第九章 机械震动

1、1第第 9 章章(Vibration)(9)(Vibration and wave)2 一般地说一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为时间作周期性变化都可以称为振动振动。 振动有机械振动、电磁振动、光振动振动有机械振动、电磁振动、光振动.。本章着重研究机械振动。本章着重研究机械振动。 而振动中最简单最基而振动中最简单最基本最有代表性的是本最有代表性的是简谐振动简谐振动，这将是我们学习的，这将是我们学习的重点。重点。学习中的重点和难点是：学习中的重点和难点是：相相(phase)3一一 .简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 一质点沿一

2、质点沿x轴作直线运动，取轴作直线运动，取平衡位置为坐标平衡位置为坐标原点原点，若质点对平衡位置的位移，若质点对平衡位置的位移(坐标坐标)x随时间随时间t按按余弦变化余弦变化,即即则称质点作则称质点作简谐振动简谐振动(谐振动谐振动)。式。式(9-3)也称为振动也称为振动方程。方程。 上式中上式中: A, , 为谐振动的为谐振动的三个特征量三个特征量,均为均为常量。常量。x =Acos( t+ )(9-3)4 如图如图9-1所示所示,取取平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点，物体对平，物体对平衡位置的位移为衡位置的位移为x时时,所受的弹性力为所受的弹性力为图9-1xmko(平衡位置平衡位置)xkx

3、F (9-1)式中式中:k为弹簧的倔强为弹簧的倔强(劲度劲度)系数系数;负号表示力与位移的负号表示力与位移的方向相反。方向相反。 根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的力学方程是力学方程是22dtxdmmakx ,mk 2 令令xdtxd222 二二 .简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程5xdtxd222 (9-2)上式就是上式就是简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程。 这个方程的解为这个方程的解为 x =Acos( t+ )这正是这正是简谐振动的运动学方程。简谐振动的运动学方程。 注意注意:研究简谐振动时研究简谐振动时,坐标原点只能取在

4、平衡位置坐标原点只能取在平衡位置。平衡位置平衡位置: ox(原长原长)m(平衡位置平衡位置)k图9-2图9-2 00外外外外或或M,F6x =Acos( t+ )四四.谐振动的特征谐振动的特征 22 T(9-12)A 振幅振幅 (对平衡位置最大位移的绝对值对平衡位置最大位移的绝对值)。 角频率角频率 初相初相(t=0时的相时的相)。等幅振动，等幅振动，A不变；不变；周期振动，周期振动，x(t)=x(t+T)。)22( t+ ) 相相(位相，相位，周相位相，相位，周相 )。三三 .三个特征量三个特征量7加速度：加速度：)tcos(Adtda 2kxxmmaF 2 速度：速度：)tsin(Adtd

5、x a = - 2x显然，它们都是谐振动。显然，它们都是谐振动。 运动学特性运动学特性(动力学方程动力学方程), m= A(9-5), am= 2A(9-6) 动力学特性动力学特性k=m 2(9-13)x =Acos( t+ )8( t+ )=0, x=A, =0 正最大正最大( t+ )在第在第1象限象限, x0, 0 ( t+ )=+ /2, x=0, 0 平衡位置平衡位置( t+ )在第在第2象限象限, x0, 0 ( t+ )= , x= -A, =0 负最大负最大( t+ )在第在第3象限象限, x0( t+ )= 3 /2, x=0, 0 平衡位置平衡位置( t+ )在第在第4象限

6、象限, x0, 0 ( t+ )=2 , x=A, =0 正最大正最大)tsin(Adtdx x =Acos( t+ )显然，它们由相位唯一确定。显然，它们由相位唯一确定。五五.质点的振动状态完全由相位确定质点的振动状态完全由相位确定9六六 .振动的超前与落后振动的超前与落后设有两个同频率的谐振动：设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)0, 振动振动x2超前超前x1( 2 - 1) ； 0 0 0a 0 0 0减减速速加加速速减减速速加加速速 AA-A- A- 2A ax、 、a 的位相关系：的位相关系：图9-512x =Acos( t+ )

