2020年全国版高考数学必刷题：第十七单元直线与圆锥曲线的关系

1、2?第十七单元直线与圆锥曲线的关系f真题回访卅淞注卅偌卅考点一直线与椭圆的综合应用1.(2016 年全国皿卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C?+?=1(ab0)的左焦点A B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF丄x轴.过点A的直线丨与线段PF交于点M与y轴交于点E.若直线BM经过OE勺中点，则C的离心率为().【解析】如图，由题意得Aa,0),B(a,0),F(-c,0).由PF丄x轴，得P(-?).设E(0,m),|OE| |?|又由O曰MF得冷诊刃|1 ? 1由得a-c=2(a+c)，即a=3c,二 e=3由PF/ OE得|?丄|?|?|?|则|MF|=?(?)?则|MF|=?(?+?

2、)3132?【答案】A? ?2.(2014 年全国n卷)设Fl、F2分别是椭圆 c：?+?2=1(ab)的左、右焦点，皿是C上一点且MF与x轴垂直，直 线MF与C的另一个交点为N.3(1)若直线MN勺斜率为4，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为 2,且|MN|=5|FiN|,求a,b.?2【解析】(1)由c=VW及题设知M?) ,2b=3ac.将b=ad代入 2b=3ac,rrAOO解得?=2或?=- 2（舍去）.1故C的离心率为2.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点,MF/y轴，所以直线MF与y轴的交点D(0,2)是线段MF的中点，?2故？=4,即b=4a.由|MN|=5|F

3、1N|,得|DF1|=2|F1N|.设Nw），由题意知 中0,则32（-?-?）=c?= - -c,即2-2? = 2,1? = -1.代入C的方程，得務+?T.将及c=V?代入，得彎畀為1，2解得a=7,b=4a=28,故a=7,b=2v7.3.(2017 年全国I卷)已知椭圆C?+=1(ab),四点P1(1,1),P2(0,1)F(-1,弓,P4(1,弓)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线丨不经过F2点且与C相交于AB两点.若直线PA与直线P2B的斜率的和为-1,证明：1过定点.【解析】(“由于F-，F4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P,R两点.又由丙+昴亏+知，

4、椭圆C不经过点P，所以点P2在椭圆C上.1 _?=1, ? =4因此I 3解得?1,?2+4?2=1，?2故C的方程为?+y=i.（2）设直线PA与直线P2B的斜率分别为kik,v4-?2V4-?92如果丨与x轴垂直，设l:x=t,由题设知t工 0,且|t|0.、口r8?4?2-4设A(X1,y1),B(X2,y2),则Lt刘+X2=-4?2+心2=4?扌+?+m-1 ?+m -1=+? ?2?+(m -1)(?1+?Q)?由题设k1+k2=-1，故(2k+1)X1X2+(m-1)(X1+X2)=0.4?2-4-8?_即(2k+1)內+(m-1)济R?+1解得k=-2?+1口仃/+1当且仅当m

5、-1 时,.所以|：y=-2-x+m即y+1=-2（x-2）,所以I过定点（2,-1）.4.（2015 年全国n卷）已知椭圆C9x2+y2=m（m：0）,直线I不过原点O且不平行于坐标轴丿与C有两个交点AB线段AB的中点为M.仔-2方+2二1，得t=2,不符合题设.则k1 + k2=2?2?(1)证明：直线0M的斜率与丨的斜率的乘积为定值?(2)若丨过点(?,m)，延长线段0M与C交于点P四边形OAPBE否为平行四边形？若能,求此时丨的斜率，若不能,说明理由.【解析】(1)根据题意，因为直线不平行于坐标轴，所以斜率k必然存在,故设直线丨:y=kx+b(k工 00),则A(xi,yi),B(X2

6、,y2),MxMyM).2222222将y=kx+b代入 9x +y =m,得(k +9)x +2kbx+b -m =0,故XM=2?+?2?9?=-和,yM=如b希9于是直线OM勺斜率kOM=?=-?即kOM-k=- 9.所以直线OM勺斜率与I的斜率的乘积为定值(2)不妨设四边形OAPBE为平行四边形?因为直线l过点(y,m),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,且k工 3.由(1)得OM勺方程为y=-?x，设点P的横坐标为XP.?=-詁得?命字29? + ? = ?2，寸9?+81?，即XP= .3V?+9?将点(?,m)的坐标代入直线3l的方程，得b=字),因此XM=?33(

7、? +9)四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，?即XP=2XM于是 =2X3V?2+9?(?3)?3(?子+9)解得k1=4-v7,k2=4+V7.因为 k0,ki工 3,i=1,2,所以当I的斜率为 4-V7 或 4+V7 时,四边形OAPB为平行四边形5.(2016 年全国n卷)已知椭圆E：-+-=1 的焦点在x轴上,A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两? 3点，点N在E上,MAL NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时，求AMN勺面积；当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围【解析】（1）设Mxi，yi），则由题意知 yo.? ?当t=4

