2019年全国版高考数学必刷题：第二十单元概率与统计的综合应用

1、第二十单元概率与统计的综合应用真题回访考点一概率1.(2015 年全国I卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率 为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为().A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】3 次投篮投中 2 次的概率为F(k=2)=X0.62x(1-0.6),投中 3 次的概率为P(k=3)=0.63,所以通 过测试的概率为P(k=2)+F(k=3)=X0.62X(1-0.6)+0.63=0.648.故选 A.【答案】A2.(2015 年全国n卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,

2、B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区:6273819295857464537678869566977888827689B 地区：7383 625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算岀具体值，给岀结论即可)；456789(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件C“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用

3、户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.【解析】(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：A MM46 1513 4 66 4 262 4 5 58 8643713 4 6 99 ft 6 5 2 181137 5 5 291 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.记&表示事件：“ A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“ A 地区用户的满意度等级为非常满意 ”；G 表示事件：

4、“B 地区用户的满意度等级为不满意”；G2 表示事件：“ B 地区用户的满意度等级为满意”，贝UC1与C1独立,6 与CB2独立,Ci与C)2互斥,C=COi UC32O2.RC)=RGiGiU G26)=P CiGJ+RCC)=PCi)ROi)+RO2)RO2).由所给数据得 Oi,G2,G,G2发生的频率分别为 一,一,一,一,故RO1) -,P( O2) -,P(C1) -,P(CB2) =-,P(C)= X iX =0.48.考点二离散型随机变量的期望与方差3._ (20i7 年全国H卷)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 i00 次,X表示 抽到

5、的二等品件数，则DX .【解析】由题意得XBi00,0.02),.DX=00X0.02X(i-0.02)=i.96.【答案】i.964.(20i6年全国n卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度岀险次数的关联如下：上年度出险次数01234 5保费0. 85aa1. 25a1.5a1. 75a2a设该险种一续保人一年内岀险次数与相应概率如下一年内出险次数01234 5概率0. 300. 150.200. 200. 100. 05(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保

6、费高岀60%的概率；(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内岀险次数大于 1，故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2) 设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高岀60%，则事件B发生当且仅当一年内岀险次数大于 3,故P(B)=0. 1+0. 05=0.15.又P(AB=PB),故P(B|A)=_.因此所求概率为一.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0. 85aa1. 25a1. 5a1. 75a2aP0. 300. 150.200. 200. 100. 0

7、5EX=).85aX0.30+aXO.15+1.25aX0.20+1.5aX0.20+1.75aX0.10+2aX0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.5.(2017 年山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者 接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者A，A,A,A4,A,A 和 4 名女志愿者BBBB,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.(2)用X表示接受乙

8、种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含Bi的事件为M则P(MJ(2)由题意知,X的可能取值为 0,1,2,3,4,则RX=0)=J,P(X=1)=一，RX=2)一，RX=3) ，P(X=4)=因此X的分布列为X01234PX的数学期望EX=0 xP(X=0)+1XP(X=1)+2XP(X=2)+3xP(X=3)+4xRX=4)=0+1X+2X +3X+4X=2.6.(2016 年山东卷)甲、乙两人组成 “星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动 中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分;如果只有一人

9、猜对，则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对，则“星队 得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是-,乙每轮猜对的概率是-;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 Bi的概率；(1) “星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2) “星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.【解析】(1)记事件A“甲第一轮猜对”，记事件B: “乙第一轮猜对”，记事件 C: “甲第二轮猜对”，记事件D“乙第二轮猜对”，记事件E:星队至少猜对 3 个成语”.由题意,E=ABCDBCD+ACD+ABD+ABC,由事件的独立性与互斥性

10、，RE)=PABCDpBCD+RA CD+PAhD+RABC)=PA)RB)P(C)P(D+p)RB)RC)P(D)+PA)p)P(C)P(D)+RA P(B) PT)P(D)+P(A)P(B)P(Q PH丄一一+2丄一一.L,所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为-.(2)根据题意，随机变量X可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得RX=0)二X_X_ X_=,P(X=1)=2X -RX=2)亠X_X_X-4 X-X_X_ 4 X-X_X_ + X-X_X_=,P(X=3)X - X - X -+X - X - X -JP(X=4)=2X -P(X=5) X-X-