7、=- Asin( t+ )振动势能：振动势能：221kxEp 振动动能：振动动能：221 mEk 对弹簧振子对弹簧振子(任何一个谐振动也都可以等效为一个任何一个谐振动也都可以等效为一个弹簧振子弹簧振子)，有，有 k=m 2)t(Am 222sin21(9-8)t(kA 22cos21(9-9)=恒量恒量(9-10)221kAEEEpk 总能：总能：13 (1)谐振系统的动能和势能都随时间谐振系统的动能和势能都随时间t作周期性的变作周期性的变化；而且化；而且, 动能和势能的周期为其振动周期的二分之动能和势能的周期为其振动周期的二分之一。一。)t(AmmEk 2222sin2121)t(kAkxE

8、p 222cos2121EkAdtETETpP2141120 (2)平均势能：平均势能：平均动能：平均动能：EkAdtETETkk2141120 221kAEEEpk =恒量恒量 势能最大时势能最大时,动能最小动能最小;动能最大时动能最大时,势能最小势能最小。但系统的但系统的 总机械能守恒总机械能守恒。14(3)振动势能与弹性势能一般是不相同的。振动势能与弹性势能一般是不相同的。,kxEp221 振动势能：振动势能：其中其中x是对平衡位置的位移。是对平衡位置的位移。,kxEp221 弹性势能：弹性势能：其中其中x是弹簧的伸长量。是弹簧的伸长量。221kxEp 振振221)xx(kEop 弹弹例

9、例221kxEEpp 振振弹弹xo(原长原长)(平衡位置平衡位置)xmxomxo(原长原长)(平衡位置平衡位置)x151.解析法解析法： x =Acos( t+ )角频率角频率 由由谐振系统确定。谐振系统确定。mk (9-13)对弹簧振子：对弹簧振子： 顺便指出，顺便指出，弹簧弹簧的串联和并联公式与的串联和并联公式与电阻电阻的串联的串联和并联公式是和并联公式是相反相反。 例如例如:一根倔强系数为一根倔强系数为k的轻弹簧的轻弹簧,减去一半后减去一半后,倔强倔强系数是多少系数是多少?11111kkk kk21 16 振幅振幅A和初相和初相 由由初始条件初始条件(即即t=0时刻物体的运时刻物体的运动

10、状态动状态)来确定：来确定：x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ ) o = - Asin 当当t=0时，时，xo =Acos sinAo 222 ooxA (9-16)ooxtg(9-17)17 例题例题9-1 一质点沿一质点沿x轴作谐振动，周期轴作谐振动，周期T= s, t=0时，时，,mxo2 , s/mo22 求振动方程。求振动方程。解：解：22T2222 ooxA4+ 43mtx)432cos(2得代入：代入：x =Acos( t+ ),xoo1tg 18 例题例题9-2 有一轻弹簧，当下端挂一个质量有一轻弹簧，当下端挂一个质量m1=80g的的物体而平衡时，伸长量为物体

11、而平衡时，伸长量为4.9cm。用这个弹簧和质量。用这个弹簧和质量m2=40g的物体组成一弹簧振子。若取平衡位置为原的物体组成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为点，向上为x轴的正方向。将轴的正方向。将m2从平衡位置向下拉从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度后，给予向上的初速度 o=10cm/s并开始计时，并开始计时，试求振动方程。试求振动方程。解：由解：由 m1g=k x , 得得161 x/gmk202 mk t=0时时, xo=-2cm, o=10cm/s=2.06cmxo oxot=0图9-6m222 ooxA 19oox tg= 0.25 =14.04=0.24 radt=0时

12、时, xo=-2cm, o=10cm/s应取：应取： =0.24 + =3.38 (rad)所求振动方程为所求振动方程为 x =2.06cos(20t+3.38)cm把把 A=2.06cm, =20, =3.38 代入代入 x =Acos( t+ )xo oxot=0图9-6m20 例题例题9-3 如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数簧的倔强系数k=24N/m, 物体的质量物体的质量m=6kg, 静止在平静止在平衡位置。设以一水平恒力衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使向左作用于物体，使之由平衡位置向左运动了之由平衡位置向左运动了s

13、=0.05m, 此时撤去外力此时撤去外力F。取物体运动到左方最远处开始计时，求：取物体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的运物体的运动方程动方程; (2)何处何处Ek=Ep?解解 (1),kASF221 A=0.204,mk2 = x =0.204cos(2 t+ )m振动能量来源于外力的功振动能量来源于外力的功:smFkxo图9-7222 ooxA 21(2)何处何处Ek=Ep?221kAE Ax22 pkEE 22kxEp ( A=0.204)m144. 0smFkxo图9-722 例题例题9-4 在一竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量在一竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量m=100g的物体的物