8、时椭圆E的方程为-?+?=1,A（-2,0）.n由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4,因此直线AM的方程为y=x+2.? ?将x=y-2 代入?-+?-=1,得 7y2-12y=0,43解得y=0 或y=,所以丫1=琴.11212 144因此AMN勺面积SAM=2X2X-xy=-49._ _ ? ?由题意知t3,k0,A(-V?).将直线AM的方程y=k(x+v?弋入？?+y=1.得(3+tk2)x2+2 V?tk2x+t2k2-3t=0.?-3t由x1(-V-=3+?,_ 6V?(1+?)故|AM|=|x1+v?Vl+?=矿1_6?V?（1+?-）由题设知道线AN的方程为yn-Kx+

9、v?故同理可得|AN|=3?+_由 2|AM|=|AN|,得忌詁,即(k-2)t=3k(2k-1).当k=V2 时上式不成立，因此t=3k（；ik 1）k -232t3 等价于k -2k +k-2(k-2)(k+1)由此得：32；0。或：-2；。,解得Ska3因此k的取值范围是（3,2）.22)k-2小30,即丁0)交于MN两点.(1) 当k=0 时,分别求C在点M和N处的切线方程.(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时总有/OPMZOPN说明理由.【解析】(1)由题设可得M2V?a),N(-2V?a)或M-2j?a),N2j?a).? ? _ _ _ _ _又因为y=2；所以y=?在x=2

10、v?处的导数值为J?C在点(2“?a)处的切线方程为y-a=J?x-2v?,即v?x-y-a=0.y=?在x=-2J?处的导数值为-佰C在点(-2V?a)处的切线方程为y-a二V?x+2V?,即J?x+y+a=0.故所求切线方程为J?x-y-a=0 和v?+y+a=0.(2)存在符合题意的点.证明如下：设P(0,b)为符合题意的点，皿刘/),比沟护),直线PMPN的斜率分别为hk.2同理|2与抛物线交点X3+X4=2?+4?由抛物线定义可得+8=162/ 16，2気将y=kx+a代入C的方程，得x -4kx-4a=0.故xi+X2=4k,xiX2=-4a.又X1#,x2=?,故X1X2=(=4

11、因此OA的斜率与OB的斜率之积为?2=-4=-1.?1?4所以OAL OB故坐标原点O在圆M上.由(1)可得1+2=2口乂1+乂2=0(|0+护)+4=2用+4,故圆心M的坐标为(m+2,m,圆M的半径r=2(?字+ 2)2+ ?孚.由于圆M过点P(4,-2),因此?,故(X-4)(X2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,他可结论:以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,直接写出)即X1X2-4(x1+X2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.1 |？由题设可得|b-a|I？-(丄厂,所以X1=0(舍去)或X1=1.设满足条件的AB的中点为 日x,

12、y),当AB与x轴不垂直时，从而ki+k2=?-b ?-b?F2?7?+(a-b)(?!+?勺)?(?+?)?当b=-a时，有ki+k2=0 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故/OPMZOPN所以点 RO,-a)符合题意.8.(2017 年全国皿卷)已知抛物线Cy2=2x,过点(2,0)的直线丨交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点 P(4,-2),求直线I与圆M的方程.【解析】(1)设A(X1,y1),B(X2,y2),|:x=my-2,?= ?+ 2,由? = 2x,可得y-2my4=0,则yyl.由(1)可得,y1y2=-4,

13、X1X2=4,所以 2m-m-1=0,解得m=或m=-2.当m=时道线I的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为而,圆M的方程为 (x-3)2+(y-1)2=10.19 1、/8592当m=2时，直线丨的方程为 2x+y-4=0,圆心M的坐标为(刁,-2),圆M的半径为 ,M的方程为(?？刁)+(?+1、1 2_852)=169. (2016 年全国皿卷)已知抛物线Cy2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线丨订2分别交C于AB两点，交C的 准线于P,Q两点.(1) 若F在线段AB上,R是PQ的中点 证明AR/ FQ(2) 若厶PQF勺面积是ABF的面积的两倍，求AB中点

14、的轨迹方程.1一 ？ ？1 1 1?+?【解析】由题意知F(2,0).设11：y=a,l2：y=b则ab工 0,且A(?2-,a) ,B(-,b) ,P(-2,a),Q- ,b),R(-,-?-)?记过A,B两点的直线为丨，则1的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于点F在线段AB上，故 1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则?-? ? 1？ ？0k1=+?2=?7aB1=k2.-2-2所以AR/ FQ.设丨与x轴的交点为D(X1,0),1 1 1则SABt=2|b-a|FD|=2|b-a| |？-2，l?？?lPQ=2 2？由kAE=kDE可得？+？=？7(X工 1

15、).而？2-=y，所以y=x-1 (x工 1).2当AB与x轴垂直时,E与D重合，此时E点坐标为(1,0),满足方程y =x-1.2故所求轨迹方程为y =x-1.考点三直线、圆与圆锥曲线的综合10. (2017 年全国H卷)设0为坐标原点，动点M在椭圆C?+y2=1 上，过M作x轴的垂线，垂足为N点P满足?V2? ?(1)求点P的轨迹方程；设点Q在直线x=-3 上，且?.证明:过点P且垂直于OQ的直线1过C的左焦点F.【解析】(1)设F(x,y),Mxo，yo)，则N(xo,o),?=(x-xo,y),?5(o,yo).由?=v2 ?得(x-xo,y) =v2(o ,yo),? = o,? =