11、X-=可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望EXX+1X-+2X一+3X-+4X-+6X.7.(2017 年全国皿卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售 岀的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单 位C)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300 瓶;如果最 高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20

12、)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时，丫的数学期望达到最大值?【解析】(1)由题意知，X的所有可能取值为 200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)一=0.4,F(X=500) -=0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20. 40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为 2

13、00,因此只需考虑 200n 500.当 300 n 500 时, 若最高气温不低于 25，则 Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则 Y=6X300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于 20,则Y=3X200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=nX0.4+(1200-2n)X0.4+(800-2n)X0.2=640-0.4n.当 200 n 0.5,确定n的最小值.(3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？【解析】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为

14、8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2X0.2=0.04;RX=17)=2X0.2X0.4=0.16;P(X=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24;P(X=19)=2X0.2X0. 2+2X0.4X0.2=0.24;P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08;P(X=22)=0.2X0.2=0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0. 040. 160.240.240. 20. 080. 04(2) 由(1)知P(X 18)=0.44,P(X 1

15、9)=0.68,故n的最小值为 19.(3)记丫表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n=19时,EY=19X200X0.68+( 19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500)X0.04=4040;当n=20 时,EY=!0X200X0. 88+(20X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080.所以当n=19 时所需费用的期望值小于当n=20 时所需费用的期望值，故应选n=19.考点三正态分布9. （2015 年山东卷）已知某批零件的长度误差（单位:毫米）服从正态分布N0,32）,从

16、中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）.附:若随机变量E服从正态分布N卩，b）,则P（g-bEg+b）=68.26%P（卩-2bEg+2b）=95.44%A.4.56%B.13.59%C.27.18% D.31.74%【解析】由正态分布的概率公式知P（-3E3）=0.6826,P（-6E6）=0.9544,故R3vE 1） 及X的数学期望.(2)天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(11 -3a，卩+3b)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过 程可能岀现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.1试说明上述监控生产过程方法的合理性.2下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件

17、的尺寸：9 95 10. 12 9.96 9 96 10.01 9 92 9 98 10.0410. 26 9. 91 10. 13 10. 02 9.22 10.04 10.05 9. 95经计算得一xi=9.97,s=厂=_- 一 -0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2，,16.人人用样本平均数-作为1的估计值，用样本标准差s作为a的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产人人 人人过程进行检查？剔除(-3,+3 )之外的数据，用剩下的数据估计1和a(精确到 0.01).2 16 -附:若随机变量Z服从正态分布N 1,a),则F(1-3aZ 1)=1-P(X=0)=1-

18、0.9974 -0.0408.X的数学期望EX=6X0.0026=0.0416.(2)如果生产状态正常，那么一个零件尺寸在(1-3a,1+3a)之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(1-3a,1+3a)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能岀现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.人人2由-=9.97,s- 0 212，得1的估计值为=9.97,a的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零人人 人人件的尺寸在(-3 ,+3 )之外,因此需

19、对当天的生产过程进行检查.人人 人人剔除(-3 ,+3 )之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为 一X(16X9.97-9.22)=10.02.因此1的估计值为 10.02.=16x0.2122+16X9.972- 1591.134,人人 人人2 2剔除(-3 ,+3 )之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为-X(1591.134-9.22-15x10.02)- 0.008,於虫搭搭込好搭込込卫壬壬込込命题调研|!： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ：高频考点：相互独立事件的概率、二项分布、正态分布、超几何分布、离散型随机变量的均值与方差命题特点：离散型随

20、机变量主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值和方差的概念重点考查n次独立重复试验的模型及二项分布，试题往往涉及古典概型、二项式定理等内容，其难度不会太大 正态分布主要考查随机变量在某一区间取值的概率，但题型可能较灵活，背景更新颖. 20. 1 离散型随机变量及其分布列曲搭禽筒搭脳汨 Jf 必 ItloiRL 酬込IF离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 _，所有取值可以- 列出的随机变量，称为_随机变量.离散型随机变量的分布列及其性质1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X1，X2,Xi，Xn，X取每一个值Xi（i=1,2，n）的概率RX=x）=p，以表格的形

