2020年全国版高考数学必刷题：第九单元平面向量

1、【解【解析】建立如图所示的平面直角坐标系 则点C的坐标为（2,1）.第九单元平面向量真题回访考点一平面向量的线性运算1.（2015 年全国n卷）设向量a,b不平行，向量入 a+b与a+2b平行，则实数入=【解析】T入 a+b与a+2b平行,入 a+b=t（a+2b）（t R）,即入 a+b=ta+2tb,f?=? =1?=2?解得 G22.1【答案】22.（2015 年全国I卷）设DABC所在平面内一点，?则（）.A.?=?3?D. ?3 3 解析?=?+1?+1(?!?)? ?弓弓? ?【答案】A3.（2017 年全国皿卷）在矩形ABCDKAB=,AD：2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的

2、圆上.若？?？?+?则入+卩的最大 值为（）.A.3B.2 v2C.强强D. 2?故选 A.设BD与圆C切于点E连接CE则CEL BD.CD=,BC=? 22v5EC? v5,即圆C的半径为,.点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=4.? =2 +cos?,设P(xo，y。)，则5(0为参数),? = 1 +Vsin?5而？?郦郦o,yo),?=D,1),?=?2,O).? ? ? (0,1)+卩(2,0)=(2卩,入),1AV5. 2 V).-.=xo=1+5cos0,入=yo=1+-sin0.两式相加，得2V5V入 +y=+T-sin0+1+_cos0=2+sin (0+$) 355

3、当且仅当0=+2k n -$,keZ 时，入+卩取得最大值 3.故选 A.【答案】A考点二向量的数量积运算(其中 sin?=v52V5亏亏,cos?=寸寸) ),4.(2016 年全国 II 卷)已知向量a=(l,m),b=(3,-2),且(a+b)丄b则m=).【解析】因为a=(l,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b)丄b,所以(a+b) b=0,所以 12-2(m-2)=0,解得m=8.【答案】D5.（2016 年全国皿卷）已知向量？?,冒）,?3,1），则/ABC=）.A.30 B.45 C.60 D.120【解析】因为？?|,弓),?略略,所以?碍今碍今.

4、又因为？?即即?？0s /ABC=X1xcos/ABC所以 cos /ABC琴琴.又 0AB180 ,所以/ABC=0.故选 A【答案】A6. (2017 年天津卷)在厶ABC中，/A=60 ,AB=3,AC=2,若?？=2?=? R),且?-4 则入的值为【解析】由题意，知|?=引羽引羽?=2,?3x2xcos 60 =3,?=(?+?2?)?.(入？?？33=13-入-5=-4,解得入=.【答案】春7.（2017 年北京卷）设mn为非零向量，则“存在负数入，使得n=入 n”是“m-n0”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A- 8B.-6

5、C. 6 D 8=?-2=VX3-lx32+?X24.(2016 年全国 II 卷)已知向量a=(l,m),b=(3,-2),且(a+b)丄b则m=).【解析】由题意知|m|工 0,|n|工 0.设m与n的夹角为0.若存在负数入，使得n=入 n,则m与n反向共线,0=180 ,所以m- n=|m|n|cos0=m|n|0.当 90 0V18O 时,m-nvo,此时不存在负数入，使得n=入 n.故存在负数入，使得m=入 n”是“mn0”的充分而不必要条件.故选 A.【答案】A8._ （2017 年山东卷）已知ewe?是互相垂直的单位向量.若 v3ei-e2与 8+入 e?的夹角为 60 ,则实数

6、入的值是_【解析】由题意知|ei|=|e2|=i,ei-e?=0,| v3ei-e?|= v(3?-?)2=V3?-2V5?+ ?=v3 -0 + 1=2.同理|e1+ 入B|=V1+ ?.(V3?-?)(?+? |V3?-?|?+?2?V3?+( V3“1)? ?-? v3-x1考点三与向量的模有关的运算9.(2017 年全国I卷)已知向量a,b的夹角为 60 ,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=_【解析】|a+2b|= V(? 2?f=V?+ 4?7?F4?=V22+ 4x2X1Xcos60 + 4X12=v12=2V3.2V1+?2解得入【答案】v3T所以 cos 60【答案】2v

7、310. (2016 年全国I卷)设向量a=(ml),b=(l,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=_.2 2 2 2 2【解析】/|a+b| =|a| +|b| +2ab=|a| +|b| ,.b=0.又a=(m1),b=(1,2), m3=0,.m=2.【答案】-211._ (2017年浙江卷)已知向量a,b满足|a|=l,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是_，最大值是_【解析】设a,b的夹角为0.|a|=1,|b|=2,|a+b|+|a-b|= V(?各各？?2+V?2=V5 + 4cos?kv5-4cos?令y=V5 + 4cos?+V5-4cos?则y2=10