14、体,当物体处于平衡状态时当物体处于平衡状态时,再对物体加再对物体加一拉力使弹簧伸长一拉力使弹簧伸长,然后从然后从静止状态将静止状态将物体释放。已物体释放。已知物体在知物体在32s内完成内完成48次振动，振幅为次振动，振幅为5cm。 (1)上述的外加拉力是多大？上述的外加拉力是多大？ (2)当当物体在平衡位物体在平衡位置以下置以下1cm处时，此振动系统的动能和势能各为多处时，此振动系统的动能和势能各为多少？少？ 解解 (1)xomlo(原长原长)(平衡位置平衡位置)图9-8 设物体在平衡位置时弹簧伸设物体在平衡位置时弹簧伸长长lo，有有 mg=klo513248. 222)(mmk 23,.51

15、3248 加拉力加拉力F后的平衡条件：后的平衡条件：222)(mmk F+mg=k(lo+A)F=kA=0.444NFmgAxomlo(原长原长)(平衡位置平衡位置)图9-8222 xA 知弹簧此时又伸长知弹簧此时又伸长x=A加拉力加拉力F后将物体后将物体静止静止释放释放,此时弹簧又伸长多少此时弹簧又伸长多少?mg=klo , m=100g , A=5cm=5cm。F?24 (2)当当物体在平衡位置以下物体在平衡位置以下1cm处时，此振动系统处时，此振动系统的动能和势能各为多少？的动能和势能各为多少？总能总能:221kAE =4.4410-4J势能势能:221kxEp =1.1110-2J动能

16、动能: Ek=E-Ep=1.0710-2J,xA 求出求出或用或用222 221 mEk xomlo(原长原长)(平衡位置平衡位置)A,.513248 222)(mmk mg=klo , m=100g , A=5cm252.旋转矢量法旋转矢量法oM =A负最大负最大 ( )平衡位置平衡位置(+ /2)平衡位置平衡位置(- /2) 矢量矢量oM绕绕o点以角速点以角速度度 作作逆时针逆时针的的匀速匀速转转动动, 端点端点M在在x轴上的投轴上的投影点影点(p点点)的位移：的位移： x =Acos( t+ ) 显然，显然，p点的运动就点的运动就是简谐振动。是简谐振动。 矢量矢量oM与与x轴正方向轴正方

17、向间的夹角：间的夹角：( t+ ) 相相正最大正最大 (0)x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )MA图9-9ox oM转一圈转一圈,就是谐振就是谐振动的一个周期动的一个周期T 。( t+ )px26ox例题例题9-5 求简谐振动质点的初相求简谐振动质点的初相 。(1)t=0时，时，xo=-A, = 。 (2)t=0时，质点经过平衡时，质点经过平衡位置正向位置正向x轴正方向运动轴正方向运动, 则则 = 3 /2(或或- /2)。 (3)t=0时，时， xo=A/2，质点，质点正向正向x轴负方向运动轴负方向运动, 则则 =xo =Acos (4)t=0时，时， 质质点正向点正向x

18、轴正方向运动轴正方向运动, 则则 =,Axo22 /3。A平衡位置平衡位置5 /45 /4。 /327 例题例题9-6 一质量一质量m=9kg质点质点, 在力在力 (N)的作用下沿的作用下沿x轴运动。当轴运动。当t=0，xo=0; t=1s, =-2m/s, 求求运动方程。运动方程。xF42 解解 质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。由由, xF42 ,k42 知知6 mk,xAoo222 oox tg要想直接用下述公式求要想直接用下述公式求A、 是困难的：是困难的：,T=12s。28于是：于是：)26cos(tAx)t(Adtdx26sin6 t=1,

19、 2)26sin(6A38 A最后得：最后得：mtx)26cos(38 由由t=0, xo=0， 知知 = /2；又因又因T=12s, t=1s, =-20, 所以所以 =+ /2。 我们可利用旋转矢量先求出初相。我们可利用旋转矢量先求出初相。 已知已知:t=0，xo=0; t=1s, =-2m/s29 例题例题9-7 一轻弹簧在一轻弹簧在60N的拉力下伸长的拉力下伸长30cm 。在弹簧在弹簧的下端的下端悬挂悬挂m=4kg的物体并使之静止，再把物体向下拉的物体并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，求，然后由静止释放并开始计时，求:(1)物体的振动物体的振动方程方程;(2