16、x，即“厅解得?= 2?= v2?,?= v2，?2代入椭圆方程?+?=1，得x2+y2=2,2 2故点P的轨迹方程为x +y=2.(2)由题意知F(-1,0),设Q-3,t),F(mn),则?=(-3,t),7?=(-1-m-n),W? ?3+3m-tn,?=?nn),?=? 3-mt-n).由?=?,得-3m-m+tn-n2=1,又由(1)知m+n=2,故 3+3m-tn=0.所以踏？踏？ ？?=0,即?2?又过点P存在唯一直线垂直于OQ所以过点P且垂直于OQ的直线丨过C的左焦点F.11.(2013 年全国I卷)已知圆M(x+1)2+y2=1,圆N(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并

17、与圆N内切，圆心P的轨迹为 曲线C.(1)求C的方程；(2)1是与圆P,圆M都相切的一条直线,1与曲线C交于AB两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【解析】由已知得圆M的圆心为M-1,0),半径1=1；圆N的圆心为N(1,0),半径L=3.设圆P的圆心为P(x,y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=(R+ri)+(r2-R)=ri+r2=4.由椭圆的定义可知，曲线C是以MN为左、右焦点，长半轴长为 2,短半轴长为击的椭圆(左顶点除外)，其方? ?程为43=1(x-2).对于曲线C上任意一点Px，y)，因为|PM|-|PN|=2R-2 2,所以 R 2

18、，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2.2 2所以当圆P的半径最长时，其方程为(x-2)+y=4.若丨的倾斜角为 90,则l与y轴重合，可得|AB|=2需.若丨的倾斜角不为 90，由ri工R知I不平行于x轴，|?| ?设I与x轴的交点为Q则而?=?,可求得 Q-4,0),所以可设丨:y=k(x+4),由丨与圆M相切得SL=1,解得k=士孚.M+?24当k=-2时,yx+l2 代入?+?=1 并整理，得 7X2+8X-8=0,4443解得X1,2= ；6.所以|AB|=V1+ ?|x2-xq=孕.当k=-孑时,由图形的对称性可知阳|=岁18综上,|AB|=23 或|AB|=.12.(2016

19、 年全国I卷)设圆x2+y2+2x-15=0 的圆心为A直线丨过点B(1,0)且与x轴不重合交圆A于CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线C,直线丨交C于MN两点，过B且与丨垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】(1)如图，圆A的圆心为A(-1,0),半径R=4,因为BE/ AC所以/C=ZEBD又因为AC=A所以/C= EDB于是/EBDhEDB所以|EB|=|ED|.故|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4 为定值.因为|AB|=2,点E的轨迹是以AB为焦点，长轴

20、长为 4 的椭圆，2由c=1 ,a=2,得b =3,? ?所以点E的轨迹方程为?+?=1(y0).(2)因为直线l与x轴不重合，故可设丨的方程为x=my+, 过点B且与丨垂直的直线方程为y=mx-1).? ?由门+3=1得(3nn+4)y2+6my-9=0.?= ? 1,设Mxi,yi),Nx2，y2),则w+y2二?y2二?.6?2912(?2+ 1)得|MNI=7T?TTM-护)-4(-E)=4.由? + ? + 2x-15=0,田?= ?(?) /J设P(X3,y3),Qx4,y4),贝UXA?./2(?2-1)2?2-15/3?2+4-4(F)=4W四边形MPN的面积S=2|MN|PQ

21、|=24V?2+4=24丘-?1庞,211 因为m0 所以 03齐2三12,故 12S0?A0?直线与圆锥曲线C_; ;A=0?0?直线与圆锥曲线 C C_; ;A0)的焦点的弦中，最短的弦长是 2p.()? ?2?衣(5) 过椭圆弄+?=1 的焦点的弦中，最短的弦长为 f()圆锥曲线的弦长设斜率为k( (k丰0)0)的直线l与圆锥曲线C相交于AB两点, ,A( (xi, ,yi),),B( (X2, ,y2),),则|AB|=V1 + ?|xi-x2|=V1+ ? V(?+?)2-4?1 1 _=1 + 焉|y1-y2|=+ 才V(?+ ?)2-4?.三直线与圆锥曲线相交弦的中点问题3 3

22、点差法: :若直线l与圆锥曲线C有两个交点AB一般地，首先设出A( (x1, ,y1),),B( (x2, ,y2) )，代入曲线方程，通过作差，构造出X1+x2, ,y计y2, ,X1-X2, ,y1-y2, ,从而建立中点坐标和斜率的关系.知识清单一、（1）相交相切相离（2）平行平行或重合基础训练中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)(1)利用根与系数的关系： 将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方 程, ,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.四辨明两个易误点（1 1）直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，

