2020-2021学年北师大版必修12.5简单的幂函数学案

1、5 简单的幕函数 1猱前基讯於 gw 梳理知识 学习目标| 了解幕函数的概念；了解函数的奇偶性的含义. 费Ml识植理 1. 幕函数：如果一个函数，底数是 自变量 x,指数是常量a即 y=xa,这 样的函数称为幕函数. 练一练： 下列函数中，不是幕函数的是( ) A. y= 2x B. y=x 1 C. y= x D . y=x2 答案：A 2. 奇函数：一般地，图像关于 原点对称的函数叫作奇函数.在奇函数 f(x) 中，f(x)和 f(- x)的绝对值相等，符号相反，即 f(x)二一 f(X);反之，满足 f(x)= f( x)的函数 y=f(x) 定是 奇函数. 练一练： 函数 y= f(x

2、)，x 1, a(a 1)是奇函数，贝 U a 等于( ) A. 1 B . 0 C. 1 D .无法确定 解析：奇函数的定义域关于原点对称，二 a= 1. 答案：C 3. 偶函数： 一般地， 图像关于 诅对称的函数叫作偶函数.在偶函数 f(x) 中， f(x)和 f( x)的值相等，即 f(x) = f( x);反之，满足 f(x) = f( x)的函数 y=f(x) 一定是偶函数. 练一练： 下列条件，可以说明函数 y= f(x)是偶函数的是() A .在定义域内存在 x 使得 f( x) = f(x) B. 在定义域内存在 x 使得 f( x)二一 f(x) C 对定义域内任意 x,都有

3、 f( x)二f(x) D.对定义域内任意 x,都有 f( x) = f(x) 答案：D 4当函数 f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有 奇偶性. 练一练： 函数 f(x) = x2 + ,；x 的奇偶性为( ) A .奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 解析：由 x0 得 f(x)的定义域为0, +x),定义域关于原点不对称， f(x)为非奇非偶函数. 答案：D 5. 所有的幕函数在(0, )上有定义,并且图像都过点(1, 1),当a0 时, 幕函数的图像还过点(0, 0)， 并且在区间(0,+ )上是递增的； 当 a0 时， 幕 函数在区间(0,+x )

4、上是递减的. 6. 几种常见幕函数的性质 函数 y= x y= x2 y= x3 1 y= y=x1 定义域 R R R 0 ,+x) x2 0 值域 R 0 ,+x) R 0 , +x) yg 0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x 0 ,+x) 时，增 增 增 x (0 , +x) 时,减 x ( x, 0 时，减 x ( x , 0) 时,减 1. 如何理解幕函数的概念? 答：(1)幕函数 y=xa中自变量是底数 x,而指数a为常数，一般只研究 1 -1, 1, 1, 2, 3 时的情况，几个常见幕函数的图像如图. (2) 只有形如 y=xa的函数才是幕函数，而 y= (2

5、x)a, y= 3xa, y= xa+ 1 等形 式的函数不是幕函数. (3) 当指数a取值不一样时，幕函数的定义域也不一样. 2. 怎样理解函数的奇偶性？ 答：(1)奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域内每一个 x 的值，都 有 f( x)=- f(x)(或 f(- x) = f(x),才能说 f(x)是奇函数(或偶函数). 若奇函数 y=f(x)在 x= 0 处有定义，则 f(0)= 0. (3) 函数 f(x)= 0, x R 既是奇函数又是偶函数. (4) 如果一个函数是偶函数，则它的图像是以 y 轴为对称轴的轴对称图形； 反之，如果一个函数的图像关于 y 轴对称，则这个函数是偶函

6、数. 3. 用定义判断函数奇偶性的一般步骤是什么？ 答：(1)确定定义域，判断定义域区间是否关于原点对称. (2) 计算 f(- x)并变形得出与 f(x)之间的关系. (3)下结论. 2澡蹙互动搽电 规律总结1 题型, 已知函数 y= (a2 3a + 2)xa2 5a + 5(a 为常数). (1) a 为何值时此函数为幕函数？ a= (2) a 为何值时此函数为正比例函数? (3) a 为何值时此函数为反比例函数? 【解】(1)由题意得a 3a + 2= 1,即a 3a + 1= 0, a = 35 (2)由题意知 (3)由题意知 a2 5a + 5 = 1, 2 a= 4. a 3a

7、+ 2 工 0, a2 5a + 5 = 1, a? 3a + 2 工 0, a= 3. 【方法总结】 幕函数中，x 的指数为常量，且为实数.含 x 项的系数是 1. 一般情况可由不等式(组)求解. | 1 I 函数 f(x) = (m2 m 1)xm2+ m 3 是幕函数，且当 x (0, + x)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式. 解：根据幕函数定义得 m2 m 1 = 1,解得 m= 2 或 m= 1, 当 m= 2 时，f(x) = x3在(0,+x)上是增函数； 当 m= 1 时，f(x) = x 3在(0,+x)上是减函数，不合要求.故 f(x) = x3. 壽函数的图像