21、式表示如下：XX1X2XiXnP因此b的估计值为0.09.上表称为离散型随机变量X的_2.离散型随机变量的分布列的性质：(1)pi0(i=1,2,，n);(2)_=1.三 常见的离散型随机变量的分布列1.两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1-pp其中p=RX=1)称为成功概率.2.超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=_,k=0,1,2,m其中 m=minMn，且nWN,M N,n,MNN*，称随机变量X服从超几何分布即X01mP?左学右考1若随机变量X的分布列中概率为P(X=i)=_(i=1,2,3)则P(x=2)等于().A

22、._C._D._2设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量X去描述 1 次试验的成功次数，则P(X=0)等于().A.0 B._C._D._队别北京上海天津八一人数4635若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为E，求随机变量E的分布列.知识清单一、 随机变量离散型二、 1.p1p2pipn概率分布列2.(2)pi+ p2+pn三、 2.- -基础训练1.【解析】由题意知，一+=1，二一=1，.a=3，.p(X=2)=.【答案】C2.解析】由已知得X的所有可能取值为 0,1,且P(X=1)=B.-3为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18 人组成女子排球国家队，队员来

23、源人数如下表2RX=0).由P(X=1)+PX=0)=1,得P(X=0)=-.【答案】C3.【解析】E的所有可能取值为 0,1,2.P(E=0)=一,P(E=1)=,P(E=2)J=_,故E的分布列为012P题型一离散型随机变量的分布列的性质X的分布列为X01234P0.20. 10. 10. 3m求:(1)2X+1 的分布列；|X- 1|的分布列.,0.2+0.1+0.1+0.3+m=,所以m=3,且 2X+和|X-1|的值(列表)为X012342X+113579【例i】 已知离散型随机变量【解析】由分布列的性质|X- 1|10123(1)2X+1 的分布列为2X+113579P0. 20.

24、 10. 10. 30. 3|X- 1|的分布列为|X-1|0123P0. 10. 30. 30. 3(1)利用分布列中各概率之和为1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)若X是随机变量，则n=|X-11仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法公式求对应事件的概率，进而写岀分布列.【变式训练 1】(1)设随机变量丫的分布列为Y-123Pm则“_w丫_”的概率为().A. -B. -C.-D. -(2)设随机变量X的概率分布列如下表X012Pa若F(x)=RXwx),则当x的取值范围是1,2)时，F(x)等于().A.- B.- C

25、- D.-【解析】(1)由题意知r+m+=1，解得m=.-=pY=2)+RY=3)=+_二.(2)由分布列的性质，得a+-+-T，解得a.又x1,2)所以F(x)=P(XWx)=+=.【答案】(1)C (2)D题型二两点分布【例 2】若离散型随机变量X的分布列如图，则常数c的值为().X01P9c2-c3-8cA. -或-B.- C.- D.1【解析】由随机变量的分布列的性质知2 29c-C0,3-8c0,9c -C+3-8c=1,解得C=-.【答案】C求离散型随机变量X的分布列的步骤：(1) 找出随机变量X的所有可能取值Xi(i=1,2,3,n);(2) 求出各取值的概率PX=x)=p;(3

26、) 列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确【变式训练 2】若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量E表示A在一次试验发生的次数，求D(E)的最大值.【解析】由题意可知，E服从两点分布，其分布列为E01P1-PP所以E(E)=0X(1-P)+1xp=p2 2 2D(E)=(-p)x(1-p)+(1-p)xp=p-p,由二次函数知识可得D(E)的最大值为-题型三超几何分布【例 3】为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服