23、事实上不一定相切，当直 线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点（2 2）直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与抛物线的对称轴平 行或重合时也相交于一点2若直线y=kx与双曲线x2-y2=2 相交，则k的取值范围是（）.A.（0,1）B. （-v?，v2）C.（-1，1）D. （-oo，-1）U（1，+o）3过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）.A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条4直线y=x+1 被椭圆x +2y2=4 所截得的弦的中点坐标是（）.A.（3，-3）B.（-3,3）C.（2，-3）5（教材习题）点P是椭圆

24、 16x2+25y2=1600 上的一点尸、F?是椭圆的两个焦点，又知点P在x轴的上方 F 是椭 圆的右焦点，直线PF的斜率为-4v3，MPFF2的面积为 _.1. 【答案】(1)x(2)X(3)V (5)V2. 【解析】双曲线x2-y2=2 的渐近线方程为y=x,若直线与双曲线相交，由数形结合，得k (-1,1).故选 C.【答案】C3. 【解析】过点(0,1)的直线与抛物线相切时有两条，又与对称轴平行的直线y=1 与抛物线也只有一个公共点 故满足条件的直线有 3 条.【答案】C4.【解析】联立?= ?V得x2+2(x+1)2-4=0,即 3x2+4x-2=0，则弦的中点的横坐标为-,纵坐标

25、为-2+1=-,? + 2? = 4,3332 1即(3,3)，故选 B.【答案】B5. 【解析】椭圆的标准方程为 -+-?=1,则F1(-6,0),F2(6,0),故直线PF2的方程为y=-4V3(x-6).将直线方程代入100 6416x2+25y2=1600，得 19x【225x+650=0,解得x=5 或x?-4：.当时,y20,得-1k 1 且 0.? = 8x,综上可知,k的取值范围是-1,1.故选 C【答案】C在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x或y,得到关于y或x的方程.如果是直线与圆或椭圆，那么所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，那么需

26、讨论二次项系数等于 零和不等于零两种情况.只有一元二次方程才有判别式，另外还应注意讨论斜率不存在的情形.有时根据定点与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的关系【变式训练 1】（1）（2017 兰州检测）若直线mx+ny=与圆Qx2+y2=4 没有交点 则过点（mn）的直线与椭圆? ?亍+?_=1 的交点个数为（）.A.3B.2 C.1D.0（2）若直线y=kx+2 与双曲线x2-y2=6 的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）.【解析】（1）v直线mx+ny：4 和圆Clx2+/=4没有交点，辺&丸即m+n4.? ? ? 4？2S?2?r+?r?r+-?-=1-?r0,4?+?=

27、2 0,1-?10? = - 0,1 21-?2A,.罟,罟)B.(0,解得-亍kv-1.故选D.vT5(法二)当直线与双曲线右支相切时,k=-亍，直线y=kx+2 过定点(0,2),当k=-1 时,直线与双曲线的渐近线平行，顺时针旋转直线y=-x+2 时,直线与双曲线右支有两个交点.k的取值范围为-逻kv-13【答案】(1)B(2)D题型二中点问题【例 2】中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 2 道线丨与双曲线C交于AB两点，线段AB的 中点M在第一象限，并且在抛物线y2=2px(p0)上,且点M到抛物线焦点的距离为p,则直线丨的斜率为().A.1 B 2 C.3D52 2【解析】

28、因为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 2 所以| +箱=2，即?=v3,所以双曲线方? ?(3-k2)x2-(2kp-k2p)x-?4-p2+kp-3a2=0.设A(x1，y1)，B(x2,y2),则 刘+%=2?；2p又因为宁=2?所以2；肇=p解得k=3.3-?22(法二)设A(x1,yi),B(x2,y2)，代入双曲线方程得？|-3；12=1，?-3?2=1，两式相减，得翥二釁?2,依题意x1+x2=p,yi+y2=2p.? ?程为?2-3?=|.因为第一象限内的点M到抛物线2?y =2px焦点的距离为p,故点M的坐标为(?,p).(法一)由题意?= ?_)? . 2丿,丨:

29、y-p=k(?-2)，联立? ?得3?字=九所以直线丨的斜率k=?r-?2=3(?+?=2.故选 C.【答案】C求解直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题主要有两种方法：一是联立直线与圆锥曲线方程，消去x或y后得到一个一元二次方程，最后结合韦达定理求解；二是除中点外，还涉及直线的斜率，一般采用“点差法”求 解可减少运算量.【变式训练 2】(1)已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=-1,直线丨与抛物线C相交于AB两点.若线段AB的中点为(2,1),则直线丨的方程为().A.y=2x-3 B.y=-2x+5C.y=-x+3 D.y=x-1 (2)已知点(4,2)是直线丨被椭圆?+?=1 所截得

30、的线段的中点，贝 U 直线丨的方程是369【解析】(1)设抛物线的方程为y2=2px(p0),则=1,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x5,yi),B(X2,y2)则4?两式相减，得(yi+y2)(yi-y2)=4(XI-X2),所以直线I的斜率为k=-1-2=-=2 所以直线|的方程为 4?-?-?-+?勺y-1=2(x-2)，即y=2x- 3.故选 A(2)设直线I与椭圆交于AxsyJBx2!2),则点+丰化盘+寻1,两式相减，得?=-4：?+?).5故直线I的方程为y-2=-?(x-4),即x+2y-8=0.【答案】(1)A (2)x+2y-8=0题型三弦长与面积问题? ? 1【例

