= S2（&S4）,则（15 3）2=3（Ss 15）.解得 Ss= 63.故选 C.针对训练1 .【解析】由 a3+a4+a5+a6+a7=25得5a5=25,所以a5= 5,故a2+a8=2a5=102.解析】a4a5a7a8= a4a8 a5a7=4a8)2= 256.【答案】2565553.解析】Ta10an + a9a12= 2e ,二 a an = e , ln a1+ ln a2+ + ln a20= 101 n(a1 an)= 10 e= 50.【巩固训练】一、选择题1 解析】 数列 an为等差数列， a1+ a3+ a5= 3a3= 3,二 a3= 1

30、, -& = 5 心；_ = 53= 5.【答案】A3x22 解析】由题知 3a1+ 厂 d = 12, / a1= 2,解得 d = 2,又a6=5d, a6= 12.故选 C.3.解析】由等比数列的性质得，a3 a9= a6*0,因此 a?, a6, a?定成等比数列.故选 D.22X124X314.解析】由题意知 S2=S1S4,(2a1+2 d) =a1(4a1+ d)，把 d = 1 代入整理得 a1=?.故（2）由（1）可得&2n 1n21 -q由于Sn 2 Sn -12n 32n 2T3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,二 6a4+6a10=24,

31、-a4+a10=4,-S13=13 ( a1+a13)213 (a4+a10)2 =13x42=26.故选 B.WORD 格式.可编辑专业知识整理分享11.解】(1)证明：因为 石二=2an+1-an= 2d(n = 1, 2, 3)是同一个常数，所以构成等比数列.(2)不存在，理由如下：令a1+ d = a，贝 V a1, a2, a3, a4分别为 a- d, a,2d,0).假设存在 a1, d,使得 a1, a2, a3, a4依次构成等比数列,贝 V a4= (a-d)(a+ d)3,且(a+ d)6= a2(a + 2d)4.令 t=：,则 1 = (1- t)(1 +1)3,且(

32、1 +1)6= (1 + 2t)4- 2 t d, a 选 D.1 15.【解析】- 将 anaa+1= anan+1两边同时除以 anan+1可得=1,即 bn+1- bn= 1,所以bn是公差为an+1and= 1 的等差数列，其前 9 项和为9(笃 = 90,所以 S+ b9= 20，将 bg= S+ 8d =切+ 8,代入得 切=6, 所以 b4= 9, b6= 11,所以 b4b6= 99.故选 B.设等差数列的首项为 a1，根据等差数列的性质可得，a1+ 2 015= 2X1 010,解得& = 5.答案】d-7d-7227，对称轴介于 7.5 与 8.5 之间，即 7.5

33、VV8.5，解得一 1 dv;.答案】dd8三、解答题9.解】(1)设数列an的公比为 q,Ian为等比数列，里=q3= 8, q= 2,二 an= 2X2n-1= 2n. a1(2)设数列bn的公差为 d, / b3= a3= 23= 8, b5= a5= 25= 32, 且 bn为等差数列， b5- b3= 24= 2d,. d= 12 , b1= b3-2d=- 16,. Sn=- 16n +nx12 = 6n2-22n.10、解】(1)设数列an的公差为 d,依题意，2, 2+ d, 2 + 4d 成等比数列，故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得 d2- 4d = 0，解

34、得 d= 0 或 d = 4.当 d = 0 时，an= 2 ;当 d = 4 时，an= 2 + (n 1) 4 = 4n- 2，从而得数列an的通项公式为 an= 2 或 an=4n 2.当 an= 2 时，Sn= 2n 显然 2n 60n+ 800 成立.当 an= 4n- 2 时，$ =呢+(J-2= 2n2.令 2n260n+ 800,即 n2- 30n-4000,解得 n40 或 n60n + 800 成立，n 的最小值为 41.综上，当 an= 2 时，不存在满足题意的 n；当 an= 4n- 2 时，存在满足题意的 n,其最小值为 41.二、填空题6.【解析】5a1+ a4=

35、9,a1+ a4= 9,#十则2a3= 8,a1= 8, ，或*数列an是递增的等比数列，a4= 1.& 解析】等差数列的前 n 项和为 Sn,则Sn=na1+n(；1)d =为2+(a1-纺二刖十(7 2)n，对称轴为7 .【解析】a1a4= 8,a1, a4可以看作一元二次方程x2- 9x + 8 = 0 的两根，故a1=1a4= 8a1_1可得公比 q = 2, 前 n 项和 Sn= 2n- 1.a4=8.WORD 格式.可编辑专业知识整理分享21t(t + 1) + 2(t+ 1) - 2 = t + 3t= t+ 1 + 3t= 4t+ 1 = 0，贝Vt =-4.显然 t

