MBA数学必备公式(打印版)

1、MBA联考数学基本概念和必备公(一)初等数学部分、绝对值1、非负性：即lai2O，任何实数a的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量1 1(1) 正的偶数次方(根式)算力4204_O11(2) 负的偶数次方(根式,)a',a,aA,aA-4。(3) 指数函数ax(a>。且aW1)>O考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。2、三角不等式,即间-|b|左边等号成立的条件:W |a + b| W |a| + |b|右边等号成立的条件:3、要求会画绝对值图像二、比和比例1、增长率P%原值a现值a(1P%)注意：甲比乙大合分比定理:等比定理：p%=甲乙乙二 (乙

2、a C a 二 meb d b 二 mda C e a Ce，甲是乙的p% =m 1b_d甲二乙 p%(m>O) b下降率P%，现值a(1P%)(X>0i =1,，n)Xi+X2+.+Xn-nXiX2Xn注意本部分的应用题三、平均值1、当Xi,x2,.，Xn为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即当且仅当X1=x2=二Xn时，等号成立。a>O,ba02、匕兰临另一端是常数22 J等号能成立ab3 'a+bA2(ab>0),ab同号ba4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。四、方程1、判别式(a,b,CeR

3、)月。两个不相等的实根-：=b2-4ac：=0两个相等的实根.：0无实根2、图像与根的关系2=b-4ac>0=0<02f(x)=ax+bx+c(a>0)J|V>17J(V.xVeJf(x)=0根-b±VAx12u2abx12_“2a无实根f(x)>0解集XvXi或X>X2bXA2aXeRf(x)<0解集XkX<X2XeipXeip3、根与系数的关系2_,Xi,X2是方程ax+bx+C=0(a=#=0)的两个根则的两根X1, X2是方程2ax + bx + C = 0(a *4、韦达定理的应用利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数

4、值来:X2X1X2(2'11(XiX2)2-2A2<2j22rXX2(X1X2)(3) Xi-X2=J(Xi-X2卜二耳'(X1+X2)2-4X1X233222(4) XiX2(XiE)(Xi-X1X2Xi)=(XiX2)(XiX2)-3X1X25、要注意结合图像来快速解题五、不等式1、提示：一元二次不等式的解,也可根据二次函数y=ax2bxC的图像求解。2=b-4ac>0=0<02f(x)=ax+bx+c(a>0)7.VIVX1JX2X1,2f(x)=0根-b±VAX12=侯2ab“J一恳无实根f(x)>0解集XvX1或X>X2X

5、2axeRf(x)<0解集XkX<X2X£WXeip2、注意对任意X都成立的情况(1)ax?bxOO对任意X都成立,则有：a>0且Av02二（2）ax+bx+c<0对任意X都成立,则有：a<0且ZaVO3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点六、二项式1 ' Cn=Cn nr，即：与首末等距的两项的二项式系数相等C： +Cn 十-+C： =2n,即：展开式各项二项式系数之和为2n3、常用计算公式n p =m (m -1) (m n 1)n_Pm _ mm-1)(mn +1)n! _ n (4) Cn=Cn1 n 1 CnC "&

6、quot;n-2n(n -1)2n!4、通项公式（） 第k 1项为Tki=cW bk(k =0,1,2 n)5、展开式系数当n为偶数时展开式共有（向）项笥数），则中间项第（2旬项二项式系数最大，其为 TnC 22当n为奇数时，展开式共有（n+1）项（偶数）,则中间两项,即第和第（罗+仁与3）项的二项式系数最大，其为Td =C: 2或H=Cn -12 n5、内容列表归纳如下:二项式定理公式(a+b)n Co3n+Cn3n，b4-. .+CnA3bnA+ C|bn 所表的定理成为二项式定理。通项公式第k+1项为Tk4i=CfaW,k=0,1,n项数展JI总共n+1项二项式指数展开式r%Ai+匕来/