27、药者，“+”表示未服药 者.(1) 从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于 60 的概率；(2) 从图中 AB,C,D 四人中随机选出两人，记E为选出的两人中指标x的值大于 1.7 的人数，求E的分布 列；(3) 试判断这 100 名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)【解析】(1)由题图可知，在服药的 50 名患者中，指标y的值小于 60 的有 15 人,所以从服药的 50 名患者 中随机选出一人，此人的指标y的值小于 60 的概率为一=0.3.(2)由题图知，AB,C,D 四人中，指标x的值大于 1.7 的有 2 人:A 和 C

28、.所以E的所有可能取值为 0,1,2.RE=0)=一二,RE=1 )=二,P(E=2)二.所以E的分布列为E012P(3)在这 100 名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考 察对象分两类；(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布 主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【变式训练 3】某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩(百分制)分布在50,100内，同时为了了解学 生爱好数学的情况，从中随机抽取了n名

29、学生，这n名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示.组数体能成绩分组爱好数学的人数占本组的频率第一组50,60)1000.5第二组60,70)195P第三组70,80)1200.6第四组80,90)a0.4第五组90,100300. 3(1) 求n,p的值;(2)用分层抽样的方法，从体能成绩在70,90)的“爱好数学”学生中随机抽取 6 人参加某项活动现从 6 人中随机选取 2 人担任领队，记体能成绩在80,90)内领队人数为X人，求X的分布列.【解析】(1)由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，得第一组的频率为 0.02X10=0.2,第一组

30、的人数为一=200,由总数等于频数除以频率得n =1000,第二组的频率为1-(0.02+).025+0.015+).01)x10=0.3,第二组的人数为 1000X0. 3,因此 p -=0.65.(2)80,90)内人数为 0.015x10 x1000=150,a=150X0.4=60,再根据分层抽样得在70,80)内抽出 4 人，在80,90)内抽出 2 人，随机变量 X=0,1,2,RX=0)二,RX=1)=,P(X=2)=二故X的分布列为X012P方法一公式法直接用公式计算离散型随机变量的分布列，主要考查两种类型：一是以排列、组合知识为基础，以摸球、 选取、数字等古典概型的求解为背景

31、；二是以相互独立事件、独立重复试验等概率的求解为基础求解其分布列.【突破训练 1】研究塞卡病毒(Zika Virus )某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后岀现Z症状的情况，做接种试验，试验设计每天接种一次，连续接种 3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天岀现Z症状的概率为假设每次接种后当天是否岀现Z症状与上次接种无关.(1) 若岀现Z症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；(2) 若在一个接种周期内岀现 2 次或 3 次Z症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续 3 个周期，设接种试验持续的接种周期数为E,求E的分布列.【解析】(1)试验至多持续一个接种周

32、期分三种情况：第一天岀现Z症状;直至第二天岀现Z症状;直至第三天岀现Z症状.试验至多持续一个接种周期的概率Pi=+x-+-X- x_=+.(2)随机变量E=1,2,3,设事件C为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次Z症状”，则P(E=1)=P(0=- x-+-=,P(E=2)=1-P(QXP(C)= X-=P(E=3)= 仁仁P(0 x1-P(C)lX1=所以E的分布列为E123P方法二方程法解题步骤1利用题干条件列方程；2利用方程计算概率问题适用情况适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题【突破训练 2】某工厂在试验阶段生产岀了一种零件，该零件有A B两项技术指标需要检测，设各项技

33、术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为一,至少有一项技术指标达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.(1) 求一个零件经过检测为合格品的概率；(2) 依次任意抽岀 5 个零件进行检测，求其中至多 3 个零件是合格品的概率；(3) 依次任意抽取该零件 4 个，设E表示其中合格品的个数，求E(E)与D(E).【解析】(1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P、已由题意得所以一个零件经过检测为合格品的概率为PiXP二.(3)依题意知，E服从二项分布，即EB，故E()=4X-=2，D()=4X-X-=1.(2)任意抽岀 5 个零件进行检测，其中至多3 个零件