8、+2V2516COS20.2 200,n,.cos00,1,.y16,20,ye4,2V5,即|a+b|+|a-b| 4,2v.【答案】4 2v考点四 平面向量在平面几何中的应用12.（2017 年全国H卷）已知AABC是边长为 2 的等边三角形,P为平面ABC内一点则？?？ ？?？?？?勺最小值是（）.【解【解析】如图，?？?=2?为BC的中点）,则？?+?=2?要使？?最小厕?与?向相反，即点P在线段AD上，则（2?=-2|?问题转化为求|?的最大值.A.-2C.-3D.-12B DC又|? ?稍稍?2Xv23=v3,.| ?金金(灣号?)2 =v3/=3,/. ?+?min=(2?=-2

9、XX 故选 B.【答案】B13.（2017 年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCIABL BCAB=BC=AD,D3,AC与BD交于点O记I=?=?=?则(A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3【解析】TI-I2=?=?又?与?所成角为钝角，I1-I20,即I1I2.1-I3=?=|?7?os /AOB-f?f?T?cos /COD=cos /AOB?7?解？解？?），又/AOB钝角，OA0,即I1I3.I3I1=1?与BC相交于点M设?=b.试用a和b表示向量? 【解析】设?a+n测测?=?ia+nb-a钿钿-1）a+nb.II2?.?3+lb22三点共线，二？?与

10、?？共线存在实数t,使得?=?1即(m-1)a+nb=t( -?+2?)1(m-1)a+nb二-ta+gtb.?-1 =-?,?=?消去t得,m+!n=1.2 ?=?5ma+nb-a=(?-4)a+nb?=?.?5b,-a=-a+b.44又.CMB 三点共线，？?!?共线.存在实数11,使得？?=?1 1(?-4)a+nb=t-无？?),?4=-4?消去t1得,4m+n=?= ?1?IJ13由得m,n=7.?=?a+3b.1.（2017 湖南二模）设eo为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a=|a|e。;若a与e。平行，则a=|a|e。;若a与e平行且|a|=1, 则a=e。.上述命题中，假

11、命题的个数是（）.【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与|a|e。的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与e。平行，则a与e。的方A 0B. 1C.2D. 3向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-|a|e故也是假命题.【答案】D2.（2017 南城中学质检）如图，在正六边形ABCDE中,?+?=（）.A. 0 B.?C ?D ?【解析】由图知？?=?【答案】D3.（2017 运城一中质检）设a,b不共线，?？a+pb?a+b?a-2b,若ABD三点共线，则实数p的值为（）.A._2B._1C. 1 D 2【解析】/?+b,?-2b,勿？勿？2?+?2七.又A,BD三点共线，？?

12、？?共线.设？?？ ？?,? 2a+pb=入（2a-b）,-p二 入,2=2入，.入=,p=-1.【答案】B4.（2017 四平二中二模）已知向量a,b不共线,c=ka+b（k匕 R）,d=a-b.如果c/ d,那么（）.Ak=1 且c与d同向B.k=1 且c与d反向Ck=-1 且c与d同向D.k=-1 且c与d反向卄?= ?c/d,. c=入 d,即ka+b=入(a-b),.?f= - 1.【答案】D5.（2017 西宁市一模）如图，在ABC中，点D在边BC上，且CD=DB点E在边AD上，且AD=AE则用向量？?？表示列列?为（）.【解析】A-?=9? ?c?【解析】？?=S?+?=?=3?

13、=?+?.?=1(?. . ?=?+?=?TO?彎(郴?1?+?1?+1?+1?39【答案】B6.（2017 四川质检）向量ei,e2不共线，?=3 （ei+e0,?=g-ei,?=2ei+e2,给出下列结论：A,BC三点共线：A,B,D三点共线；B,CD三 点共线;A,C,D三点共线.其中所有正确结论的序号为 _.【解【解析】由?%+2e2=2?且?与?不共线,可得ACD三点共线，且点B不在此直线上.【答案】7.（2017 河北三模）如图，在ABC中，已知D是AB边上一点 若？?=2?；?+?入?入3【解析】由题图知？?+?=?且?+?=0.由 + 程，得 3?+2?2【答案】3*?+?=?