31、3】(2017 凉山一诊)设椭圆E?+?=1(ab0)的离心率为2,E上一点P到右焦点距离的最小值为1.(1)求椭圆E的方程；过点(0,2)且倾斜角为 60的直线交椭圆E于A,B两点，求AOB勺面积.ftft又因为xi+X2=8,yi+y2=4 所以?-?_1?-? 2,? 1【解析】(1)由题意得?=2,且a-c=1,.a=2,c=1.b=a-c =3，故椭圆E的方程为-?+-?=1.43过点(0,2)的直线I的方程为y=J3x+2,代入椭圆方程?+?3-=1,可得 15x2+16v3x+4=0,A0 恒成立.43设A(xi,yi),B(x2,y2),则xi+X2=-咯3XX2二4,1515

32、|AB|=vin?|x1-X2|=2V(?+ ?)2-4?=8v33/15点o到直线AB的距离d=2=1V1+2?_4V33ABPdP求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程 数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解.【变式训练 3】已知斜率为 1 的直线l与椭圆?+y2=1 相交于A,B两点，则|AB|的最大值为().A.2B.4C.4v10D.8V10555【解析】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线I的方程为y=x+t.由?=+?4?=4,消去y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0,WX1+X2

33、=-ftX4?，利用根与|AB|=V1+ ?|xX2|=Vl+ ? V(?+?)2-4?=V2V(-8t) -4X4(?5-1)=452 V5?，当t=0【答案】C【突破训练】（2015 年浙江卷）已知椭圆?+y2=l 上两个不同的点A,B关于直线y=mx*对称.（1）求实数m的取值范围；求 AAOB面积的最大值（0为坐标原点）.1【解析】（1）（法一）由题意知 0,可设直线AB的方程为y=-?x+b.直线y=-?x+b与椭圆?+y2T有两个不同的交点 =-2b2+2+舟0,2?应b1?2+2将AB的中点皿存?,?？）代入直线方程y=mx+，解得b=-?2由得m3或m 亏.时,|AB|_4vT

34、Umax=方法对称问题求解策略?由2 +?= - x+ b,?1=T,.消去y,得（2+痔）?八x2-|?X+b2-T=0,（法二）由题意知 0,设A（xi,yi）,Bx2,y2）是椭圆三+寸=1 上符合条件的两个点，Mxo,y。）是AB的中点 则童+?=1,总+?=1,2122两式相减，得（?+?（?1一?）+（yi+y2）（yi-y2）=0.,k?-?_（?+?=?.kB=?1?_2（?|+?2）_2?0.点A,B关于直线y_mx*对称，小产-需二?,即y_?o,又yo_mx+2,1 1由得X。祐yo_.点Mxo,y。）在椭圆内部,?!+?2,23m6.1-6-6_ v-2?+2?以+-令

35、t_-e(-,0)U(0, R,则|AB|_-?+ 1和2-2s?+l且点0到直线AB的距离为d春.111 2J2设厶AOB勺面积为S(t),.S(t)_;|AB|d_2V-2(?i-) + 2迁,当且仅当t _2时，等号成立,故厶AOE面积的最大值为 .1. （2017 山西质检）设AB为过抛物线y2_2px（p0）的焦点的弦，则|AB|的最小值为（）.?A.；B.pC.2pD.无法确定?【解析】当弦AB垂直于对称轴时，|AB|最短，此时x_-?. y_ |AB| m._2p.故选 C.【答案】C2. (2017 福州质检)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上直线x-y=0 与抛物线C交于A,

36、B两点若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为().2 2A.y=2xB.y =2xC.x6 7 8=2yD.y=-2x【解析】AB两点其中一个点的坐标是(0,0)，由AB的中点坐标为(1,1),可知另一个点的坐标为(2,2)，代入y=2px中，可得p=1 所以抛物线C的方程为y?=2x.【答案】B3. (2017 赣州二模)设双曲线?-?2=1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.5B.5 C.迺D. v542?【解析】双曲线河-?=1 的一条渐近线为y=?x，联立方程组-=刁卜消去y,得x2-?x+仁0.因为方程有? ?= ?