34、是合格品的概率为1-1.（2017 莱芜模拟改编）设X是一个离散型随机变量，其分布列为X-101P2-3q2q【解析】由分布列的性质知解得q- .【答案】C2.（2017 福州调研）已知随机变量E和n，其中n=4E-2,且E（n）=7，若E的分布列如下表，则n的值为（）.E1234Pmn-【解析】n=4E-2?E(n)=4E(E)-2? 7=4xE( )-2?耳E)=?-=1x-+2xm+5xn+4x,又-+m+n+=1,联立可解得n=-，故选 A.【答案】A3.（2017 咸阳模拟）在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用X表示这 10 个村庄中交通不方便的

35、村庄数，则下列概率中等于 的是（）.则q的值为（A.1).B._ 士 一C.-D.-+A.-B.D.-A.P(X=6) B.P(X6)C.P(X=4) D.P(XW4)【解析】X服从超几何分布，RX=k -，故k=4,故选 C.【答案】C4.(2017 临沂月考)若随机变量X的分布列为X-2-10123P0. 10. 20.20. 30. 10. 1则当pXa)=0.8 时，实数a的取值范围是().A.(-32B.1,2C.(1,2D.(1,2)【解析】由随机变量X的分布列知,P(X-1)=0.1,PX0)=0.3,P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,则当RXa=0.8 时,实数a的取值范

36、围是(1,2.【答案】C5. (2017 宜昌模拟)若离散型随机变量X的分布列为X01P只29c -c3-8c则常数c=_,P(X=)=_【解析】由分布列的性质知，解得C=-，故P(X=1 )=3-8 X-.【答案】- -6.(2016 年南宁二模)设随机变量X的概率分布列为X1234Pm一则P(|X-2|=1)=_.【解析】由-+_+m+=1解得m=.由|X-2|=1,解得X=1 或X=3,所以P(|X- 2|=1)=P(X=1)+RX=3)=-+-J.【答案】一7.（2017 珠海模拟改编）在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一个球，记下它的颜色，然后放回，再取一 个球，又记下它的颜色

37、，求两次取出白球数X的分布列.【解析】X的所有可能取值为 0,1,2.RX=0)亠,P(X=1)=二,P（X=2）=所以X的分布列为X012P8. （2017 聊城模拟）随机变量X的分布列如下X-101Pabc其中a,b,c成等差数列，则P（|X|=1）等于（）.A.- B.- C. D.-【解析】Ta,b,c成等差数列,.2b=a+c.又a+b+c=1,.b=,.P(|X|=1)=a+c二.【答案】D9._ （2017 淮南模拟）袋中有 4 个红球和 3 个黑球，从袋中任取 4 个球，取到 1 个红球得 1 分，取到 1 个黑球得 3 分，设得分为随机变量X则RXw6）=.【解析】P（X 1

38、75 且y 75 时，该产品为优等品.现从上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数X的分布列.【解析】5 件抽测品中有 2 件优等品，则X的可能取值为 0,1,2.F（X=0）=0. 3,F（X=1）=一=0.6,RX=2）=0. 1.故优等品数X的分布列为X012P0. 30. 60. 111. （2017 渭南检测）有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第 二位,第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同

39、的次序排成一组 组成.(如:明文取的三个字母为AFP则与它对应的五个数字(密码)就为 11223)第一排明文字母ABC密码数字111213第二排明文字母EFG密码数字212223第三排明文字母MNP密码数字123(1) 假设明文是BGN求这个明文对应的密码.(2)设随机变量X表示密码中所含不同数字的个数.1求P(X=2)；2求随机变量X的分布列.【解析】(1)这个明文对应的密码是 12232.(2)因为表格的第一行均含数字 1,第二行圴含数字 2,所以当X=2 时，只能取表格第一、二列中的数字作为密码.所以P(X=2)=.由题意可知,X的可能取值为 2,3.所以P(X=3)=1-P(X=2)=

40、1-=.所以X的分布列为1X230012.(2017 潍坊模拟)袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为-.现在甲、乙两人从 袋中轮流摸取 1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取 取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在 每一次被取岀的机会是相等的，用X表示终止时所需要的取球次数.(1)求袋中原有白球的个数(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率.【解析】(1)设袋中原有 n 个白球，由题意知-=_所以n(n-1 )=6,解得n=3 或n=-2(舍去).即袋中原有 3 个白球.(2)由题意知,X的可能取值为 1,2,3,4,5.RX=1=;RX=2)j