14、 ?+?8._ （2017 唐山一模）已知向量a,b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a,b共线的条件是 _.（将所有正确的序号填在 横线上）12a-3b=4e,且a+2b=-3e；2存在相异实数入，卩，使入 a+b=0;3xa+yb=0（实数x,y满足x+y=0）.【解析】由得 10a-b=0,故正确正确对于当x=y=0 时,a与b不一定共线，故错误.【答案】9.（2017 黄冈二模）已知a,b是不共线的向量,?a+bT?=a+ub,入，卩 R 则ABC三点共线的充要条件为（）.A 入+=2B.入-卩=C.入卩=-1D.入 口 =1_ _ ?= ?【解析】因为A,B,C三点共线所以？?

15、？设?（治治0）所以= ?则入卩=.【答案】D10. （2017 安徽二模）已知ABC是厶ABC的三个顶点，0为平面内一点，满足?+?+?=?,若实数入满足？?+?入?则入的值为（）.32A3 B.3C-2 D【解析】？?？0为厶ABC的重心，设BC的中点为?=?=?前前32?2?=?xI?=?x=3.【答案】A11.（2017 河南四校联考）设 8,8 是两个不共线的向量，已知向量？?e+esina（-na才）,？?-*,?212,若AB,D三点共线,则函数f（x）=2cos（x+a在0,n）上的值域为（）.1 -A-1,2B. -2M1C.（-2,1D （-1,v3【解析】若A,BD三点共

16、线，则存在实数入，使? ?P?=，?（?. 2e1+e2sina=入（?？?：?入（?？+11.1nnnn,7n4?）,X=2,sina=入，.Sina=.T-2av,.%=.T。W xn，.爲仝x+a6,-2 f（x）0,b0,O为坐标原点 若A,BC三点共线，则?舅的最小值是().A. 2 B.4 C 6D. 8【解【解析】(1)?=?.?(4-k,-7),?.? 2k,-2).VA,B,C三点共线，.？?则-2X(4-k)=-7X(-2k),解得k=-|.3(2)由已知条件得？?？a-3 4,1),?b-a,若ABC三点共线，则?由向量共线定理得(a-1)X1=3 运用向量的坐标表示，使

17、向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合4 根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法.【变式训练 3】(1)(2017 南昌模拟)已知向量?, 12),?=(4,5),?(?k,10),且ABC三点共线，则k的值是().A-C1-?+ 4?= 3,2?+ ?= 2,解得?=?=由题意得解得?=3, ?=-1?=5, ?=3.1X(-b-a ),2a+b=1，故?+?=(?+【答案】(1)A (2)D方法 利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点比较难以找到问题的突破口，但根据图形建立适当的平面直角坐标系，将线性问题转化成向量的坐标运算，是解决此

18、类问题的常用方法，此方法容易理解且过程简单.【突破训练】（2016 年四川卷）在平面内，定点AB,CD满足|?=?爾爾=|?,? ?=?-2,动点P,M满足| ?厲=1 ,?=?则？ ？?的最大值是（）.A.43B.49【解析】?=?嗓?=1 ?点A,B,C在以点D为圆心的圆上.又?=? ?-2,?,?,?两?两夹角相等，均为 120 （如图）.设圆D的半径为r,则?=rr cos 120 =-2, r=2.?=?为PC的中点.|?=?1,.点P在以点A为圆心,1 为半径的圆上.由上知ABC是边长为 2V3 的等边三角形.设AC的中点为Q连接DOOM则B,D,0三点共线，则|?3,?+?=?+

19、?C37+6 V3D37+2 v33=9+3X1Xcos?:=7+3cos0）,若m+rtE1,2,则|?的取值范围是（）.A.击击,2需需B.击击,2価）価）C (5,V10)D V5,2V10【解析】因为?3m+nm-3n),所以|?=2(3?+ ?2+(m-3n)2=/10(?2+ ?).设点P的坐标为(m,n),则|?=?0|OP|.1 ?+?d=|,|OP|v|OD|=2,从而|OF| EV10X#価価X2)=V5,2V10),故选 B.【答案】B13. （2017 重庆联考）正三角形ABC内一点M满足？?=m?+n?MCA45 ,则刁的值为（）.B.仍仍+122【解【解析】如图，设