37、+1,唯一的解，?2?所以 A=(?-4=3，得?=2.?+?T?2所以e=?=?=+ (?=霸.选 D.【答案】D4.(2017 太原一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,0为坐标原点，若|?=6, 则厶AOB勺面积为().A. v6 B.2V2C.2V3D.4【解析】设直线AB的方程为y=k(x-1),24与抛物线方程联立可得y -?y-9=0,【答案】A? ? _ _5.(2017 山东质检)已知双曲线C_-_=1 的右焦点为F,过点F的直线丨与C交于AB两点，若|AB|=5,则满足条45件的丨的条数为_.6则 | ?-?|=4Vi + 2-由弦长公式可

38、得V1+?|?-?1=4(1 +?)=6,.k=2./SAOB=X|? |?-?|=1X1X2V6=V6.故选 A.【解析】因为a=4,b=5,c =9 所以F(3,0).若点AB都在双曲线的右支上，当AB垂直于x轴时，将x=3 代入? ?c4?-?=1,得y=2所以|AB|=5，满足题意 若点AB分别在双曲线的两支上，因为a=2,所以两个顶点的距离为2+2=40,b0)与斜率为 1 的直线交于AB两点，线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是_.【解析】设*四1)曲护),则曽-弓=1，?_-?2=1,两式相减并整理，得空=?(?+?1)=算.算.工士丄故双曲线的渐近线方程为y=l

39、x?-? _? (?+?可? 221【答案】y=$x7.(2017 年北京卷)已知抛物线Cy10=2px过点P(1,1).过点(0,2)作直线丨与抛物线C交于不同的两点MN过点M作x轴的垂线分别与直线OFON交于点AB,其中O为原点.(1) 求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2) 求证:A为线段BM勺中点.【解析】(1)由抛物线Cy2=2px过点 R1,1),得p=2.所以抛物线C的方程为y2=x,其焦点坐标为(,0),准线1方程为x=-1?= ?丄(2)(法一)由题意，设直线丨的方程为y=kx+2(k工 0),1与抛物线C的交点为Mx1，y1)，N(X2,y2).由22? = x

40、,1 1（?+2）?+（?2）?-2?J2=?210 2f1-?1得 4k x +(4k-4)x+1=0 则X1+X2=-,X1X2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(“yd.因为直线ON的方程为y=?x所以点B的坐标为 ，彎).因为1+箸_2x1=?r竺誉空_（2?2）? ? +2（?+?）=?所以丫件脊=2xi故A为线段BM的中点.(法二)要证A为BM的中点，且XA,XB,XM相同,只需证 2yA=yi+yB,等式两边同时除以XM,则有 2ko/=koi+koNi? ? ?+?%?因为ko+ko=?+?=?1 1（?+2）?+（?+1）?11仁？_2?

41、+；（?+?2）_2?+472+2右_ ?2又ko=ko=1 所以等式成立，即A为线段BM的中点i8.(2015 年四川卷)设直线|与抛物线y2=4x相交于AB两点，与圆(x-5)2+y2=f(r0)相切于点M且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有 4 条，则r的取值范围是().A. (1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【解析】如图，设A(X1,y1),B(X2,y2),X0,y0),? = 4?则丄_J两式相减，得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).? = 4?,当丨的斜率k不存在时，符合条件的直线丨必有两条.当k存在时,xi工X2，则有響 鼎=2,又yi+y2

42、=2yo,所以yok=2.由CMAB得k?=-1，即yok=5-x0,因此 2=5_XO,XO=3,?-5即点M必在直线x=3 上.将点x=3 代入 y=4x,得/=12,则有-2v3yo2v3.因为点M在圆上所以（xo-5）2+?=r2，故r2=?+44（为保证有 4 条，当k存在时,yo工 0）,所以 4r216，即 2r4,故选 D.【答案】D9.（2017 岳阳二模）直线 3x-4y+4=0 与抛物线x2=4y、圆x2+（y-1）2=1 从左至右的交点依次为【解析】如图 抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),直线 3x-4y+4=0 过点(0,1).设A(X1,y1),D(X2,y2)

43、，由3?b0)的左、右焦点分别为HF,离心率为,点A在椭圆C上,|?=2,/FAF=60 ,过点F2与坐标轴不垂直的直线丨与椭圆C交于RQ两点,N为P,Q的中点.(1)求椭圆C的方程；1(2)已知点M0,8),且MN_ PQ求直线MN所在的直线方程1【解析】(1)由e=，得a=2c，因为 |?=2,|?=2a-2,由余弦定理得 |?1)的左焦点为Fi,右顶点为A,上顶点为B,过PAB三点的圆P的圆心坐标为(字，嗒).(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线丨:y=kx+n(k,m为常数,k工 0)与椭圆r交于不同的两点M和N.1当直线I过点E(1,0)且？?+2测=0 时,求直线|的方程；2当坐标

44、原点O到直线I的距离为春且厶MO的面积为f时,求直线I的倾斜角.【解析】(1)TAi(a,0),B(0,1),.AiB的中点为(?2),AB的斜率为冷？1 ?AiB的垂直平分线方程为y-?=a(?2).圆P过点F,A,B三点，圆心P在AB的垂直平分线上-2=a(手-2?,解得a3 或a=-V2(舍去).?2椭圆的方程为?+y=1.设X1,y1),N(X2,y2),?2由亍+? =1,可得(3k2+1)y2-2my+m3k2=0,?= ? ?, _ 2?_?2-3?2/oxy1+y2=3?；7,y/=?+.直线I过点E(1,0),.k+m=.?+?), /.(x1-1,y0+2(x2-1 ,y2