41、=_；F(X=3)=RX=4)=F(X=5)=- =一.所以取球次数X的分布列如下表所示X12345P(3)因为甲先取，所以甲只可能在第 1 次、第 3 次和第 5 次取球.设“甲取到白球”的事件为A,则P(A)=F(X=1 或X=3 或X=5).因为事件“X=1 ”“X=3”“X=5 ”两两互斥，所以P(A)=PX=1)+RX=3)+RX=5)h+i=13. (2017 武威模拟)盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取出 1 个红色球 得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球.(1)求取出的 3

42、 个球中至少有 1 个红球的概率；(2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率;(3)设X为取出的 3 个球中白色球的个数，求X的分布列.【解析】(1)P=1-J.(2) 记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件B“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件C则所求概率为P(B+C=RB)+RC)=+J.(3)X的可能取值为 0,1,2,3,X服从超几何分布，所以P(X=k)=- ,k=0,1,2,3.故P(X=0)=,P(X=1)=P(X=2)=一,RX=3)d 所以X的分布列为X0123P 20. 2 二项分布与正态分布 淞嵌曲腳汩闵血*知识口賢条件概率1._ 定义:设AB为两个事

43、件，且RA)0,称RB|A)=_ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率2性质:(1)0P(B|A)w1.(2)_如果B和C是两个互斥事件，那么F(BUC|A)=_.二事件的相互独立性1._ 定义:设AB为两个事件，若P(AB=，则称事件A与事件B相互独立.2. 性质 若事件A与B相互独立 则A与一厂与B与一也都相互独立RB|A) =_,P(A|B)=_.三独立重复试验与二项分布1. 独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A(i=1,2，,n)是第i次试验的结果 贝 URAAA3A)=_.2. 二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验

44、中事件A发生的概率为p,则F(X=k)=_ (k=0,l,2，n)，此时称随机变量X服从_，记作_,并称p为成功概率.四正态分布1.定义如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足F(aX b)=$叮(x)dx,其中0“,x)=,x (-g，+汽那么称随机变量X服从正态分布，记为_.2. 正态曲线的性质曲线位于x轴_，与x轴不相交，与x轴之间的面积为 1;(2) 曲线是单峰的，它关于直线 _ 对称；(3) 曲线在_ 处达到峰值二;(4) 当卩一定时,曲线的形状由(T 确定,(T_,曲线越“瘦高”表示总体的分布越集中 2_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；(5) 当d一定时，曲线的位置由

45、 卩确定，曲线随着 卩的变化而沿x轴平移.3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值只-dXw+d)=;1-2dXw1+2_d)=;-3d2C- 1)=RXVC43)，求c的值.知识清单、1.- 2.(2)P(B|A)+F(C|A)二、1.P(A)P(B) 2.P(B)P(A)三、1.P(A)P(A)P(A)P(A)2.pk(l-p)n-k二项分布XB n,p)四、1.XNg,b2)2. (1)上方 (2)x=g(3)x=g(4)越小 越大3. (1)0.6826(2)0.9544(3)0.9974基础训练1.【解析】记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”R

46、A)=0.75RAB=0.6.由条件概率，得P(B|A)=0.8.【答案】A2.【解析】三次均反面朝上的概率是-=,所以至少一次正面朝上的概率是1一-=.【答案】D3.【解析】由题意知，第 12 次取到红球，前 11 次中恰有 9 次红球和 2 次白球.因为每次取到红球的概率为 -, 所以PX=12)=X - X - X=X - X -.【答案】D4.【解析】/XN3,12),.正态曲线关于x=3 对称.又 vp(X2c-1)=F(Xc+3),题型一条件概率【例 1】先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6 这六个数)两次，落在水平桌面后记正面朝上的点数分别为x,y