20、正三角形的边长为a,由？?=m?+n?得?m?+ n?,?m?+?n?/cos 15 =cos(60-45 )=迈;I? c2?1?= m? +,.2 2害61?3挈+ n?,.? V3-1 ,?=丁,故选 D.【答案】D14.（2017 上海模拟）如图，在ABC中 ,BO为边AC上的中线，?设?若?？ 阿阿?入匕R）,则入的值【解析】因为?=2?所以?+?b?W?.?又?可设?从而？?？+?=?+?=(1 +33一? 6=1+3=5.?)?+晋?因为?+*? ?所以孑5,入【答案】615._（2017 北京西城区质检）在直角ABC中 ,|?=?彌彌=3,且?=2?点P是线段AD上任一点厕?的

21、取值范围 是_.【解析】如图，分别以ABAC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系，则 qo,3),B(3,O)./?=. ?2八八D(2,1).又点P是线段AD上任一点，.可设P(2y,y),0y 1,则?2y,y) - (2y,y-3)=5y2-3y.TOWyW1,-20W5iy2-3yW2.?卜20,2即?的取值范围是卜舟上卜舟上.9【答案】卜20,29.3 平面向量的数量积及应用I平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0则|a|b|cos0叫作a和b的数量积(或内积)，记作a-b=|a|b|cos0.规定:零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab=

22、0,两个非零向量a与b平行的充要条件是ab=|a|b|.平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.三 平面向量数量积的重要性质1.ea=a - e=|a|cos0（e为单位向量）.2.非零向量a,b,a丄b?.3. 当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.4.aa=a2,|a|=5. cos0二_.6.|ab|w|a|b|.四平面向量数量积满足的运算律1.ab=ba（交换律）;2.（入a） b=X（ab）=a（入b）（入为实数）（结合律）;3.（a+b） c=ac+bc（分配律）.、0五平面向量数量积有关性质的

23、坐标表示设向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),则ab=_，由此得到1.若a=(x,y),贝U|a|2=_ 或|a|=V?+ ?.2. 设A(xi,yi),B(X2,y2),则AB两点间的距离|AB|=|?V(?-?)2+ (?-?)2.3. 设两个非零向量a,b,a=(xi,y,b=(x2,y2),则a丄b? _?左学右考1已知向量a与b的夹角为字，且|a|= V2,|b|=2,则a（2a+b）等于（）.A- 1B.1C 2D. 2 V2向量a=（3,-4）,向量|b|=2,若ab=-5,则向量a,b的夹角为（）.AnB - 3 6C3nD冬 4 33|设向量a,b满足ab=-12,且

24、向量a在向量b方向上的投影为-4,则|b|等于（）.A. 4B. 3C 2D 14在厶ABC中皿是BC的中点，|?,?求?？?？?？?的值.知识清单?22五、xx+yy1.x +y3.xx+yiy2=0基础训练1.【解析】a(2a+b)=2a+ab=4-2=2.【答案】C?5122.【解析】cs=?|?=5 =-2,即向量a,b的夹角为-y.【答案】D3.【解析】设向量a,b的夹角为0,则a-b=|a|-|b|cose=a|cose-|b|=-4|b|=-12,.|b|=3.【答案】B4.【解析】如图，因为M是BC的中点，所以?=?又?,所以？?？?=?$?=?4|?丝善丝善|?注注49.丄荚

25、键驻丄题型一 平面向量的数量积的运算、2.a-b=05.?例例1】（2017 江西省玉山县一中期中）设D为边长是 2 的正三角形ABC所在平面内一点，?=3?的值是（）.14B.-T4c.3D4【解【解析】T?,?点D在线段BC的延长线上，且BD4CD则I?呼呼1|?痔痔，二?耐？耐？?啊吶吶?2*冥4.【答案】A求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义【变式训练 1】(1)(2017 银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b-a=().A.-1B. 0 C 1 D 2(2017 长沙模拟)在矩形ABC曲曲,AB：2,B

26、C=迈迈E为BC的中点，点F在边CD上，若茅茅?,则？?的值是_2【解析】(1)Ta=(1,-1),b=(-1,2),.a=2,a-b=-3.I) FcAAAAfi2(2a+b) a=2a +a-b=4-3=1.如图,/ ?4?+?4?：?+?fi?7?4?4? ?4?2,I?4?1 ,A|窗41,/.?=(?+?(?+?fi?r+?+?r4?+?42x1x(-1)+v2x2v2x142.【答案】(1)C (2)2题型二向量的夹角与向量的模【例【例2】已知|a|44,|b|43,(2a-3b) - (2a+b)m则a与b的夹角的大小为 _,|a+bF_【解【解析】(2a-3b) (2a+b)4