7、ri-L逐项减IC匚白闩+匕来Zr由c逐项加1a饮力招而:*n%0b白勺伯豹:由。n-各项a与b的指数之和为n的特征展开式的最大系数n当n为偶数时，则中间项（第申项）系数G?最大；2n+1门十3当n为奇数时，则中间两项（第"和项）系数C“2最大。22n展开式系数之间的关系1. c；=Cn±即与首末等距的两项系数相等；2. Cn°+Cn1+,CiT=2。，即展开式各项系数之和为2n；3. C：+C；+Cn4.=Cn+C；+C；.=2寸，即奇数项系数和等于偶数项系数和七、数列n公式：Sn=a ra2-.B a = V aim1、an与Sn的关系（A）（1）已知an,求

8、Sn.（2）已知Sn,求an2、等差数列(核心)(1)通项an(nT)d=ak(n_k)d二nd(a一d)f(x)=Xd(ai-d)=an二f(n)比如：已知am及an,求d.(m,am)与(n,an)共线斜率d=anamnm前n项和Sn（梯形面积）S尸ala2n(nI),n=na,as二d裙22n2(a,_d)n22一a._)n抽象成关于n的二次函数f(x)=-X2-(a,-)x,22函数的特点：(1)无常数项，即过原点Sn=f(n)(2)二次项系数为d如Sn=2n23n,d=4(3)开口方向由d决定3.重要公式及性质(1)t时成立通项an(等差数列)am-an=aka,当m-n=k前n项和

9、性质1Sn为等差数列前n项和，则Sn,S2n.Sn,S3n.s2n,仍为等差数列2等差数列a和bn的前n项和分别用Sn和Tn表示,则生S2k-1bkT2k-1分析：ak-2akbk2bkb1b2k-1b1b2kI<2k.lAS2k-1(2k-1)T2k-14、等比数列注意：等比数列中任一个元素不为(1)通项：M坪nJk=ak7n_k)d前n项项和公式:Ssn(1-qaIan。1q所有项和S对于无穷等比递缩(qV1,q=0)数列，所有项和为5.等比数列性质1-q通项性质:当mn=kt时，则am-an=akat特殊数列求和。(差分求和法)anSn=aia-2廿_£+，+，卡n122

10、3341=(1.1)211111n(n1)1、41)=1-(二)微积分部分一、函数、极限、连续1、单调性：(注意严格单调与单调的区别)设有函数y=f(x),X£D，若对于D中任意两点X1,X2(X1<X2)，都有f(x.)Wf(X2)(或f(x()2设2),则称函数f(x)在D上单调上升(或单调下降)。若上述不等号为严格不等号“v"(或“)，则称函数f(x)在D上严格单调上升(或严格单调下降)。2、奇偶性：(1淀义：设函数y=f(x)的定义域D关于原点O对称，若对于D中的任一个X,都有f(-x)=f(x)(或f(-x)=f(x),则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。

11、(2)图像特点：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，函数y=。既是奇函数，也是偶函数。3、遇到f(x»*只要符合“1Q，按以下方法处理：(X)jg(x)=lim1+(f(X)1)hx)limf(x)9(x)=|im1(f(x)-1)卜凶x内XrXoXoFirf(X)Jg(X)lim(f(x)4)g(x)=lim1(f(x)=exxoX3X。Jlim(f(x)4)g(x)公式：limf(x)9<x)=exxoXf4、常用等价无穷小：当XO时，有ex1Xln(1+x)X(1+x)n-1nx引申：当:(x)>0时，ln(1+：(x)e"(x)1：(x),(

12、1+：(x)n-1-n-(x)5、当X>+：时，增长速度由慢到快排列：Inx,XaXx6、f(x)在点X。连续定义：limf(x)=f(x。)XA07、闭区间上连续函数的性质(1)最值定理一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。(2)零值定理设f(X)eC(a,b),且f(a).f(b)<o,(a.b)(开区间)，使f()=0°注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。应用：f(x)=0是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。二、一元函数微分学1、导数的数学定义式lm*XQrXM<X3=f(x。)(用于抽象函数判定是否可导)lim*"

13、;J送Q>=f'(Xo)(用于表达式给定的具体函数，求导数值)XfX-Xo2、可导与连续的关系f(X。)存在f(X)在X=X。连续3、左右导数左导数：f(X。)=Iim凹空二1后伞0-#3Xf-x_Xo3AX右导数：f(Xo)=lim监他友=nm联星小媳X-0+X-XoSAx结论：f(x°)=A=f_(x0)=f.(x0)=A4、导数的几何意义设点Mo(xo,f(xo)是曲线y=f(x)上的上点，贝9函数f(x)在Xo点处的导数f'xo)正好是曲线y=f(x)过Mo点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。1(1)切线方程V=f(Xo)(x-Xo)f(X。)，法线