36、=- 1 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立因此不存在 构成等比数列.第 2 讲数列求和及其综合应用【真题体验】1.(2015 北京高考)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A .若 a1+ a2 0，贝Va2+ a3 0 B .若 a1+a3 0，贝Var+ a?v0 C.若 0 a1 爲佗3D .若 a1 0【解析】 若an是递减的等差数列，则选项 A、B 都不一定正确.若an为公差为 0 的等差数列，贝 U 选项 D不正确.对于 C 选项，由条件可知an为公差不为 0 的正项数列，由等差中项的性质得 a2=ar+a3, 由基本不等式得岂1+产a1a3,所以 C 正确.【答案】 C

37、12. (2015 武汉模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 S ,a5=5,S5=15,则数列的前 100 项和为()anan+110099A - B.-10110199101C.100D.100【解析】 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.Ta5=5,S5=15,a1+4d=5,玄丄，d，使得玄仆 a2， a3， a；依次WORD 格式.可编辑专业知识整理分享,5 x (51)5a1+2 d=15,a1=1,1- ana1+(n 1)d n.d=1,100101.【答案】 A3.(2015 福建高考)等差数列an中，a2=4,a4+a7=15(1) 求数列an的通项公式；(2) 设

38、 bn= 2an- 2 + n,求S+b?+ b3+ 6 的值. 【解】(1)设等差数列an的公差为 d.a1+ d= 4,由已知得(a1+ 3d) + ( a1+ 6d) = 15,1 = 1anan+1n ( n+ 1)数列1的前 100 项和为anan+11 -1+-1+12231001101=1-1101WORD 格式.可编辑专业知识整理分享ai= 3, 解得d = 1.所以 an= a1+ (n 1)d = n + 2.由(1)可得 bn= 2n+ n,所以 b1+ b2+ b3+ + b10= (2 + 1) + (22+ 2)+ (23+ 3) + + (210+ 10) =(2

39、 + 22+ 23+ 210) + (1+ 2 + 3 + +10)2X (1210)(1+10)X 10= +12 2=211+53=2 101.- 数列的通项公式(自主探究型)1 .当n= 1 时，S1=a1=1，所以 S =1.因为an+1= 5+1Si= 3|$|+1，所以S=1，即卩一S =S1SnSn+1Sn+1Sn1111,所以 & 是以一 1 为首项， 一 1 为公差的等差数列，所以=(1)+(n1) (1)=n,所以Sn=；.SnSnn12.当 n= 1 时，尹1= 3X1 + 1,所以 a1= 12,1得：3an= (3n+ 1) 3(n 1) + 1,数列的前 n

40、 项和(多维探究型)命题角度一基本数列求和、分组求和d =2,q=2,所以 an= 3 + 2(n 1) = 2n+ 1, bn= 2n1I；,n为奇数，即 Cn=n n+21, n 为偶数，T2n= (C1+ C3+ + C2n1):13a1+1 1 13a2+ + 3n1an1+3an=3n+ 1,：1 1科+3a2+ +3-1= 3( n 1) + 11n+112, n = 1,即 1ian= 3,所以 an= 3n+S 综上可得：an=n+1【答案】33, n2.3.本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决.由于a1= 3,求a2=1,a3=2,a4=3，所

41、以数列an是周期为 3 的周期数列，所以 a2 015=a671X3+2=1.an=12, n= 1,3n+1, n2a2热点考向二【典例 1】(1)设数列an的公差为 d，数列bn的公比为 q,则由b2+ S2= 10,a5 2b2= a3,得 q+ 6+d=10,3+ 4d 2q= 3 + 2d,由a1=3,an=2n+1得Sn=2=n(n+2)，贝 Vcn=2n (n+ 2)，2；T, n 为偶数,n为奇数,亠 2n+1 丿.J+=业 + %1).1 4 2n+ 1 3裂项相消法求和+ (2 + 23+ - + 22n1)WORD 格式.可编辑专业知识整理分享+ (C2+ C4+ + C