27、61,4|a| -4ab-3|b|二61.又|aF4，|bF 3,.64-4ab-27461，ab4-6.cos|a+b|24(a+b)24|a|2+2a b+|b|2442+2x(-6)+32413,|a+b| 4V13.?6 1 二济盯4-，.又en,.2n=32n -【答案】孑V13在数量积的基本运算中，要牢记并熟练运用数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|=V?要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.【变式训练 2】(1)(2017 四川联考)若非零向量a,b满足|a|=232|b|，且(a-b)丄(3a+2b),则a与b的夹角为().3AnBnC3nDn 4 2 4(2)(20

28、17 宝鸡模拟)已知平面向量a,b的夹角为n且|a|= V3,|b|=2,在厶ABC中,?=2a+2b,?2a-6b,D为BC的中点，则|?=_.22A 52【解析】(1)由(a-b)丄(3a+2b),得(a-b) (3a+2b)R,即 3a -ab-2b =0.又=|b|，设=e,3|a| -|a|*|b| cos9-2822 -/222-/2n2|b| =0,辺|b| -丁 |b| -cose-2|b| =0,.cos0=.又丁。00,卩0），则当入卩取得最大值时?的值为（）._ ?+?21 1【解析】 因为？?=软？?而D,B,C三点共线所以入+“所以入卩 w（）=-,当且仅当入=垃时取

29、等号，此时 ?=?即D是线段BC的中点，所以|?鹫鹫|?驾驾，故选C.【答案】C方法向量的线性运算与数量积的综合应用在利用向量数量积的有关性质解题时，会岀现过程比较长，且转化后不容易发现解题突破口等问题，可结合向量的线性运算，即 利用三角形法则或平行四边形法则找到问题的本质，使问题简单化，形象化.6【突破训练】已知非零向量a与向量b的夹角为钝角b|=2.当t=-2 时,|b-ta|（t匕R）取得最小值卬则a- （b-a）等于（）.7A2B. 3C5【解【解析】如图，设?=a,?=b,?=?,则向量?-ta,当a与b-ta垂直时,|b-ta|取得最小值即a丄(b+2a).6444又/b|=2,|

30、b+2a|=5,|a|=5,cos=5? cos=-5,24,41648则a (b-a)=ab-a=5x2x(_5)_25=_25.【答案】AA-48B-1 2 3 * * *CQ D94.（2017 葫芦岛市二模）已知ewe?是夹角为 90的两个单位向量，且a=3ei-e2,b=2ei+e,则a,b的夹角为（）.A. 120 B. 60 C 45D.30.(3ei-e2)- (2ei+e0_6?-?_5,(3ei-e2)2=9?+?_l0,(2ei+e2)2_4?12+?_5,/.cose=y：,AQ=45【答案】CiiA B.丄C. 6D. 464【解析】?_3X2Xcos 60 _3,v

31、?_?酥酥?，鯛，鯛?刼刼?獅獅?尊？尊？ ？?飾飾?酥酥?尊？尊？_QQ 4n?!?), /-3(m-n)-9m+4n_0,/?_-.? 6【答案】A6.(20i7 银川模拟)已知向量a_(i,2),b_(3,-4),则向量a在向量b方向上的投影为().A- 2B.-i C 0 D 2?【解析】向量a在向量b方向的投影为|a|cos_-1.【答案】B7._ (20i7 辽宁省模拟)若向量a,b满足|a|_i,(a+b)丄a,(2a+b)丄b,则|b|_ .【解析】TIa|_i,(a+b)丄a,(2a+t)丄b,.(a+b)a_0,(2a+b) -b_0,即a-b_-i,b+2a-b_0,解得

32、|b|_ v2.【答案】v28.(20i7 石嘴山中学月考)在菱形ABC呼呼，若AC_JU? ?.【解析】设/CAB_0AB_BC_,a余弦定理得a2_i6+ai-8acose,.acos 0=2,. ?xaxcos(n -e)_-4acose=-8.【答案】-8【解【解析】设a,b的夹角为0，则 cos?_(3?-?) (2?+?|?|?iv(3?，i-?)2(2?+?Q)25. （20i7 马鞍山市二模）已知向量？?与?的夹角为60，且|?3,|?_2，若 ?怖怖?+?,且?彰?则实数?的值为（).9. （20i7 四川五校联考）在厶ABC中,AB=2,AC=3,?则BC等于（）.B.V7