20、)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时时弹簧对物体的拉弹簧对物体的拉力力;(3)物体从第一次越过物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上平衡位置时刻起到它运动到上方方5cm处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。解解：由：由 F=k x , 得得:25 m/k (1)t=0时时, xo=-0.1m, o=0=0.1mxoxot=0图9-10m, = )m25cos(10 t.xx/Fk =200222 ooxA 30(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时时弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力;oklmg )4200(kgm,k 所以平衡时所以平衡时弹簧的伸长量：弹簧的伸长量：

21、lo=0.196m弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力: F=k(lo-0.05)=29.2N (3)物体从第一次越过物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到平衡位置时刻起到它运动到上方上方5cm处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。 tA= 10cm, 25 平衡条件平衡条件:s.0740 6 25A23 xoxot=0图9-10mxt=031 例题例题9-8 一质点作简谐振动，一质点作简谐振动，T=2s, A=0.12m, t=0时，时，xo=0.06m, 向向x轴正方向运动，求：轴正方向运动，求： (1)振动方程；振动方程； (2)t=0.5s时的速度和加速度；时的速度和加速度； (3)在

22、在x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻的轴负方向运动时刻的速度和加速度和加速度速度; (4)从从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻回到平衡位轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。置所需的最短时间。解解 (1) x=0.12cos( t )m3(2)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx -0.19 (m/s)-1.03(m/s2)t= 0.5t= 0.532 (3)在在x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻的轴负方向运动时刻的速度和加速度和加速度速度:)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx 32ox2A32

23、将相位代入得：将相位代入得：)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx =-0.33(m/s)=0.59(m/s2)。)3(t关键是找出相位：关键是找出相位：33 (4)从从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻回到平衡位轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间：置所需的最短时间：旋转矢量转过的角度：旋转矢量转过的角度：653223旋转矢量转动的角速度：旋转矢量转动的角速度： = 旋转矢量转动过程所用的时间：旋转矢量转动过程所用的时间：st65 这就是谐振动质点从这就是谐振动质点从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短

24、时间。刻回到平衡位置所需的最短时间。 x=0.12cos(3 t )mox2A3234 例题例题9-9 一质点一质点 在在x轴上作简谐振动轴上作简谐振动,t=0时该质点正时该质点正通过通过A点并向右运动，经过点并向右运动，经过2s质点第一次通过质点第一次通过B点，再点，再经过经过2s质点第二次通过质点第二次通过B点，若质点在点，若质点在A、B两点的速两点的速率相同，且率相同，且AB=10cm，求质点的振动方程。，求质点的振动方程。 解解 由于由于 A、B两点的速率相同，两点的速率相同，所以坐标原点应在所以坐标原点应在AB的中点，因的中点，因为只有对坐标原点为只有对坐标原点o对称的两点速对称的两

25、点速率才是相同的。率才是相同的。 因因t=0时，质点正通过时，质点正通过A点并点并向右运动，所以向右运动，所以t=0时的旋转矢时的旋转矢量应在第三象限。量应在第三象限。t=0t=2t=4 从从t=0开始，经过开始，经过2s质点第一次通过质点第一次通过B点，点，再经过再经过2s质点第二次通过质点第二次通过B点。点。 由旋转矢量图可由旋转矢量图可知，周期知，周期T=8s。BxA.o3542 T 由于周期由于周期T=8s，所以从，所以从t=0到到t=2s，旋转矢量应转过，旋转矢量应转过90。可见，可见， t=0时的旋转矢量与时的旋转矢量与y轴轴负方向成负方向成45。由图可知，初相由图可知，初相 =5

26、 /4。 因因OA=5cm, 由等腰直角三由等腰直角三角形角形OAC可求出振幅：可求出振幅：(cm)255522 A振动方程为振动方程为)cm454cos(25 tx45BAxt=0t=2t=4CoA363.曲线法曲线法cos8 . 0 x(t )m2oxt=01x(m)ot(s)0.837cos6x( )cmt1253oxt 65 ,t=2125 /363t=02x(cm)ot(s)6338oxt=0 x=8cos( )cm43t43t, A22 /443 ,t=143 1x(cm)ot(s)824 t=0,24 oxA22 39 m = A= , A=2.4ox sin2mm t 125