14、方程为y；(x-Xo)-f(X0)f(Xo)(2)切线平行X轴切线方程：y=f(x。),法线方程：x=X。(3)切线平行y轴切线方程：x=X。，法线方程：y=f(Xo)6常见函数求导公式f(x)cxaJX1Xxaxe魅TIn冈f'(x)0C(X11X34ax|naXe11X2dXXInaZf(X)；f1(x)g(x)-f(X)g,(X)2ig(x)jg(x)7、高阶导数(掌握二阶导数即可)可导一定连续，连续不一定可导可微9、奇偶函数，周期函数的导数常见函数的二阶导数f(x)cXG彳反1XxaxeLOga|x|InIXIf,(x)00-111ax|naxe11C(X2dX2XXInaXf

15、'(x)G(G-l)Xce212ax(InX11034x勺3Xa)2eA2.XIna2X8、可导、可微、连续与极限的关系11、洛必达法则(°,)3可导的偶函数的导函数为奇函数，且f(0)=04可导的奇函数的导函数为偶函数(3)可导的周期函数的导函数仍为同周期函数10、微分公式(节亥心*)：dx()0矽若limf(X)=0(或二)，limg(x)=0(或：)，则limy=lim二Ag(x)g(X)12、判断函数的增减性，求函数单调区间(1)单调性定义-XXD,当为沐2时，有f(N)t)g,则f(x)为单调递增(减)(2)判别方法：用f'()判断设f(X)在(a,b)上可

16、导，则f(X)在(a,b)内单调增加(减少)的充要条件为f(x)_(匀0f(X)单调增.f(x)-0注意：设f(X)在(a区间内可导则f(X)在(a,b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f(x)>0(f,(x)VO)f(x)>八-严格单调增加f(X)VO-严格单调下降13、极值点的定义(局部最大或局部最小)(1淀义:设y=f(x),若对*(x。一：,x+J均有f(x)Wf(xo)(f(x)2f(Xo)则称Xo为f(x)的极大值点(极小值点),f(x。)为极大值(极小值)。(2)判定方法：两个充分条件第一充分条件：若f(x)在Xo处连续，在Xo的邻域内可导，且当xvXo时，f(x)

17、>O,(f'(x)<0)当x>X0时，仅)<0,(仅)>0),则称乂。为极大值点(极小值点)。第二充分条件：设f(x)在Xo点的某一领域内可导且f(x。)=0,f'(Xo)丰0若f-(Xo)0则X。是极小值点，f(X。)为极小值若f(Xo)<0则X。是极大值点，f(X。)为极大值注意：f'(Xo)=0不能判定用，有可能为极值，也可能不是极值。(3)极值存在的必要条件若X。为f(x)的极值点,且f'(xo)存在,则f'(xo)=0注：r(X。)二。不能推出X。为f(x)的极值点女口：y=X3，在X=0处必有y=0即：X。

18、极值点一7f(Xo)=O14、驻点(稳定点)(1)定义：满足f(X)=M点，称为驻点驻点极值点1X15、函数的最值及其求解(1)若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上必有最大值、最小值(2)设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内有一个极值点X。，贝U若X。是f(x)的极大值点，那么X。必为f(x)在a,b上的最大值点；若xo是f(x)的极小值点，那么xo必为f(x)在a,b上的最小值点。(3)求最值的方法(最值是Ca,b整体概念，极值是局部概念)求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点(b)求出以上各函数值及区间a,b端点的函数值(C)比较上述数值，最大的为最大值，最小的

19、为最小值大 小：中最片酬管其M：maxf(a),f(b),f(x1)，、，,f(X。)：m:minf(a),f(b),f(xi),f(xo)Xi,X。为f(x)所有可能的极值点16、驻点、极值点、最值点的联系与区别上定义：使f'(X)=0的点驻点J图像：找存在水平切线的点P)严格按照定义判断。判别骨于结薨亍的硒图像连续(3第二充分条件：驻点导数两侧异号极值占" 必要条件(求参数值)极值点为局部概念，在 极大值与极小值无必然值点.：x。为极值点fLN瓣在0则f(x°)=o很小的邻域内研究.极大(小)值点为局部最大的大小关系边界+求最值点的方法最值点：在开区间，a,b)

