弹塑性力学试题

1、弹塑性力学试题班号研班姓名成绩概念题（1）最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。（2）最小余能原理等价于应变协调方程和位移边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程和静力边界条件。（3）弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量,后者以应力为基本未知量。二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为:利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p作用，试求该问题的应力和位移分量的解。解：边界条件为：r=a时：二r_-p；

2、"r=b时：ur=0；Uj-0将上述边界条件代入公式得：解上述方程组得：则该问题的应力和位移分量的解分别为:三、已知弹性半平面的0点受集中力p时，在直角坐标下半平面体内的应力分量为:利用上述解答求在弹性半平面上作用n个集中力pi构成的力系,这些力到所设原点的距离分别为yi,试求应力二x解：由题设条件知，第i个力Pi在点（x,y）处产生的应力将为：故由叠加原理，n个集中力构成的力系在点（x，y）处产生的应力为:四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为I，抗弯刚度EI为常数，弹簧系数为k,承受分布荷载q（x）作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。解：

3、第一步：全梁总应变能为:d2w2dx外力做功为：l12T=Qqwdxkw|x=lU1I=vWdvEI总势能为:-二UT#：EId2wILdZ2I12dx-qwdx十kw|第二步：由最小势能原理可知:-=0等价于平衡微分方程和静力边界条件。EIdxqwdxkww|x=t（*）0ILdx！dx0dx二'EIbI1d2wd§'dw.dx2_dxidx丿将其代入（*）式并整理可得:所以平衡微分方程为：；2曰律”0(0X1)dwdx2dw0；2=U,dx由于当x=0时,由于当x=0时,五、已知空间球对称问题的一般解为:Bur=AR2REA2E_2貿_(i)R3EE-RA+3-2

4、s（1）R3其中R是坐标变量，球受均匀内外压径为a，解：（1）相应空心球受均匀内外压-TUrqb首先求出空心qa,qb时的解答，然后在此基础上导出无限大体中有球形孔洞，半内壁受有均匀压力q时的解答。qa,qb时的边界条件为:R=b:二r=-qb将上述边界条件代入得：可解得：故空心球受均匀内外压qa,qb时的解为：（2）当无限大体中有球形孔洞，半径为a，内壁受有均匀压力q时，即在上式中令qa=q、qb=0、b-'，则可得：六、已知推导以位移分量表示的平衡微分方程。1解：由旬=3（Uj,j+Uj,i）得将上述两式代入r二2；j，得到代入jFi=0得而uk,kjTj八uk,ki八Uj,ji，

5、uj,ji=uj,ij故平衡方程可写成_2_2_2由因为Uj,ji=（Uj,j）i=（e）,i-；Ui,jj=（Ui）,jj=（222）u-'2Ui织excycz所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：M2UiC-L）兰FooGXi七、证明弹性力学功的互等定理（用张量标记）。证明：（1）先证可能功原理考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的联系。第一状态全用力学量（Fj（sP（s、jj（s）来描述，它在域内满足平衡方程并在全部边界条件上满足力的边界条件：第二状态全用几何量（k,Uik）来描述。它在域内满足几何方程且要求全部边界位移等于域内所选位移

6、场在边界处的值。从而利用力的边界条件和高斯积分定理，可得利用平衡方程，式（*）右端第一项可化为第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成即式（*）成为式（*）即为可能功原理。（2）考虑同一物体的两种不同真实状态，设第一状态的体力和面力为FjC和R（1）,FjC和R（1）,相应的应力、应变状态为舸C）,ui（1）;第二状态则为Fj（2）、P（2和-j2,；j2,Ui2。由于都是真实状态，所以两个状态都同时是静力可能状态和变形可能状态，且都满足广义虎克定律根据可能功原理（令s=1、k=2）有对于线弹性体，有弹性张量的对称性得即积分后（a）（b）两式的右端相等，相应地左端也应相等，故得到八、证明受均匀内压的厚壁球壳，当处于塑性状态时，用Mises屈服条件或Tresca屈服条件计算将得到相同的结果。平衡方程：竺L.2=0几何方程：；rdrdudr;"r二物理方程：（1+A）（1-24）0一4缺+2氏证明：1、厚壁球壳的弹性应力分布（采用球坐标系）-（1）（1-2丿）-r牛齐2u=0，特征方程为：k2k亠02EB解得：=1_2A_1r3A3-1-21r3引入边界条件：二r|r=a八P1，二r|r£=0可得:最大周向拉应力为:2a3b32b3-a3P2、塑性分析Mises屈服准则：2222（6-02）+（6）=2s口1°2兰sIT