专题：平面向量常见题型与解题指导

1、平 面 向 量 常 见 题 型 与 解 题 指 导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题， 掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学

2、，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1. 以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题2. 以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主3. 向量在空间中的应用 （在 B 类教材中）.在空间坐标系下， 通过向量的坐标的表示， 运用计算的方法研究 三维空间几何图形的性质在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了

3、向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行 考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化 运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类 是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的

4、平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种 运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐 标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思 想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是 重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运 算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件例

5、 1 :已知a是以点A(3, 1)为起点，且与向量b= ( 3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是a思路分析：与a平行的单位向量e=-|a|134与向量b= (-3,4)平行的单位向量是土一 (-3,4)，故可得a= (-,)，从而向量a的终点坐标是555(x,y)=a (3, 1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念例 2:已知|a|=1,|b|=1 ,a与b的夹角为 60 ,x=2ab,y=3ba,则x与y的夹角的余弦是多少? 思路分析：要计算x与y的夹角0，需求出|x|,|y

6、|,xy的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1 ,a与b的夹角a为 60要计算x与y的夹角0，需求出|x| , |y| ,xy的值.2 2 2 2 21/ |x| =x=(2ab) =4a4ab+b=44x+1=3,22 2 2 2 21|y| =y=(3ba) =9b6ba+a=96x+1=7.2xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab=7ab2a23b2=7x - 23=-,223v 21又Txy=|x|y|cos0,即一 一=. 3x, 7 cos0,/cos0=-214点评： 本题利用模的性质|a|2=a2，在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法

7、的几何意义获得: 如图所示，设AB=b,AC=a,AD=2a, /BAC60 .由向量减法的几何意义， 得BD=ADAB=2ab.由余弦定理易得|BD|=. 3，即|x|=. 3，同理可得|y|=7.112118x =J5或x，故填19y =-y =-55(12，-1)或(18，- 9)5555方法设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知方法1ab=|a|b|cosa =2题型二：向量共线与垂直条件的考查例 1.平面直角坐标系中，0 为坐标原点，已知两点A(3, 1) , B( 1,3),若点 C 满足OC =： OA：OB, 其中:-,-R 且:.+ 一： =1，

8、求点 C 的轨迹方程。.解：(法一)设C(x,y)，则OC=(x,y)，由OC=(x,y)=a(3,1)+B(-1,3)=(3a-B,a+3B)(法二)禾U用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知: 迹方程即为直线 AB 的方程x+ 2y 5=0,例 2.已知平面向量 a= (. 3, 1), b=(丄，、3).(1) 若存在实数k和t,便得x= a+ (t2 3) b,y=ka2+tb，且x丄y，试求函数的关系式k = f(t) ； (2)根据(1)的结论，确定 k = f(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式 k=f(t)，只需找到 k 与 t 之间的等量关系，k 与

9、t 之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？t -2,3 - 3 3t - 2. 3 - 2解牛：(1)法：由题意知x=(,),2 21, 3y= (t .3k, t + k)，又x丄y22+存上2_2胎-3/1,G.、J3t2_2A/3-2/,、故xy=x( t. 3k)+x(t+k)=0.222 213整理得：t3 3t 4k= 0,即 k = t3 t.44法二：a=(罷,1) , b = ( , ),.a= 2,b= 1 且 a_L b2213/x丄y,.xy= 0，即一 ka2+ t(t2 3)b2= 0,. t3 3t

10、 4k = 0,即 k = t3 t44133333(2)由(1)知：k = f(t) = t t kx=厂(t)= t ,4444令 k 0 得1vtv1 ；令 k / 0 得 tv 1 或 t 1.故 k = f(t)的单调递减区间是(一 1, 1 )，单调递增区间是(一8,一 1)和(1，+m).点评：第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方

11、法，这是新旧知识交汇点处的综合运用-1、3-例 3:已知平面向量a= (. 3, 1) ,b=(,),若存在不为零的实数k 和角a,使向量C=a+ (sin2 2.= 3a - B y =a+3P(可从中解出(X、B)又T a+B=1 消去a、B得x+2y-5=0A, B, C 三点共线，故点 C 的轨a 3)b,d= ka+ (sina)b,且C丄d，试求实数 k 的取值范围.1329解：由条件可得：k =( sina),而一 1wsina w1,42161当 sina=1 时，k 取最大值 1; sina= 1 时，k 取最小值 .21又 2 0 k 的取值范围为,0)U(0,1.2点拨与

12、提示：将例题中的 t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果, 不等式综合运用能力例 4:已知向量a =(1,2), b = (f；21)，若正数 k 和 t 使得向量21 = a (t - 1)b与y =-kab垂直，求 k 的最小值.t解：x _ y = x y二0即a (t21)b (-ka ” b) = 022t * 1212=-kab a b - k(t 1)a b = 0tt-a =(1,、2),b=(-.、2,1), |a|=. 3, |b|= .32a b= 2+2,代入上式3k + 31=t1_ 2tt1当且仅当 t=1，即 t=1 时，取“=”号，即k 的最小值是 2.t

