MATLAB第九讲符号运算(续)

1、 在前面讨论过求和函数sum，sum处理的级数是有穷级数。对于无穷级数求和，sum是无能无力的。求无穷级数的和需要使用符合表达式求和函数symsum。1. 级数的符号求和级数符号求和函数symsum，调用格式为：symsum(a,n,n0,nn)级 数 例1 求级数之和。(1) 常数项级数常数项级数n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求s1s1 =pi2/6(2) s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和变量，缺省为ns2 = log(2)21116191411nsnsn1) 1(413121112(3) 函数项级数函数项级数

2、s3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求s3。此处的求和变量n不能省略。s3 = piecewise(abs(x) A=1 2 1; 1 0 1; 1 3 0; b=2;3;8; x=linsolve(A,b)22338xyzxzxy b是列向量！是列向量！非线性方程的非线性方程的根根q Matlab 非线性方程的数值求解非线性方程的数值求解fzero(f,x0)：求方程求方程 f=0 在在 x0 附近的根。附近的根。l 方程可能有多个根，但方程可能有多个根，但 fzero 只给出距离只给出距离 x0 最近的一个最近的一个l fzero 先找出一个包含先找出一个包含 x0 的区间，

3、使得的区间，使得 f 在这个区间在这个区间两个端点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程两个端点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程 f=0 的根；如果找不到这样的区间，则返回的根；如果找不到这样的区间，则返回 NaN。l x0 是一个标量，不能缺省是一个标量，不能缺省l 由于由于 fzero 是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因此它无法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如此它无法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如 |sin(x)| 的所有零点。的所有零点。非线性方程的非线性方程的根根q fzero 的另外一种调用方式的另外一种调用方式f

4、zero(f,a,b)l 方程在方程在 a,b 内可能有多个根，但内可能有多个根，但 fzero 只给出一个只给出一个l 求方程求方程 f=0 在在 a,b 区间内区间内的根。的根。q 参数参数 f 可通过以下方式给出：可通过以下方式给出：l fzero(x3-3*x+1,2); l f=inline(x3-3*x+1); fzero(f,2)l fzero(x)x3-3*x+1,2);l f 不是方程！也不能使用符号表达式！不是方程！也不能使用符号表达式！例：例： fzero(sin(x),10) fzero(sin,10) fzero(x3-3*x+1,1) fzero(x3-3*x+1,

5、1,2) fzero(x3-3*x+1=0,1)X fzero(x3-3*x+1,-2,0) f=inline(x3-3*x+1); fzero(f,-2,0)Matlab 符号方程求解符号方程求解器器s=solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解；求方程关于指定自变量的解；s=solve(f)：求方程关于求方程关于默认自变量默认自变量的解。的解。l f 可以是用字符串表示的可以是用字符串表示的方程方程，或符号，或符号表达式表达式；l 若若 f 中不含等号，则表示解方程中不含等号，则表示解方程 f=0。q solve例：解方程例：解方程 x3-3*x+1=0 syms x; f=x3-3*

6、x+1; s=solve(f,x) s=solve(x3-3*x+1,x) s=solve(x3-3*x+1=0,x)Matlab 符号方程求解符号方程求解器器q solve 也可以用来解方程组也可以用来解方程组solve( f1 , f2 , . , fN , v1 , v2 , . , vN)求解由求解由 f1 , f2 , . , fN 确定的方程组关于确定的方程组关于 v1 , v2 , . , vN 的解的解例：解方程组例：解方程组 x,y,z=solve(x+2*y-z=27,x+z=3, . x2+3*y2=28,x,y,z)222273 328 xyzxzxy 输出变量的顺序要

7、书写正确！输出变量的顺序要书写正确！solve 在得不到解析解时，会给出数在得不到解析解时，会给出数值解。值解。例：解方程组例：解方程组 x,y,z=solve(x+2*y-z=27,x+z=3, . x5+3*y2=28,x,y,z)522273 328 xyzxzxy 符号常微分方程求解在MATLAB 中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示表示y，D2y表示表示y，Dy(0)=5表示表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程表示微分方程y+y+y-x+5=0。 MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为：dsol

8、ve(eqn1,condition,var) 该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。微分方程（组）的数值解微分方程（组）的数值解 事实上，能够求得解析解的微分方程或微分方程组少之又少，多数情况下需要求出微分方程（组）的数值解。 Matlab中求微分方程数值解的函数有五个：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s。调用格式为t, x = solver (f, ts, x0, options) 需要特别注意的是： solver 可以取以上五

9、个函数之一，不同的函数代表不同的内部算法：ode23 运用组合的 2/3 阶龙格库塔费尔贝算法，ode45 运用组合的 4/5 阶龙格库塔费尔贝算法。通常使用通常使用函数函数 ode45； f 是由待解方程写成的m文件的文件名； ts=t0, tf，t0、tf为自变量的初值和终值； x0为函数的初值； options 用于设定误差限（可以缺省，缺省时设定为相对误差 103，绝对误差 106），程序为options = odeset(reltol, rt, abstol, at)其中rt和at分别为设定的相对误差和绝对误差； 在解 n 个未知函数的方程组时，x0、x 均为 n 维向量，m 文件中

10、待解方程组应以 x 的分量形式写成； 使用 Matlab 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组。 例 8.5.4 求解下列微分方程0)0( ; 2)0(0)1 (1000222xxxdtdxxdtxd解：令 y1 = x，y2 = y1，则微分方程变为一阶微分方程组： 0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy (1) 建立 m 文件 vdp1000.m 如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); (2) 取 t0

11、=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)运行程序，得到如图的结果。 例 8.5.5 求解下列微分方程组1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321yyyyyyyyyyyy(1) 建立 m 文件 rigid.m 如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);(2) 取 t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) 运行程序，得到如图的结果。图中，y1 的图形为实线，y2 的图形为“*”线，y3 的图形为“+”线。其它运算其它运算q 反函数反函数finverse(f,v)：求求 f 关于指定变量关于指定变量 v 的反函数的反函数finverse(f)：求求 f 关于默认变量的反函数关于默认变量的反函数 syms x t; f=x2+2*t; g1=finverse(f,x) g2=finvers