20、内可能的极值点唯一，贝y此点为最值点(应用题)最值为整体概念，即函数图像在开区间a,b上最高点为最大值，最低点为最小值.17、函数的切线与法线切线与法线求法一般地，在X。处切线方程为y-y,=f*(Xo)(x-Xo)1在Xo处法线方程为y-yo-(x-Xo)f1(Xo)18、函数凹凸性及其判定(1)凹弧(a)定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧(b)凹弧的切线斜率随着X的增大而增大，即f(x)单调递增(C)设f(x)在(a，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为f(X)>)-X-(a,b)凸弧(a)定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧(b)凸弧的切线斜率随着X的增大

21、的而减小，即f'(x)单调递减(C)设f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为f(X)<0常见函数的性质f(x)a(a>1)ax(0<a<1)logax(a>1)Xloga(0<a<1)f'(x)XiaInaa、Ina1XIna1XInaf'X)a*(lna)2ax(lna)21xdna1xdna图像4<>kXK/*性质增，凹减，凹增，凸减，凹佃、拐点及其判定(1)定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。二阶导数从大于O到小于0,或从小于0到大于0,中间的过渡点称为拐点。(2)必要条件:f'x

22、)存在且(X。,f(x。)为拐点，则rx°)=o拐点；UXO)=0(3)充分条件:若f'(x)0,且在X。的两侧F(X)异号，则(Xo,f(Xo)是拐点三、一元函数积分学1、不定积分与导数的关系(f(x)dx)=f(x)f(x)dx=f(x)C2、基本初等函数的不定积分公式(1)Odx=C(2)Xdx=(3) J dx = In X +CX-C(XY1),11 2II11JXdX=X2+c,dx=2Ax+c,Jdx=-+c2 JXX?X(4)aXdx=§T c , 沁川 c2a,x -a 八In-+Cx + a(6)dx 1 1(a x)(b x)dx(7)dx =

23、ln x +Jx2 ±a2xlla23、变限积分求导公式：I(X).TOf(t)dt)x=f(1(x)；(x)-f(：(x)J(x)Xb4、lLf(x)dx,iaf(t)dt,af(x)dx联系与区别(1) f(x)dx表示f(x)的全体原函数，它是一族函数,且任两个原函数相差一个常数XX(2) .f(t)dt表示f(t)的一个原函数,有f(x)dxf(t)dtCaaf(x)dx表示一个数值，其值为f(x)的任一个原函数F(X)在从a到b的增量F(b)-F(a)a并且其值由上下限和f(X)决定，与用何符号表示无关bb即f(X)dx=F(x)=F(b)-F(a)5、奇偶函数的积分0,f

24、(x)为奇函数af(x)dxJa田2、f(x)dx,f(x)为偶函数四、多元函数1、偏导的定义设函数Z=f(x,y)定义在Po(xo,y。)点的一个邻域内，若将V固定在V。，作为X的函数f(x,yo)在X。点处的导数,10cxy。)-f(Xo,y。)imo称为函数f(x,y)在Po(xo,y。)点处对X的偏导数，记作fx(Xo, y0)或Zx (Xo,yo),f(x0,y。) Z议：x '(xo.yo)2、一般极值(1)定义：设ZHf(X,y)在(X°,y。)的某邻域内有定义，恒有f(x,y)-f(x°,y。)乞f(xo.yo)则称(x。,y。)为z=f(x,y)的

25、极小(大)值点,相应地,f(Xo,y。)为f(x,y)的极小值(极大值)。(2)必要条件：若(x0,y。)为Z=f(x,y)的极值点，且fx(xo,yo),fy(x°,y。)存在，则：“X。")=0,fy(xo5y0)=o驻点的定义：Jfx(x。*。)(。称(x。，y。)为f(x,y)的驻点lfy(Xo5y0)=0,(4)充分条件:设fx(x°,yo)=0,fy(Xo,yo)=0令AfXX(Xo,yo),AfXy(Xo,yo),fxy(Xo,yo)=B2AC,则：1若:.=B2-AC。，则(x0,y。)不是极值点2若上、=826(3一。,则以/。)为极值点，且八：