45、)=(0,0)./.y1+2y2=0.由可得,k=1 ,m=-1 或k=-1,m=./.直线I的方程为y=x-1 或y=-x+1.坐标原点o到直线I的距离为V3,聲=V?m=4(k2+1).V?+11结合得|MN|=V1+麹 y2-yi|1 / c_=V1+-?x 2(?+ ?)2-4?Z F/2?2?2-3?仆-4x3+1，由得|MN|=V?需匕MON|X务V3MON的面积为V3,v3 J3(?/+1)(9?2+1) 2323V3=*,解得k=士亍4(3?歹+1)22设直线丨的倾斜角为0，则 tan0,v3=3 17.2直线与椭圆的综合应用酬懣湖味嵌必备知识椭圆的焦点弦1.1.a+c与a-c

46、分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值2.2.椭圆的通径（过焦点垂直于长轴的弦）长寫,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长 的最小值.直线与椭圆的位置关系的研究方法1.1.弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲 线的定义的运用，以简化运算2.2.中点弦问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算3.3.定值问题，常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明4.4.定点问题，常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点.也可先 取参数的特殊值探求定点，然后给出证

47、明.扫码青讲5 5.范围（最值）问题：（1 1）利用判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（最值）；）；（2 2）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，求出参数的取值范围（最值）；）；（3 3）利用基本不等式，求出参数的取值范围（最值）；）；（4 4）利用函数的值域，确定目标变量的取值范围（最值）；）；（5 5）利用几何图形中的边角大小关系，确定参数的取值范围（最值）.?左学右考2 “1已知经过点(o,v2)且斜率为k的直线丨与椭圆?+y2=1 有两个不同的交点P和Q则k的取值范围是().A.(-害，身)B. (-身)U22,+a)C.(-V2,V2)D.(-oo,-v2)U(v2 ,+o)2已

48、知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l：y=x+3 上移动椭圆C以AB为焦点且经过点P,则椭圆C的 离心率的最大值为().55C.竽竽D.2V0553若点0和点F分别为椭圆?+?=1 的中心点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则？?的最小值98为_.2 24已知椭圆C的方程为?-+?-=1,A B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A B的动点 道线x=4 与直43线PA PB分别交于M N两点.若点D(7,0),则过D M N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为_.基础训练1.解析】由题意得，直线丨的方程为y=kx+v2，代入椭圆方程并整理，得(2+ ?)

49、x2+2v2kx+1=0.直线丨与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 = 8k2-4(1+ ?)=4k2-20,解得kf,即k的取值范围为(-o,-乎)U( ,+o).故选 B.【答案】B2.【解析】点A(-1,0)关于直线丨的对称点为A(-3,2),连接AB交直线丨于点P,则椭圆C的长轴长的最小值? 15为|AB|=2V5 所以椭圆C的离心率的最大值为？冷祜,故选 A.【答案】A? ?多3.解析】设P(x,y)(-3Wx 3,-2V2y 2V2)为椭圆?+?8-=1 上的任意一点，依题意得左焦点F(-1,0),A-?=X,y),?=x+1,y),. .？?-?X(x+1)+y2=x2+x+72

50、W(?+9,+23.9924/.L!(-+9)225.6W!(-+9)2+23 12,即 6 -?-?-12 故最小值为 64 9 2，49 2，4【答案】64.解析】设点P(xo,yo),M4,yd,N(4,yN),则直线PA PB所在的直线方程分别为意,可求得丫碍裁攀丫碍裁攀.？?3,yd,?-?3,yN), ?=?唏唏.又+拿拿1,.12-3?=4?,即设定点为巳,0),则MN为线段DE的垂直平分线，.y=4,解得t=1,故定点坐标为(1,0).【答案】(1,0)能J关键能力r题型一椭圆中的定值问题? ?y=?(x+2)、y=?(x-2),依题12?2=-9,A?=? MF 为过DM N

51、三点的圆的直径3x 3,A2竺 A9b)的离心率是二,点 RO,1)在短轴CD上，且? ?=?.(1)求椭圆E的方程.设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于AB两点.是否存在常数入，使得? ?为? 定值？若存在，求入的值;若不存在请说明理由.【解析】(1)由题意得，点CD的坐标分别为(0,-b),(0,b),又点P的坐标为(0,1)，且? ?21,1 - ?= -1, 所以?=扌,?_? = ?,解得?= 2,?=迈,所以椭圆E的方程为?+?=1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1 人为占必&乂彳芋), ? ?= 12 2联立42= ，得(2k +1)x +

52、4kx-2=0.?= ? 12 2其判别式A=4k)+8(2k+1)0,4?2所以X1+X2=-2?，x2-2?7+1从而? ?=X1x2+y1y2+ 入xx+(y1-1 )(y2-1)2.(-2?4)?/+(-2入-1) _?12?孑+12?孑+1入-2,?1所以当入=时，-腐7当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD此时?P7?+入？? ?-2-入，当入=时,也满足?+7?3.故存在常数入=,使得？? ?为定值-3.(1) 定值问题,涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可.(2) 定点问题,可先用特殊值法求岀，然后再验证，这样可确