47、.设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x,y中有偶数，且x工y”，则概率RB|A)=().【解析】(法一)事件A为“x+y为偶数”，其所包含的基本事件数有(2,2),(4,4),(6,6),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4),(1,1),(3,3),(5,5),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,5),(5,3),共 18 种.事件AB为“x,y中有偶数，且X工y,x+y为偶数”,其包含的基本事件数有(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4)，共 6 种.由条件概率计算公式，可得P(B|A)=-.(法二)正面朝

48、上的点数(x,y)的不同结果共有=36(种).事件A为“x+y为偶数”，事件A为“x,y都为偶数”，事件A为“x,y都为奇数”，事件A包含事件A和事件A,且事件A与事件A为互斥事件，其中RA)= =亠亠, ,P( (A?)=)=二，二，所以RA) )=-4=-.事件B为“x,y中有偶数，且x工y”所以事件AB为“x,y都为偶数，且x工y”所以P(AB=根据条件概率公式，P(B)=【答案】B(1)利用定义,分别求PA)和P(AB,得RB|A)=，这是求条件概率的一般方法.(2)借助古典概型概率 公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB,得.2

49、c-1+c+3=3x2,c二.关键能力A.-B. -C.一D. -P(B|A)=.【变式训练 1】(1)某种电路开关闭合后，会岀现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后岀现红灯的概率为为- -，两次闭合都岀现红灯的概率为 -，则在第一次闭合后岀现红灯的条件下第二次岀现红灯的概率(2)如图，EFGI是以0为圆心,1 为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件记为事件A，“第二次闭合后岀现红灯”记为事件B,则RA)二二, ,P(AE)d,正方形(2)由题意可得，事件A发生的概率 RA) 形=圆事件AB表示“豆子落在EOHV,则RAB=圆故P(B|A)=【答案】- (2)-题型二

50、相互独立事件的概率【例 2】甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为-、-,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个加工为一等品的概率为 _.【解析】设事件A为“甲实习生加工的零件为一等品”，事件B为“乙实习生加工的零件为一等品” 则P(A)=-,RB)=-,所以这两个零件中恰有一个加工为一等品的概率为“豆子落在正方形EFGH内，B表示事件“豆子落在扇形0日朗日朗影部分) )内”则P( (B|A) )=【解【解析】(1) “第一次闭合后出现红灯Rf)+PTB)=RA) PL)+PT) RB)=- x- +- x-=.【答案】(2)依题意,5 位空降兵空降到地点

51、C相当于 5 次独立重复试验求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：1利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【变式训练 2】(1)已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击 4 次至少击中3 次的概率为().A.0.85B.0.8192 C.0.8D.0.75(2)国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为- -、- -、-.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有一人去北京旅游的概率为().A. B._ C._ D.【解析】(1)P=X0.83X0.2+X0.84

52、=0.8192,故选 B.(2)由于甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为- -、- -、- -，因此他们不去北京旅游的概率分别为- -、- -、-,-,所以至少有一人去北京旅游的概率为P=1- - X _ X _ =.【答案】(1)B (2)B题型三独立重复试验与二项分布【例 3】某架飞机载有 5 位空降兵依次空降到ABC三个地点，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一 个地点，且空降到每一个地点的概率都是-，用X表示地点C空降的人数.求：(1) 地点A空降 1 人，地点BC各空降 2 人的概率；(2) 随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)设“地点A空降 1 人，地点B,C各空降 2

53、 人”为事件Ml易知基本事件的总数n =35=243 个, 事件M发生包含的基本事件m=30 个.(2)依题意,5 位空降兵空降到地点C相当于 5 次独立重复试验故所求事件M的概率P(M)h=. XB -，且 X 的取值可能为 0,1,2,3,4,5.p(x=0)=xx2=一,随机变量X的分布列为X012345PE(X)=np=5X1.利用独立重复试验概率公式p(X=k)= pk(i-p)n-k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.

