CH4-4协方差与相关系数

1、Ch4-4-1X ,Y 的协方差的协方差 4.4 协方差与相关系数)()cov(EYYEXXEY ,XDYDXY,XXY)cov(无量纲无量纲若DX 0, DY 0 X ,Y 的的 相关系数相关系数一一. 定义定义(covariance)(correlation coefficient)Ch4-4-2 若若 ( X ,Y ) 为为离散离散型，型，若若 ( X ,Y ) 为为连续连续型，型，EYEXXYEY ,X)()cov(ijijjipEYyEXxY ,X11)()cov(dxdy)y, x( p)EYy)(EXx()Y ,Xcov( )()cov(EYYEXXEY ,X二二. 协方差的计算

2、协方差的计算1.用定义用定义2.常用公式常用公式Ch4-4-3(2) (3) (4) (5) )cov()cov(Y ,XabbY,aX)cov()cov()cov(Z,YZ,XZ,YXDXX,X)cov(1) 0)cov(a ,X)cov()cov(X,YY ,X)()(covEYYEXXEX,Y三三. 协方差的性质协方差的性质Ch4-4-4(1) (2) 1|XY1 |XY(6)Y ,X(DYDX)YX(Dcov2(7) 0)cov(Y ,X若 X, Y 独立,则)0,(1)(ababaXYP均常数四四. 相关系数的性质相关系数的性质Ch4-4-5DYY ,XDX)cov(22证明证明)(

3、)(XYDf即即Y 与与X 有线性关系的概率等于有线性关系的概率等于1DX)X,Y(cova)(cov1)cov(22DYDXX,YDYDXX,YDX令 )XaY(D)DY(XY21012XY1|XY(1) (2) 当 1|XY0)XaY(D1b)XaY(P1b)aXY(P时， , 0Ch4-4-61 |XYX, Y 完全线性相关1XYX, Y 完全正线性相关1XYX, Y 完全负线性相关10|XYX, Y 线性相关10XYX, Y 正线性相关01XYX, Y 负线性相关0XYX, Y 不不(线性线性)相关相关, 零相关零相关1. 概率意义概率意义Ch4-4-70XYX , Y 不相关X ,Y

4、 相互独立X , Y 不相关X , Y 不相关,但可能有其他关系DYEYYY ,DXEXXX其中XY)Y ,X(cov2.标准协方差标准协方差Ch4-4-8练练4-4-14-4-1 练习册P33 一.4,5,6二维正态分布的结论二维正态分布的结论3r.v.( X ,Y ) N(1,12;2,22; )则XY=0X, Y 独立X, Y 不相关若( X ,Y ) N(1,12;2,22; ),则二维正态分布的结论二维正态分布的结论4Ch4-4-9例例4-4-24-4-2 已知掷一枚硬币n次，令 X正面朝上的次数，Y反面朝上的次数，求解解 XYDYDX)Y ,Xcov(XYnYXDXDX)X,Xco

5、v()n ,Xcov(XnY)Xn(DDX)Xn ,Xcov(1DXDXCh4-4-10)cov()cov()cov()cov(22122111X,XX,XX,XX,X二维r.v.(X1,X2)的协方差矩阵五五. 协方差矩阵协方差矩阵212211)cov()cov(DXX,XX,XDX)cov()cov()cov()cov()cov()cov()cov()cov()cov(nn2n1nn22212n12111X,XX,XX,XX,XX,XX,XX,XX,XX,Xn维r.v.(X1,X2, , Xn)的协方差矩阵Ch4-4-11练练4-4-24-4-2 练习册4.4 P31 一、二.1,2,3,

6、4二.1. )Y ,X(DYDX)YX(Dcov2852DYDXDYDXXY37cov2)Y ,X(DYDX)YX(D4.4 一.1. 0;未必2.3. 不相关;未必4. 二维正态分布)Y ,X(DYDXcov2DYDXXYCh4-4-122. DYDXEYEX)XY(EDYDX)Y ,Xcov(XY22)EX()X(EDX22)EY()Y(EDY dxdy)y, x(xyp)XY(EDxydxdy010 dyxydxxx3210 dyxdx)X(Exx010 dyydx)Y(Exx0XY0)Y ,Xcov(Ch4-4-133.(1) DVDUEVEU)UV(EDVDU)V,Ucov(UVEV

7、bEYaEXEU02222EY)EX(DXEX)YbXa(E)UV(E22222222222222baba)ba()ba(2)0UV022ba|b|a|222)ba(DV)ba(DYbDXaDU22222Ch4-4-143.(1) DVDU)V,Ucov(UV)cov(covbYaX-bY,aX)V,U(2222222222baba)ba()ba(2)0UV022ba|b|a|DV)ba(DYbDXaDU22222)cov()cov()cov(-)cov(22YY,bYX,abYX,abXX,aDYbDXa22-222 )ba(Ch4-4-154.(1) 10)XY(EDYDXEYEX)XY(EXY1222)ZYX(E)EW(EWDW(2)1EZEYEX)ZYX(EEW1222222)XZYZXYZYX(E22222EZEY)EX(DXEX类似501.)YZ(EYZ5050.)XZ(E.XZ5DWCh4-4-16常见离散常见离散r.v.r.v.的期望与方差的期望与方差p1分布期望概率分布参数p的0-1分布q)X(P,p)X(P01pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), ,k,!ke)kX(Pk210G(p),k ,pq)kX(Pk211方差pqnpq2pqCh4-4-17分布期望概率密度U(a,b)其它,