53、定代数式的整理方向和目标.(3) “值的存在”问题,结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由.这类问题常用“肯定 顺推”.? ?b)的离心率为 2，A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB勺面积为 1.(1) 求椭圆C的方程；设 P是椭圆C上一点 直线PA与y轴交于点M直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|-|BM|为定值.?_ v3?=T，?= 2【解析】(1)由题意得1ab= 1, 解得?=1,?=?+?b)上一点，AB是椭圆E的左、右顶点，直线MAMB的斜率分别为匕用,且kik2_-2.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E事?2_1(ab0)上点Nxo,y。)处

54、的切线方程为零+写_1.若点P是直线x_2 上任意一点，从点P向椭圆E作切线，切点分别为CD,求证:直线CD恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)设A(-a,0),B(a,0),Mmn),?2?2 2?-?应则?T+?2_1，即n_b则a2_2b2.又c2_a2-b2_1,解得a2_2,b2_1.?2所以椭圆E的方程为?+y_1.设点F(2,t),切点C(X1,y1),Dx2,y2),则两条切线PCPD的方程分别为乎+y1y_1,字+y2y_1.因为点P在切线PCPD上所以X1+y1t_1 ,X2+y2t_1,1 ?由k1k2_-2,即耐？?_ 1?厂故C（xi，yi），Dx2,y2）均

55、满足方程x+ty=1,即x+ty=1 为直线CD勺方程.令y=0,得x=1,故直线CD过定点（1,0）.定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关系式，此 类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找岀相 应参数满足的条件，确定定点.? ?【变式训练 2】设椭圆E：?步=1 的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距为 1,求椭圆E的方程；设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点 道线F2P交y轴于点Q并且RP丄RQ.证明:当a变化时,点P在某定直线上.2125【解析】（1）因为椭圆的

56、焦点在x轴上且焦距为 1 所以 2a-1=4,解得a=5.故椭圆E的方程为+=1.设Px0,y0）F（-c,0）,F2（c,0）,其中c=V2?i.由题设知X0工c,则直线F1P的斜率?p=?+c, 直线F2P的斜率?p=;?c.故直线F2P的方程为y=?c（x-c）.? ?当x=0 时尸?事即点Q的坐标为（0,?）.因此，直线F1Q的斜率为？?池=磊.? ?由于FP丄F1Q所以?恋=芯?=-1.化简得?=?-(2a2-1).将代入椭圆E的方程，由于点Px0,y。）在第一象限，解得X0=a：y0=1-a：即点P在定直线x+y=1 上.题型三 椭圆中的范围与最值问题【例 3】(2017 河南洛阳

57、统考)已知椭圆的中心是坐标原点Q焦点在x轴上，离心率为右，坐标原点O到过右焦点F且斜率为 1 的直线的距离为身.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线丨交椭圆于P,Q两点,在线段QF上是否存在点Mm0)，使得|MP|=|MQ|?若存在，求出m的取值范围若不存在，请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为?2+?=1(ab)，F(c，0)(c0)，由坐标原点O到直线x-y-c=0 的距离为得得学孚,解得c=1.? 又e=?=2,二a=/2，b=1.椭圆的标准方程为尹y2=1.(2)假设存在点Mm0)(0m0 恒成立，X1+X2=2,X1X2=2.1+2? 1+2?设线

58、段PQ的中点为Ney。)，T|MP|=|MQ|,. MN- PQ.kMN kp=-1,? + 2? =2 ?= ?(?),2 2 2 2得(1+2k)x -4k x+2k -2=.r?+?2则X0=?,y0=k(x0-1)=1+2?1-?1+2?2即一2k=-1,m= 9=2?子1+2? 2+2-m圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值? ?、【变式训练 3】（2013 年全国H卷）平面直角坐标系xOy

59、中,过椭圆M?+為=1（ab）右焦点的直线x+y-v3=0 交M于AB两点，P为AB的中点，且0P的斜率为 1.（1）求M的方程；（2）C,D为M上的两点若四边形ACBD勺对角线CDLAB求四边形ACB面积的最大值【解析】（1）设 驱回除护）,则?+?2=1，?|+?|=1,(? -?)(? +?Q)+(? -?)(?i+?2?因为?=-1,设P（x0,y。）,又P为AB的中点，且0P的斜率为舟,所以y0=1x0，即y1+y2=2(x1+X2),解得a2=2b2,即a=2(a-),g卩a=2c：又因为c=V3,所以=6.?*2 ?*2所以M的方程为 T_-=1.63(2)因为CDL AB直线A

60、B的方程为x+y-V3=0,设直线CD的方程为y=x+m将x+y-V3=0 代入?+?=1,得2x2-4V3x=0，解得x=0 或633不妨令A(0,V3),E(4V3,-V3),可得|AB|=43v6.将y=x+m代入才+寸=1，得 3x2+4mx-2m-6=0,设C(X3,y3),DX4,y4),2 /2两式相减，得则|CD|=VV(?+ ?)2-4?=V18 2?字.又因为 =6斥-12（2吊-6）刃,即-2mb）上的点，且a2+b2=5,过点P的动直线与圆F:x2+y2=a2+1 相交于A B两点，过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q.（1）求椭圆E的离心率；fl若 AB2 昉，求|PQ|.【解