54、2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必取其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.【变式训练 3】社区服务是综合实践活动课程的重要内容，某市教育部门在全市高中学生中随机抽取了故P(X=k)=X _xX25-k.RX=1)=xRX=2)=XRX=3)=XP(X=4)=XP(X=5)=XX 24=一J3X2 =,X22=一JX21=,X20=一.200 位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),85,90),90,95),95,100(单位:小时)进行统计.其频 率分布直方图如图所示.(1) 求抽取的 200 位

55、学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取 1 人,其参加社区服务时间不少于90 小时的概率；(2) 从全市高中学生(人数很多)中任意选取 3 位学生，记X为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时 的人数，试求随机变量X的分布列和数学期望E(X).【解析】(1)根据题意，参加社区服务在时间段90,95)内的学生人数为 200X0.06X5=60;参加社区服务在 时间段95,100)内的学生人数为 200X0.02X5=20.所以抽取的 200 位学生中，参加社区服务在不少于90 小时的学生人数为 80.所以从全市高中学生中任意选取1 人,其参

56、加社区服务时间不少于90 小时的概率为PJ=.(2)由(1)可知,从全市高中学生中任意选取1 人,其参加社区服务时间不少于90 小时的概率为-.由已知得随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,则P(X=0)=X-X-=,P(X=1)=X-X-=一,P(X=2)=X_X一 ,F(X=3)=X - X -=,随机变量X的分布列为X0123P所以E(X)=3X-=-题型四正态分布【例 4】在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为().2附若XNA,b)，则P(卩-bX 卩+b)=0.6826,P(g-2aX 卩+2a)

57、=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772【解析】由XN,1)知,R-1X1)=0.6826,AP(0X 1)=X0.6826=0.3413,故S阴影部分0.3413.设落在阴影部分中点的个数的估计值为X则-=-, x=0000X0. 3413=3413,故选 C.【答案】C利用 3b原则求概率问题时，要注意把给岀的区间或范围与g,b进行对比联系，确定它们属于(g-b,g+b),(g-2b,g+2b),(g-3b,g+3b)中的哪个.【变式训练 4】已知二项式-的展开式中Xs的系数为 20,若随机变量E服从正态分布N(0,52),则从中随机取一个实数落在区间(3,6)内的

58、概率为 _._ 2附:若随机变量E服从正态分布g,b)，则P(g-bEg+b)=0.6826,P(g-2bEg+2b)=0.9544.2 6-r12-3r【解析】二项展开式的通项公式为Tr+1=(x) -= x，令 12-3r=S，得r=,=20,=3,S=3,由题意知，R3vE6)=【答案】0.1359=0.1359方法利用对称性求解正态分布问题利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=g对称，及曲线与x轴之间的面积为 1.掌握下面两个结论：(1) P(Xa=1-P(Xa);(2)P(X g+a).【突破训练】(1)某班有 50 名同学，一次数学考试的

59、成绩E服从正态分布N(110,101 2),已知R100W E 110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120 分以上有人.2(2)已知随机变量XNl,a),若P(0X2)=0.4，则P(X0)=().A.0.6 B.0.4C.0.3D.0.2【解析】(1)数学成绩E的正态曲线关于直线x=110 对称,vp(100 120)=RE w100)=X(1-0.34x2)=0.16.故数学成绩在 120 分以上的人数约为 0.16X50=8.(2)P(X 0)=X 1-P(0X.JXN1,/),/.p(X1)=,故选 C.【答案】C2 (2017聊城模拟)在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(4

60、,a2)(a0),若X在(0,8)内取值的概率为0.6, 则X在(0,4)内取值的概率为().A.0.2 B.0.3C.0.4D.0.6【解析】由正态分布，得P(0X4)=F(4X8).又因为F(0X4)+P(4X8)=F(0X5.【答案】C4.(2017 武汉模拟)小赵、小钱、小孙、小李到4 个景点旅游，每人只去 1 个景点，设事件A为“4 个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去 1 个景点”，则PA|B)=().A. 一 B._ C. D.【解析】小赵独自去 1 个景点，则有 4 个景点可选.剩下的三人只能在小赵剩下的3 个景点中选择，有3X3X3=27 种，所以小赵独自去 1 个景点，其他