8、和性质 理注 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性，并作出函数图像. (1) y=x4； (2) y=x3. 【解】(1)y= x4= 4x. 定义域：0 ,+x )；值域：0 ,+x ). 1 (2) y=x3= 3x, 定义域：R; 值域：R. 1 定义域关于原点对称，设 y= f(x) = x3 1 1 1 f( x)= ( X)3 = 【方法总结】 幕函数 y=xa,随a取值不同，定义域，值域会发生变化.作 图时要标出关键点坐标，如(1, 1), (0, 0), 一般先作出第一象限内图像，再利 用奇偶性作其他图像. 八有四个幕函数： f(x) = x 1; f(x) = x 2; f(x

9、) = x3; f(x) 1 二 X3某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数； 值域是y|y R,且 yM0;在(X, 0)上是增函数如果他给出的三个性质 中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( ) B C. 解析：函数 f(x) = x1是奇函数，值域是y|y R,且yM0,在(0)上 是减函数； 函数f(x)二x2是偶函数， 值域是y|y0,在(X, 0)上是增函数； 函数 f(x) = x3是奇函数,值域是 R,在(一, 0)上是增函数；函数 f(x) = x3是奇 函数，值域是 R,在(X, 0)上是增函数. 答案：B 奇偶性的判定 理汇判断下列函数是

10、否具有奇偶性. (1) f(x) = x3 + 2x; (2) f(x)= 2x4 + 3x2; D (3) f(x) = x3 + x2; (4) f(x)= 0； (5) f(x)= ,x- 1 + ； 1 - x. 【解】 函数的定义域为 R，它关于坐标原点对称，又 f( x) = ( x)3+ 2(- x) = x3 2x= (x3+ 2x), 即 f(- x) = f(x), 所以函数 f(x) = x3 + 2x 是奇函数. (2) 函数的定义域为 R，它关于坐标原点对称， 又 f( x) = 2( x)4 + 3( x)2= 2x4 + 3x2， 即 f( x) = f(x)，

11、所以函数 f(x)= 2x4+ 3x2为偶函数. (3) 函数的定义域为 R，它关于坐标原点对称， 但 f( x) = ( x)3+ (x)2= x3 + x2与一 f(x)和 f(x)都不相等，所以 f(x) = x3+ x2为非奇非偶函数. (4) 函数的定义域为 R，它关于原点对称， 因为 f( x) = 0, f(x) = 0,即 f( x)= f(x)， f( x)= f(x)同时成立， 所以 f(x) = 0 既是奇函数又是偶函数. (5) v定义域为1，它不关于原点对称， f(x)为非奇非偶函数. 【方法总结】判断函数奇偶性时，首先确定定义域区间是否关于原点对称， 再判断 f(

12、x)与 f(x)的关系函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要 条件. 疵宀?二浓 I (1)判断下列函数的奇偶性： f(x) = x3 + 3x，x 4，4); 1 f(x)=-； f(x)=|x 2|- |x+ 2|; f(x)= x 1 ,x+ 1. 2 x + 1, x0, (2)判断函数 f(x)= 2 的奇偶性. X2 1, XV0 解：(1)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在 4 4, 4), 而 4? 4, 4). 所以，函数 f(x) = x3+ 3x, x 4, 4),既不是奇函数也不是偶函数. 因为函数的定义域为( , 0)U (0,+)，定义域关于坐标原点对

13、称， 11 1 且对任意的 x(xM0)有 f( x)= =-=f(x),所以，函数 f(x)= -是奇函数. x x x 函数的定义域为实数集 R，定义域关于坐标原点对称因为 f( x)二| x 2| x+ 2 匸 |x+ 2| x 2|= (x 2| |x+ 2|)= f(x), 所以，函数 f(x) = |x 2| |x+ 2|是奇函数. 函数的定义域为1 , +),由于 f(x)的定义域关于坐标原点不对称，故 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数. (2)任取 x0,则xv 0. f(x)= (x)2 1= x2 1 = ( x2 + 1)= f(x), 任取 xv 0,则x0. f(x

14、)= ( x)2+ 1 = x2 + 1 = (x2 1)= f(x), 对 x ( , 0) U (0 ,+x)都有 f( x) = f(x)成立. f(x)为奇函数. 理豐定义在2, 2上的奇函数？(x)在区间0, 2上是减函数，若 ?(m) + ?(m1)0，求实数 m 的取值范围. 【错解】 T ?(m) + ?(m 1)0,二?(m) ?(m 1).又？(x)是奇函数，二 ?(m 1) = ?(1 m), A ?(m)?(1 m).又：?(x)在区间0, 2上是减函数，且在 1 2, 2上是奇函数，A ?(x)在区间2, 2上也是减函数，A m1 m,A m0，得 ?(m) ?(m 1)，即 2 2 称，可排除 A、D;由于 031 时，y= x3x,故选 C.2 m?(1 m),. 2 m 1 2, m1 2 m 2, K m 3, 1 m2, 1 K m0 时，幕函数在（0, + ）上单调递答案：A 2 3 .函数？（x） = x3的图像是（ 知识点一算函数的图像和性质 C. 5 D. 6 y 轴对 解析：？（x） = 答案：C 知识点二函数前奇偶性 4如果定义在区间3 a, 5上的函数 f(