26、。时极为值点,A。时为极小值点3若&=B2-AC=0,则不一定(三)线性代数部分-、矩阵1、矩阵的乘法一般没有交换律，即ABUBA;常见可交换矩阵：.1.1.1(1)逆A：AA=AA=E(2)单位矩阵E：AE=EA=A(3)数量矩阵kE：A(kE)=(kE)A=kA(4)零阵O：Ao=OA=0(5)幕：AmAAnAm=Afn+n伴随A*:AA*=A*A=|A|E(重要)2、AB=O厂二.A=O,或B=O,当且仅当A或B可逆时才成立；对于AB=O，应该认识到B的每一列都是齐次方程组AX二。的解，若B=O，则齐次方程组有非零解；3、AB=ACr±B=C，当且仅当A可逆时，才成立；

27、4、A2=Ar±A=E或A=O,当且仅当A可逆时，有A二E;当AE可逆时，有A二O；A2=0r±A=o，仅当A为对称矩阵，即A=At时，命题才成立；5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：lkAI=kn|A=kIA。6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式逆伴随11(A)=A(At)T=A(A*)*=IAfA(kA)：=k*(k#0)(kA)T=kAT(kER)(kA)*=kn-A*(kwR)(AB)：=bA<(AB)tBAt(AB)=BA|A-F|A广IATHAIIApAL(ni.2)一般(A+B)J式A，+Bi(A+B)t=At+B1一般(A+B)式AB互换性：(Aj)

28、t=(At)j,(AJ)=(A)J,(A)t=(At),(Ak)=(A)k;即这四种符号(1,k)可以进行互换，以简化运算。7、重要结论与公式对于Amnr(A)-minmn/r(A)f(At)(3)A行B有A与B的行向量相互等价不改变列向量的线性关系(一般用初等行变换求矩阵的秩)r(A)=r(B)(4) r(AB)汀(A)r(B)类似Ix+yIwIxI+IyP(A+B)WP(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)W P(A)+P(B)rr(A B)兰 r(A)J(A B)M r(B)AB ='2(5) r(AB)兰min(r(A),r(B)U(6) (AB)=r(A

29、)B不可逆二r(AB)<r(A)(AB)=r(A)=1(7)A中任意两行成比例厂于r(A) =1A=A=B1r(A)=r(B)M.(9) A=0厂二r(A)=0(10) r(A)=r(kA)(k=0)(8)(11) 若A是mn阶矩阵，B是nP阶矩阵，当AB=。时，r(A)+r(B)”7、重点掌握以下矩阵可逆性的判断：n阶方阵A可逆二IAr。:=r(A)=n二A的行(列)向量组线性无关二存在n阶方阵B,有AB=BA=E(可逆矩阵的定义)U齐次方程组AX=：0只有零解二对于任意的，非齐次方程组AX=总有唯一解U方阵A的特征值全不为零=AB二C(C可逆)设A为n阶矩阵，有以下等价命题a) r(

30、A)=n(满秩矩阵)b) A可逆C)|A|丰0d) AT可逆e) r(A)=nf) A可逆g) A的n个列(行响量线性无关，即A列(行)满秩h) AX=O只有零解i) AX=p有唯一解二、向量组1、线性相关性基本定义-'2>2m>m7(1)存在不全。的1,2，m使上式成立，则其相关(2)当且仅当m=0,使上式成立，则其线性无关.(1)单个向量：线性相关能推出L-0(2)两个向量：、线性相关与：、一:成比例的关系(3) 包含O向量的任何向量组，线性相关.(4) 一，2,mm_2线性相关：":F中有一个向量可由其余向量线性表示(5)1-:皿(m_2)线性无关任何一个向

31、量都不能由其余向量线性表示.S，mR即向量组的个数=01个维数=n(1)m>n时，则其线性相关.(2)m=11时，令Annnel,>2,/n)根据IAF0判断相关性.三、线性方程组(-)关于方程组解的性质1、 若“卜为AX=0的解，则S-2kk为AX=0的解分析：A1122kk='lA1-2-.kAk=02、 若为AX=的解1)当.'k=1时,，1122rkk为AX=的解分析：A122川'WkkiA12A2川'泪LkAk=1,2k'：I，2)当，12=0时，11223母为AX=0的解3、AX=任何两个解之差为AX=0的解分析：若右X2为AX-