27、x = cos( )m2.465t1252 (m/s)ot(s) 2t=0,)sin(tmt=05 640 前面已指出，角频率前面已指出，角频率 和周期和周期T由由谐振系统确定。谐振系统确定。那么，给定谐振系统后又如何确定那么，给定谐振系统后又如何确定 和和T？方法是利用谐振动的运动学特性方法是利用谐振动的运动学特性(动力学方程动力学方程)：2T 若能找出若能找出a与与x(或或 与与 )之间的关系，角频率之间的关系，角频率 就就等于上式中等于上式中x(或或 )的系数的平方根。而周期的系数的平方根。而周期对转动对转动：xdtxda222 dtd222 41 例题例题9-10 一光滑斜面上的弹簧振

28、子，已知一光滑斜面上的弹簧振子，已知m , k , 证明它作谐振动，并求出周期。证明它作谐振动，并求出周期。 解解 (1)找出平衡位置找出平衡位置:(2)将物体将物体m对平衡位置位移对平衡位置位移x；(3)沿斜面方向应用牛二定律：沿斜面方向应用牛二定律： mgsin -k(x+xo )=ma -kx = maxmka ,mk 2 Tkm 2 xa2 比较：比较：是谐振动。是谐振动。(T与倾角与倾角 无关无关)ox建立坐标；建立坐标；mgsin =kxo ，xok图9-11m mx42 例题例题9-11 一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水深度为深度为h(水面

29、下的木块高度水面下的木块高度)，求振动周期求振动周期T=？ 解解 设木块的质量为设木块的质量为m、边长为、边长为b, 则平衡条件为则平衡条件为 mg= 水gb2h建立图示坐标，建立图示坐标，由牛二定律有由牛二定律有令木块位移令木块位移x, 水gb2(h-x)-mg=ma即即 - 水gb2x =ma,hmb12 水水 xhga ,hg ghT 22 比较：比较： a=- 2xox图9-12hx43 例题例题9-12 求图示圆盘、弹簧系统的振动周期求图示圆盘、弹簧系统的振动周期 , 图图中中k、J、R、m为已知。为已知。 解解 平衡条件平衡条件: kxo=mg，ox令令m位移位移x, 则则mg-T

30、1= maT1 R-T2R =J T2 =k(xo+x)a=R 解得解得：xRJmka22RJmk 2 T比较：比较： a=- 2xmT1图9-13RJkT244 例题例题9-13 角谐振动角谐振动 刚体在竖直面内作刚体在竖直面内作微小微小振动振动 , 设刚体的质量为设刚体的质量为m、转动惯量为、转动惯量为J、质心到转轴的距、质心到转轴的距离为离为hc，求振动周期。，求振动周期。 解解 由由M=J , 有有 -mghcsin =J 当当 很小很小( 5)时时, sin , 于是于是 Jmghc 比较比较： ,Jmghc cmghJT 2 )cos(tm 图9-14hcoCmg 222 dtd4

31、5当当 5时，时，cmghJT 2 mglmlT22 gl 2 23122lmgmlT gl322 细棒细棒oloT=?如：单摆如：单摆l46一一.同频率平行同频率平行谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动利用三角公式或旋转矢量可求得合振动: x= x1+x2= Acos( t+ ) (1)可见，合振动仍是同频率的谐振动。可见，合振动仍是同频率的谐振动。 (2)合振动的振幅和初相合振动的振幅和初相

32、, 用旋转矢量求得用旋转矢量求得:47 由余弦定理，合振动的振幅为由余弦定理，合振动的振幅为22112211coscossinsintg AAAA (9-26)合振动的初相：合振动的初相：M1A1 1 1MA2xoA A2 2 2M2)(cos212212221 AAAAAx= x1+x2= Acos( t+ ) x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )( ( 2-2- 1 1) )图9-15( ( 2-2- 1 1) ) 2 2A1cos 1A2cos 2A1sin 1A2sin 2(9-25)cos(212212221 AAAAA48 (3)合振动的强弱合振动