33、C 2 v2D v23【解析】/?=?,且AB=2,.1=|?1C0s（n -B）,.|?1COsB=-1.在ABC中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|BC|cosB即 9=4+|BC|2-2X（-1）. /. |BC| = V3.【答案】A10.（2017 陕西省二模）已知向量a,b的夹角为锐角,|a|= P,|b|= V1T,且a与a-b夹角的余弦值为 红则a- b等于（）.3A. 4 B.5 C 6D. 7【解析】Ta与a-b夹角的余弦值为曽,a（a-b）=f|a|a-b|，即 3-a-b=|a-b|,（3-a-b）2=（a-b）2,化简得（a-b）2-4ab-5=0,解得

34、ab=5 或ab=-1（舍去）.【答案】B11.（2017 湖北省三模）如图，在五边形ABCD中，四边形ABC是矩形,ADE是等腰直角三角形，且AB=3,AD=,则溜则溜?？?？）.A. 18B. 20C. 21D. 23【解析】 延长BA至F,使得EF丄AF（图略） ,则?+?=?又?=? ?=（?+?（3?+?1?! ?- ?23232 【答案】D12.（2017 山东一模）在厶ABC中 ,ZBAC=0 ,AB=5,AC=,D是AB上一点，且?,则|?等于（）.A. 6 B.4C 2 D 1【解析】设? ?=?：?=入？?5,. .25入=15,解得入=,.l?=|?:?2.【答案】C13

35、. （2017 哈尔滨模拟）设非零向量a,b的夹角为0，记f（a,b）=acose-bsine，若exe?均为单位向量，且e62=冒，则向量f（8e）与f（e2,-e1）的夹角为（）.AnBnC23 2 3 6【解析】由题设知，若向量Be的夹角为0，则e2,-ei的夹角为n -e由题意可得f(ei&)=eicose-ezsine,f,- ej=e2cos(n -e)+eiSin (n -e)=eisine-ezcose，故f(ei,eO f(e2,-ej=(eicose-ezsine) (e$ne-e2cose)=?cosesin2. 2.c v3V3-/31e-eie2cose-ei

36、ezsine+?cosesine=sinecose-亍丁8 ez.cose=T,sine=,.2sinecose-空=2x1x兰-兰=0,.向量f(ei,e2)与f(e2,-ei)的夹角为上2 2 2 2 2【答案】B14.（2017 兰州模拟）已知a,b,c三个向量共面，且均为单位向量，ab=0,则|a+b-c|的取值范围是 _.【解析】Tab=0,.a丄b./a,b是单位向量，.|a+b|=v2，则当a+b与c反向时,|a+b-c|取最大值为 v2+1;当a+b与c同向 时,|a+b-c|取最小值为v2-1.【答案】v2-1,v2+115.（2017 太原模拟）若等边AABC的边长为 2V

37、3,平面内一点M满足？?=?测？测？?？?=? ?V3,-3),?-v3,-3), ?2? -V3,_|)?=?+?=?3)+( - ，-|)=(-V3,2).?=? ,_ (3,_!)=-2.【答案】-2用_,1V-巧W hV16. （2017 宝山区三模） 如图,在同一平面内，点P位于两平行直线丨1,|2同侧，且点P到l1,l2的距离分别为 1,3,点MN分别在l1,l2上,|?+碍=8,则？?？?？的最大值为 _.【解析】过点P作与Ii垂直的直线，并以该直线为y轴i为x轴建立平面直角坐标系（如图），则丨i：y=O,l2：y=2,R0,-1）.设Ma,0),N(b,2),?=? 1),?=

38、(b,3),?+?=(a+b,4).由|?+?=8,可知(a+b)2+l6=64, a+b=4v3 或a+b=-4v3.又？?=ab+3,.当a+b=4v3 时,?i?ab+3=-a2+4v3a+3,当a+b=-4v3 时,?ab+3=-a2-4v3a+3,可知两种情况最大值均为 15.【答案】15阶段总结三微专题一三角函数三角函数是高考热点和必考内容，一般以选择题或填空题的形式岀现，考查的主要内容为：三角函数图象与性质（图象的解析式、 值域或最值，单调区间和对称性等）、图象的变换，而基本关系式和诱导公式通常会与上述知识点相结合.复习备考时，应做到：1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式

39、，通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律.2.会作三角函数的图象，理解三种图象变换，通过图象研究三角函数性质，同时会对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质.3. 注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用【例 1】（1）（2017 河南调研）已知函数f（x）=2sin （wx+欽?？ 0,-才 f）的部分图象如图所示，则把函数f（x）的图象向左n平移石个单位长度后得到的函数图象的解析式是（）.Ay=2sin 2xB.y=2sin (2?7n)C.y=2sin (2?n)nD.y=2sin (?)已知eG(n,2n且 2COS2( ?甘=v3cose+1,则函数f(x)