13、题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例 7.设函数 f (x) = a b，其中向量 a= (2cosx, 1), b= (cosx,3sin2x),x R. (1 )若 f(x) = 1 , 3的图象，求实数 m n 的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能,解：(1)依题设，f(x)= =(2cosx,1) (cosx,. 3sin2x) = 2cos2x+ 3sin2x= 1 + 2sin(2x+ -)6由 1 + 2si n(2nx-6)=1、3

14、,得 si n(2nx+6)=-仝2JIJIJI5二nn.一 一 w5 - w2x+w 2x+=,即x=.33266634(2)函数y= 2sin2x的图象按向量 c =( m, n )平移后得到函数y= 2sin2(x m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象.JIjtv ,- m=-, n= 1.很好地考查了向量与三角函数、且x,，求x； ( 2)若函数y= 2sin2x的图象按向量33 )平移后得到函数2y= f(x)JI由(1)得f (x)=2sin2(x初1m212点评： 把函数的图像按向量平移，可以看成是C 上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是 c，明确了以上

15、点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径一般地，函数y= f (x)的图象按向量 a= (h, k)平移后的函数解析式为y k = f (x h)、例 8:已知a= (cosa,sina),b=(cos3,sin3) (0a3n) , (1)求证：a+b与a-b互相垂直；(2)若ka+b与a-kb的模大小相等(kR且k工 0)，求3a解：(1) 证法一：Ta= (cosa,sina) ,b= (cos3,sin3) a+b=(cosa+cos3 ,sina+sin3 ),a-b=(cosa-cos3 ,sina-sin3 )/ (a+b)(a-b)=(cosa+cos3

16、,sina+sin3 ) (cosa-cos3 ,sina-sin3 )2 2 2 2=cosa-cos3+sina-sin3=0(a+b)丄(a-b)证法二：/a= (cosa,sina) ,b= (cos3,sin3) |a| = 1, |b| = 12222 (a+b) (a-b)=a-b=|a| -|b| =0 (a+b)丄(a-b)证法三：/a= (cosa,sina) ,b= (cos3,sin3) |a| = 1, |b| = 1,记OA=a,OB=b,则 |OAI = |OB|=1,又a M 3 ,O A B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA OB为邻边的平行四边

17、形OACB是菱形，其中OC=a+b,BA=a-b, 由菱形对角线互相垂直，知(a+b)丄(a-b)(2)解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,2222又T|ka+b|=(kcosa+cos3) +(ksina+sin3) =k+1+2kcos(3 a),2222|ka+b|=(cosa-kcos3) +(sina-ksin3) =k+1-2kcos(3 a),2kcos(3 a)= -2kcos(3 a)又kM0- cos(3 a)=0-0a3n - -03 an ,- - 3 a=2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方

18、法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量 运算的几何意义来证明题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。例 9:设 G H 分别为非等边三角形 ABC 的重心与外心，A(0 , 2) , B (0, 2)且GM VAB(入 R).(I)求点 C(x,y)的轨迹E 的方程；(H)过点(2 , 0)作直线 L 与曲线 E 交于点 M N 两点，设OP = OM ON, 是否存在这样的直线 L,使四边形 OMPI是矩形？

19、若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由思路分析：(1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系( 2)根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得 k 的值.2 24k248k22X1X25(X1X2) 2-5-2-8=0,4k +1 4k +1I 22例 11：给定抛物线 C:y= 4x, F 是 C 的焦点，过点 F 的直线I与 C 相交于 A、B 两点.设I的斜率为 1,求OA与OB夹角的余弦。解：C 的焦点为 F (1, 0),直线I的斜率为 1,所以I的方程为y=x 1, 将y=x 1 代入方程y2=4x，并整理得x2 6x+ 1= 0设 A (X1,y1) ,

20、B(X2,y2),则有X1+X2= 6,X1X2= 1,解：(1)由已知得G(x,-),3 3又G = AB , H(-,0)32 CH=HA (X _ -)2y2= (-)24即33122-1(x=：2、.3)4(2)设I方程为y=k(x-2)，代入曲线 E 得(3k2+1)2 2 2x-12k x+12(k -1)=0沁小12k2设N(X1,y1),M(X2,y2)，贝yX1+X2=2,3k+1X1X2=12(k2-1)3k21/ om =ONOM,四边形 oMPt 是平行四边形.T T若四边形 OMP!是矩形，贝y ON _OM2 2 212(k -1) , 2z12(k -1)24kX1X2+y1y2=02k (223k +13k +13k +1直线 I 为：y=y = - ,3(x-2)点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题2例 10:已知椭圆方程 y2=1，过 B ( 1, 0)的直线I交随圆于4C、D 两点，交直线x= 4 于 E 点，B、E 分CD的比分入1、入2.求证：入1+入2= 0解：设I的方程为y= k(x