42、2n) =_ (. 1 dI、.+=3 丿+ 5.广+=1 2n + 1命题角度二【典例 2】(1)由题设知 a1a4= a2a3= 8,又 a1+ a4= 9,可解得a1=1,或a4=8a1=8Ia4= 1(舍去).WORD 格式.可编辑专业知识整理分享设等比数列an的公比为 q，由 a4= ag3得 q = 2,故 an= agn 1= 2n 1_ a1(1-qn)2n1 又 b = an+1=S+1S111 一 qnSnSn+1SnSn+1丄+ a丄+S S2+S2S3+Sn=所以 Tn= S + b2+ + bn=SnSn+11丄=丄SnSn+1S1Sn命题角度三错位相减法求和典例 3

43、】（1）设数列 an的公比为 q,数列bn的公差为 d，由题意 q 0.(1 + d) + ( 1+ 2q)= 2q,q-3(1+d)=7,又因为 q 0，解得 q= 2,所以d = 2. 所以数列 an的通项公式为 an=2n1,由已知，有nq23d=2消去 d，整理得q4 3d= 10,q4 2q2 8 = 0.N*;数列bn的通项公式为 bn= 2n 1, n N*.由(1)有 Cn=(2n1) 2nS设cn的前 n 项和为 Sn,则 $= 1x20+3X21+5X22+ +(2n3)X2n2+(2n1)X2n1,2Sn=1X21+3X22+5X23+ +(2n3)X2n1+(2n1)X

44、2n,上述两式相减，得Sn=1+22+23+ +2n(2n1)X2n=2n+13(2n1)X2n=(2n3)X2n3,所以，Sn= (2n 3) 2n+ 3,针对训练1.【解】（1）当 n= 1时,a1=S1=1；n?+ n(n 1)?+( n 1)=n.当n2时，an=Sn一咅-1= 2 故数列an的通项公式为 an= n.由(1)知，bn= 2n+ ( 1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T2n，则2n= (21+ 22+ 22n)+ ( 1+ 2 3 + 4 +2n).记 A= 21+ 22+ 22n, B= 1 + 2 3+ 4+ 2n,则2 ( 1 22n)2n+1A= 2 2A

45、=12 ，B= ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + (2n 1) + 2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n=A + B= 22n+1+ n 2.2.【解】(1)设数列an的公差为 d.令 n = 1,得111 1 2所以 a1a2= 3.令 n= 2，得丄 + 丄 =2，所以a1a2a2a35解得 a1= 1, d = 2,所以 an= 2n 1. 由(1)知 bn= 2n 22n1= n 4n, 所以 Tn= 1 41+ 2 42+ + n 4n, 所以 4Tn= 1 42+2 43+ n 4n+1,aia23a2a3= 15.两式相减，得一 3Tn= 41+ 42+

46、 + 4n n 41n+1所以 Tn=凹X4n+1+4=4+(3n4n994(14)n 4n+1= x4n+141433.“- 数列的综合应用(师生共研型)【典例 4】【解】(1)由 Sn (n?+n 1)Sn (n?+ n)= 0,得Sn (n?+ n)(Sn+ 1) = 0.由于an是正项数列，所以 Sn 0, Sn= n2+ n.于是 a1= S1= 2, n2 时，an= Sn Sn-1= n?+ n (n1)2 (n 1) = 2n. 综上，数列an的通项公式为 an= 2n.n + 1_(2)证明：由于 an=2n,bn= (n+2)2a2,1216 一 (n+2)2n + 11则

47、bn= 4n2(n+ 2)2=WORD 格式.可编辑专业知识整理分享专业知识整理分享111111 1 1 , 1 1 1 、，所以 Tn=心X1- 32+它-4+ 亍-52+ + (n- 1)2- (n + 1)2+ 并-(n + 2)2=花X11111 f 1 35J +22- ( n+ 1)2 (n+ 2)2 1+药+ RD =(12)+(2彳 + +(J 苗)=11_ = nn+ 1 n+ 1.【巩固训练】一、选择题51.【解析】由 as, a4, a8成等比数列可得：+ 3d)2=佃+ 2d)临+ 7d),即卩 3a1+5d = 0,所以 a1= 3d,3(a1+a4) X422丫所以apv0.又 dS4=2d= 2(2a1+ 3d)d= 3d 2时，SnSn-1+(1+ _)an(1+)an-1=0,nn 12 anan+1 1WORD 格式.可编辑专业知识整理分享所以2 (n+ 1)nn + 1an=nan1,即2n =an-1n 1,所以冇是以 2 为公比，1 为首项的等比数列，所以an= 2*-1.