32、的解,Ax,-X2=Ax.-Ax2-a0即XX2为AX=o的解(-)含有参数的线性方程组的求解。1 .齐次线性方程组AX=0解题提示：对系数矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：(1) 线性方程组只有零解，即r(A)=n；(2) 线性方程组有非零解，即r(A)<n，并将非零解求出来。2 非齐次线性方程组AX二口解题提示：对增广矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：线性方程组无解，即r(A)=r(A);(1) 线性方程组有唯一解，即r(A)=r(A)=n；(2) 线性方程组有无穷多解，即r(A)=r(A)：n，并将解求出来。3、如果有一组向量,贝U是否可以由线性

33、表示，可以转化为非齐次线性方程组Xi匕2X2川比sXs=:解的情况，若无解，则不能线性表示；若有唯一解，则能够唯一线性表示；若有无穷多解，则能够线性表示，且表示方式不唯一。4、有关基础解系的问题解题提示：某一个向量组要是方程组的基础解系，需要满足三个条件：(1) 该向量组中的每个向量都满足方程AX=O;(2)该向量组线性无关；(3) 该向量组中向量的个数等于n-r(A)；或方程组的任一解向量都可由该向量组线性表示。四、特征值和特征向量(一)概念1 .定义：若向量满足1=0,2A与线性相关，称为A的特征向量2 .表达式：A-A-0A-*=0,令B=A-%E,即为BX=O的非零解3 .特征值AiE

34、=04 .求特征向量先由A-E=0求出F-n再求出对应特征值下的特征向量、对应的特征向量，即八iEX=0的非零解.(二)性质1、属于不同特征值的特征向量线性无关2、来自同一特征值冲勺特征向量VV2,其非零组合kJ+k2Y为A勺特征向量3、，可为0,但不能为O4、A=in,traA=i5、若A满足fA=。则，满足f，=06、一个特征值可以对应多个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值7、矩阵二的特征值为对应的特征向量为（三）归纳列表如下矩阵特征值特征向量KAkAimA-.mA、Xi*Af(A)5)At无法确7E是否相同(四)概率论部分、随机事件部分1.事件间的四种关系包含A二B结论：ABJf

35、jP(A)EP(B)AB/F/AB=BuIAB=A口4二B相等A=B(两个事件A,B样本点完全一致)结论：A=B：JP(A)=P(B)A=Bf折篌Af夕卜ACC：Br(3)对立B=A结论：A=B厂”(4)互斥：AB=?结论:AB=:A=BwAB=AB；.TaBAjgAB=lAB=：AB=J两两互斥完备事件组),)2 .事件间的三种运算和(并):A+B=AB差：A-B=A-AB=AB积：AB=A-B3 .概率运算公式若AB,则有P(A)WP(B)和P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(AB)(3)P(AB)=P(AAB)=P(A)+P(B)

36、-P(AB)P(A+B)-P(A-B)=P(B)(4)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)P(ABC)P(A)Y-P(A)4 .条件概率P(AB)=呼用(P(B)Ao),P(A旧)实质为事件A的概率P(B)P(AB)P(AB)P(AA?B)=P(A,B)P(A2B)-P(AA2B)P(A-A2B)=P(AB)-P(AA2B)5 .乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB)6 .全概公式两两互斥完备事件组并集为全集n全概公式:P(B)=ZP(Ai)P(BIA)im贝叶斯公式：(逆概)P(AB)=F(A)P(BWZP(Aj)P(BAj)j

37、总7 .事件的独立性(公)(1)定义：P(AB)=P(A)P(B)(2)特殊情况：a.?与任何事件相互独立b.。与任何事件相互独立c.P(A)=0的事件A与任事件相互独立相互独立两两独立个数当P(A)P(B)>0时若A与B相互独立，则A与B必不互斥(独立不互斥)若A与B互斥，则A与B必不独立(互斥不独立)注意：？与任事件即互斥也独立8.判断A与B相互独立的充要条件(1)定义P(AB)=P(A)P(B)(2) P(BIA)=P(B)(P(A)>0)或P(AIB)=P(A)(P(B)>0),即：B的发生不受A的影响(3) 0<P(A)<1P(BA)=P(BA)即：A发