40、=2sin (x+0)在-扌,扌上的最大值为().A. 1B. 2C. v3D.- v2【分析】(1)先根据图象得到函数f(x)的解析式，再利用“左加右减”原则进行平移即可得到函数图象的解析式.(2)先根据已知条件求出e的值再根据x的取值范围求出x+e的取值范围，进而求函数f(x)的最大值.【解析】(1)由图可知，孑誇峙呼所以T=n所以3=,所以 心)=2$和化+心.又因为f(菩)=2sin (字+)=2 所以5_n+=n+2kn(k GZ),因为-#,所以=-n,所以f(x)=2sin (2?n)所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图 象的解析式是f(x)=2sin 2x.2

41、?nnn4n匸n(2)由 2cos (j-4)=v3cos0+1,得COS(?22)=V3COS0，即 tane=V3./0G(- ,2n,)0二亍，则f(x)=-2sin (?+ -).又TxG-2冷,x+3G-6,y,A当X+3=-6时,f(x)max=1.【答案】(1)A(2)A【拓展训练 1】(1)把函数y=sin 3x的图象适当变化就可以得到y#(sin 3x-cos 3x)的图象，这个变化可以是().A. 沿 x 轴方向向右平移扌个单位长度B. 沿 x 轴方向向左平移扌个单位长度C沿x轴方向向右平移n个单位长度D 沿x轴方向向左平移$个单位长度(2)关于f(x)=3sin (2?+

42、；),有以下命题：1若f(xi)=f(X2)=O，则xi-x2=kn(kZ);2f(x)的图象与g(x)=3cos(2?7n)的图象相同3f(x)在区间卜罟,-罟上是减函数；4f(x)的图象关于点(-n,0)对称.8其中正确的命题是 _.(填序号)-/2nn【解析】(1)丁 y=2(sin 3x-cos 3x)=sin (3?7&)=sin 3 (?初将函数y=sin 3x的图象沿x轴方向向右平移 右个单位长度可以得到函数y=y(sin 3x-cos 3x)的图象.(2)由f(x)=3sin (2?+知，若f(xj=f区)=0，则为帜2=?% Z),故不正确；兀兀兀兀兀f(x)=3si

43、n (2?+4)=3cos2-(2?+4)=3cos(2?-4), .f(x)的图象与g(x)=3cos(2?*?-)的图象相同，故正确;3-/f(x)=3sin (2?+n)的单调递减区间是n+2k2x+n J+2k n，即x扌+ kkn 乙 /.f(x)在区间J，-茫上是42428888减函数，故正确；(?)4-/f(x)=3sin (2?+4)的对称中心是-8,0代 Z),.f(x)的图象关于点(-,0)对称，故正确.【答案】(1)C (2)微专题二三角恒等变换三角恒等变换是高考热点和必考内容，有时以选择题或填空题的形式岀现，有时与三角函数或解三角形相结合，通过三角恒等 变换，化简三角函

44、数式，进一步研究函数的性质、解三角形等，是常考题型.复习备考时，应做到：1. 牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征.2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键.1 【答案】(1)- (2)V15【例 2】函数f（x）=sin （2?+2cosx-1 的单调递增区间是（2）已知ee（o,；）且 sine-cose=- J,则竺竺等于（）.44cos（ 4+e）A2B.4C3D.33342【分析】（1）先通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的单调递增区间，求f（X）的单调递增区间.2（2）先根据已知条

45、件求出 sin （；-e的值，进而求得 cos（n-e的值，再利用二倍角公式和诱导公式将 空 化简求得结果.44cosq+e）n2 v3_1_.，亠n .n只n a.n【解析】（1）f（x）=sin （2?6）+2cosx-仁三sin 2x+-cos 2x=sin （2?+ -），由 2k n - 2x+-6sinAposA当且仅当 sin.64sin?cos?一32SAB(=22sin2A+9COSA 3 32即厶ABC面积的最大值为詈.A=3cosA时，等号成立，V2c-a ?【拓展训练 3】(2017 四川省资阳市联考)如图,在厶ABC中 角ABC所对的边分别为a,b,c,满足右=话?。