33、的强弱,取决于两分振动的相位差：取决于两分振动的相位差： = 2 - 1=2k , k=0, 1, 2, , A=A1+A2 , 加强加强=(2k+1) , k=0, 1, 2, , A=|A1-A2 |, 减弱减弱. . . . . .= x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )x= x1+x2= Acos( t+ )22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAA49 解解 合振动方程合振动方程：x =Acos( t+ ) 例题例题9-14 设设分振动：分振动： x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0

34、.4cos( t+ )cm， 求合振动方程。求合振动方程。2方法一方法一:旋转矢量旋转矢量x0.40.3A 50403022.A 434030tg . =36.86=0.64rad = - =2.5 合振动方程合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm50=0.543 =-36.86=-0.64rad=-0.64+ =2.5rad 合振动方程合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm已知：已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= x0.4 A-36.860.3方法二方法二: 公式法公式法 x1 =0.3cos( t+ )cm x2 =0.4cos( t+

35、 )cm 222112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAA51例题例题9-15 设设分振动：分振动： x1 =0.4cos(2 t+ /3 )cm, x2 =0.6cos(2 t-2 /3 )cm，求合振动方程。求合振动方程。 = /3 解解 已知：已知：A1=0.4, A2=0.6, 1= /3, 2=-2 /3=0.23 xx1 /3x2-2 /3+ =5 /3=-2 /3x1与与x2是反相的！是反相的！ 合振动方程合振动方程： x =0.2cos(2 t-2 /3 ) cm22112211coscossinsintg AAAA )cos(

36、212212221 AAAAA52 例题例题9-16 t=0时，时， x1 和和 x2的的振动曲线如图所示，振动曲线如图所示，求合振动方程。求合振动方程。 解解 由图由图9-16可知，可知，x1与与x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅: A= 0.12- 0.08=0.04; 合振动的初相合振动的初相: =- /2 (振幅大的分振动的初相振幅大的分振动的初相) 合振动的角频率：合振动的角频率： =2 /T= 合振动方程合振动方程： x =0.04cos( t- /2 ) mx2x(m)t(s)x10.120.08o图9-16153 例题例题9-17 两个同方向、同频率的谐振动合成后，

37、合两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅振幅A=20cm, 合振动与第一个振动的相差为合振动与第一个振动的相差为 /6, A1=17.3cm, 求：求：(1)A2=? (2)两两振动的相差振动的相差( 2 - 1)=?A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo图9-17=10cm 此题宜用旋转矢量法求解。此题宜用旋转矢量法求解。6cos212122 AAAAA 由图由图9-17, 用余弦定理得：用余弦定理得：A2 2 2 解解 直接用下述公式是无法求解的：直接用下述公式是无法求解的：22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAA54用正弦定

38、理有：用正弦定理有：6sin)(sin212AA 因因A=20, A2=10, 由上式由上式可可求出：求出：2)(12( ( 2-2- 1 1) )A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo图9-17A2 2 255二二.不同频率平行不同频率平行谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1 =Acos( 1 t+ ) x2 =Acos( 2t+ )， 且且 1 与与 2相差很小。相差很小。 合振动：合振动： x= x1+x2= )tcos(tcosA 2222112 由于由于 1 与与 2相差很小相差很小,故故 1 - 2比比 1 + 2小得多小得多; 即即t2cos12 比比 的周期长得多

39、的周期长得多！t2cos12 所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动振动拍拍:,tAxo)2cos(21 tAAo2cos212 56显然，拍频显然，拍频 (振幅振幅Ao的变化频率的变化频率)为为 拍拍 = 2 - 1 (9-31) tAAo2cos212 xt图9-1857三三.振动的频谱分析振动的频谱分析 实际的振动不一定是实际的振动不一定是谐振动，但不管它多么谐振动，但不管它多么复杂，总可以分解为许多复杂，总可以分解为许多谐振动的叠加。谐振动的叠加。 利用傅里叶变换，我们可以求出实际振动的利用傅里叶变换，我们可以求出实际振动的频频谱谱。这是信号分析、处理和数字化的基础。这是信号分析、处理和数字化的基础。垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 x =A1cos( t+ 1 ) y =A2cos( t+ 2 )从上两式中消去从上两式中消去t, 就得到合振动的轨迹方程为就得到合振动的轨迹方程为)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx(9-34) 在一般情况下在一般情况下,这是一个椭圆方程。这是一个椭圆方程。一一.同频率垂直谐振动的合成同频率垂直谐振动的合成58)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx(9-34) (1)当当