38、生与否不影响B的概率分析,P(AB)P(BA)P(B)-P(AB)：P(B)_1_P(A)_1-P(A)P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)=P(A)P(B)(4) P(BA)+P(BA)=I(OcP(A)CI)分析：P(BA)=1-P(BIA)=P(BIA)(5) A,B;A,B;A3B;A3B四组事件中，若其中一组相互独立，则其余三组也相互独立，则其余三组也相互独立(6)求“n个事件至少有一个发生时”转化为其对立事件“都不发生”P(ABC)=1-P(ABC)独立1-P(A)P(B)P(C)9.独立试验序列kkn-k贝努里：n次试验中成功k次的概率

39、：Pn(k)=CnPq直到第k次试验，A才首次发生：R=q-P做n次贝努里试验，直到第n次，才成功k次：P=C*pkq"二、随机变量部分1、常见随机变量的分布表如下：随机变量EXDX密度函数f(x)离散0-1分布PP(1-P)Px：k1k=k=P(1-P)-5k=O,1型二项分布nPnP(1-P)Px=k=ckPk(1P)"=连续正态分布Ua2I2(xj)2型标准正态分布u=oa2=11兰一<P(x)“2r22、离散型随机变量(1)分布律Pk=P(X=Xk),k=1,2,XkXiX2-XkPkPlP2Pk(2)分布律的性质有界性：。纤仁(2)归一性：7RTk应用：求待

40、定参数值，注意求完参数要验证3、二项分布(1淀义设随机函数变量X的概率函数为PX=k=cp(1-P)n=k=0,1,2,n则称X服从参数为n和P的二项分布，记为XB(n,p),值得注意的是：1)当n=1时，二项分布化为(01)分布；2):P(X=k)ACkR(l-p)no=P(1-p)p=lk=Ok=0(2)各参数的意义参数n:试验次数为n次；参数P：每次试验成功的概率参数k：n次试验中成功k次(3)二项分布产生的背景可以是n重贝努利试验，若用X表示n重被努力试验中事件A发生的次数，则X服从参数为n,p的二项分布，其中P是一次试验中事件A发生的概率。应用概型：每次试验只有两种结果A和A,其中P

41、(A)=P,P(A)=Mq4、分布函数F(X)F(X)=P(X<x)(1)定义：F(X)在X处函数值表示点X落入区间(:：，x上的概率离散型：F(X)=VPkXk处(2)公式：P(X1<X<<2)=P(X<X2)-P(X<<I)=F(X2)-F(Xi)(3)分布函数性质：1)值域：0<F(X)W2)极限性质(*)F(_J=JgF(X)=0,F(：)=xlmF(X)=1X.X应用：求参数值3)单调性：单调不减(单调增)即若XkX2，有F(Xi)<Z(X2)4) F(X)右连续即limF(U)=F(X)=F(X0)u_x注意：前四个性质，用来判

42、断函数是否为分布函数5) P(X=X)=F(X)-F(X-0)6)对于X1VX2，有P(X1<X4)=F(x2)-F(X1)7)对XivX2，F(X)在Xi，X2处连续P(XWX<(2)=P(xi<X<<2)=P(x<X<x2)=P(xi0XvX2)=F(X2)F(x1)5、连续型随机变量密度函数f(x)的性质非负性：然x)2归一性：.f(x)dx=d，即f(x)与X轴所围面积为1应用：求待定参数值注意：前两个性质用来判断函数是否为密度函数的标准对于XyX2有X2P(XI<X<<2)=P(XTV<<2)=P(X10XvX2)=P(x1<X<X2)=%6、正态分布XN(，2)正态分布密度函数(Xj)2f(x)=ie2°22记作:XN(怙)，其中二0(2)f(x)图像特点N是正态分布的位置参数b)它在X =(.1时取到最大值P( )=1: 广献大，密度函的的取侑越小； o越小，其值越大，由于密度函数曲线与X轴之间的面积总是1，所以。越大表明密度函数的曲线越矮越胖，而越小，密度函数的曲线越瘦高。C)X离N越远，P(X)的值越小，表明对于同样长度的区间，区间离N越远，X落在这个区间上的概率越小。d)1=P(X)