46、是BC边上的一点(1)求角B的大小；若AC=,AD=,DC=，求AB的长.2c-a ?【解【解析】(1)由_cos?=COS?得v2ccosB-acosB=bcosA即v2ccosB=acosB+bcosA.由正弦定理，得 v2sinG&osB=sinAcosB+sinBcosA=sin (A+B=sinC所以 cosB=22.又 0vB80 所以B=45.(2)在 ADC中 ,AC亍,AD=,DC=,所以/ADC=20 ，/ADB=0.在厶ABD中 ,AD=5,Z B=45 , /ADB60? ?由正弦定理，得sin=r?n Z?5sin605X_ 56所以AB=前?？=sin45=

47、2微专题四平面向量平面向量是高考热点，每年必有一道题，一般以选择题或填空题的形式出现，考查的内容包括：向量的基本概念、向量的线性运 算、向量的坐标运算和向量的数量积.复习备考时，应做到：1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义.2.理解平面向量基本定理的意义、作用，会运用定理表示向量，然后再进行向量运算.3.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法，理解数量积的运算性质，并能利用数量积解决向量的几何问题.【例 4】(1)(2017 河南省开封市届高三上学期月考)已知向量a=(1,3),b=(3,n),且b在a方向上的投影为 3,则向量a与b夹角为_.在等腰梯形ABC呼呼，已知AB/ C

48、DABN,BC=,/ABC=0 ,动点E和F分别在线段BC和DC上，且?7?1? ?的最小值为.【分析】(1)由b在a方向上的投影为 3,可得m的值，再利用夹角公式可得向量a与b夹角的大小.(2)利用等腰梯形的性质结 合向量的数量积公式将所求表示为关于入的代数式，根据具体的形式求最值.? 3+ vSm由余弦定理得cos /ADC=Q52+32-722X5X312,【解析】(1)b在a方向上的投影为 3,即|b|cos=j?|=-7-=3,解得mw3,? v3/.cos -=|?|?| 2 /向量a与b夹角为 30.(2)由题意得AD=BC=CD=则?=(?(?+?=(? ?.?(?樽樽?？=?

49、 ?+!?9?91I=4x2Xcos 60 +X2X2Xcos 60 +_X4x2+_x2X2Xcos 120 9?9348582=y+2入+9?尸y(当且仅当入=时等号成立).【答案】(1)3058【拓展演练 4】(1)已知a,b均为单位向量，其夹角为0,有下列四个命题：P：|a+b| V2?e(0,n)R：|a+b|v2?e0,nP3:|a-b| v2?ee(n,%)R：|a-b|v2?ee(n其中真命题是().AP1,F4B.P1,F3CP2,RD P2,R(2)向量a,b,c满足|a| 1,|a+b|=|a-b|=2,(c-a) - (c-b)=3,则|c|的取值范围为 _【解析】(1

50、)由|a+b|得a+2a-b+b2,/.a-b0,/ee0,扌)，故R正确.由|a-b|v2 得a -2a-b+b2,/.a - b=?3E-1,1,解得1fc|0,所以COS?2?=)=1 或?2.在厶ABC中,tan A：tanB：tanC=1:2:3,求为的值.3【解析】在ABC中,tanA+tanB+anC=anAtanBtanC.设 tanA=KtanB=2k,tanC=3k,贝 U 6k=6k,解得k=0(舍去),k=1 或k=-1(舍去)，即 tanA=1,tanB=2,tanC=3.,?sin? 2虫故?=Sin?_3.实数A、B、C满足A+B+C=,cosAncosB+cos

51、C=1,求证：(1-cosA)(1-cosB)(1_cos0=0.【解析】因为C=n -A-B,cosA+cosB-cos(A+EB=1,所以 2cos?2-cos_2-(2cos2丁/)=1,?+? ? ?+?整理得 2cos丁(cos-coSp)=0,?+? ? ?即 cos 2 (-2)sinsin (- j=0,?、?、?+?解得 sin-=0 或 sin=0或 cos=0.若 sin 尹 0,则 1-cosA=1-(1 -2sin2?)=2sin2尹 0；若 sin?=0,则 1-cosB=1-(1 -2sin2?)=2sin?=0;若 cos_y-=0,则才=kn +n,k 乙得A+B=k n +n,所以C=-2k n .故 1-cosC=0.综上可得,(1-cosA)(1-cosE)(1-cosC)=0.4.在厶ABC中 ,AB=2AC线段AD是Z A的角平分线，且AD=kAC.(1)求k的取值范围.若 SAB=1，问:当k为何值时,BC最短？【解析】(1)设AC=tZ BAC=e.由SAAB+SAC=SABC得- 2t-ktsine+-t-ktsine=- 2t-tsin 2e，即ksineksine=sin 2e.即jksine=2sinecose，所以k=4cose