初中函数知识点总复习

1、1 / 14（一）平面直角坐标系知识点归纳1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a, b）一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；3、x轴上的点，纵坐标等于 0;y轴上的点，横坐标等于 0 ； 坐标轴上的点不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P（x, y）所在的象限 川黄、纵坐标x、y的取值的正负性;a） 在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b） 在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;初中函数知识点总复习象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负

2、负第四象限正负-3-2-101 a-1-2-3（2）点P（x, y）所在的数轴町横、纵坐标x、y中必有一数为零;5、在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)，则（1） 点 P 到x轴的距离为b；（2）点P到y轴的距离为a；（3） 点 P 到原点 O 的距离为 PO=a2b26、平行直线上的点的坐标特征:Ai YBm *点 A、B 的纵坐标都等于XCnL Y- D1I-点 C、D 的横坐标都等于X P(a,b)2 / 147、对称点的坐标特征:(二)一次函数知识点归纳【基本要点】1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、 函数：一般的，在一个变化

3、过程中，如果有两个变量x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对 应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。注：这是课本对于函数的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：1、 函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=xz 中有三个变量，就不是函数； y=0 中只有 一个变量，也不是函数；而 y=0 (x0)却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应， 反之， 当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若 干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的

4、问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；3、 我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a 是 b 的函数就说明 a 是函数值，b 是自变量；用 y 表示x 就说明 y 是自变量，x 是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：Y=x2，只能说 y 是 x 的函数，就不能说 x 是 y 的函数；24、 函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成2y=3x-3 或 y =3x-3 的 形式；5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个

5、方面 把握：(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；(3) 关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4) 关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；(5) 实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。3、函数的图像a)点 P(m,n)关于x轴的对称点为R(m, n),即横坐标不变，纵坐标互为相反数;b)点 p(m,n)关于y轴的对称点为m, n)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数;点 P(m,n)关于原点的对称点为P3(m, n)，即横、纵坐标都互为相反数;dnLyP1m；亠p1n1_丄PnP1111t1IkmOmP3关于原点对称

6、8 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:a) 若点P(m, n)在第一、三象限的角平分线上，则m n，即横、纵坐标相等;b) 若点P(m, n)在第二、四象限的角平分线上，_则mn,即横、纵坐标互为相反数;在第一、三象限的角平分线上c)X关于 x 轴对称X关于 y 轴对称P2在第二、3 / 14一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组 成的图形，就是这个函数的图象.4、 函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5、 描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给岀一些自变量的值及其对应的函数值）；第

7、二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描岀表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描岀的各点用平滑曲线连接起来）。6、 函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列岀的对应值是有限的，不易看岀自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系， 不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、 正比例函数及性质一般地，形如 y=kx（k 是常数，kO 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y

8、=kx （k 不为零）k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0,图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0 时，向上平移；当 b0 或 ax+b0 （a，b 为常数，a0的形式，所以解一元一次不等式可以看5 / 14作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围13、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方

9、程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数ay=xbc的图象相同.b（2）二元一次方程组a x y c1y的解可以看作是两个一次函数a2x b2y c2a1y=b1Sa2x-和 y=xb1b2-2的图象交b2占八、【考点指要】一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型岀现在中考题 中，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解 题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！这里要强调的是 以下这些公式。1、一次函数解析式的

10、几种类型1ax+by+c=0 般式2y=kx+b斜截式（k 为直线斜率，b 为直线纵截距，正比例函数 b=0）3y-y1=k（x- xj点斜式（k 为直线斜率,（% , % ）为该直线所过的一个点）xyy1 -两点式（x1,y1）与（X2,y2）为直线上的两点）X1X2y1y2冬y=0截距式（a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截距）abx1x2 z z2.求函数图像的k 值：-（x1,丫1）与（x2,y2）为直线上的两点）y1y2223求任意线段长x1x2y1y2（ （xi,y1）与（x2,y2）为直角坐标系任意两点）x1x2y1y24、 求任意两点所连线段的中点坐标：（1-，1-）2 25

11、、 若两条直线 y =k1x+b1与 y=k2x+b2互相平行， 那么 k1= k2，b1工b26、 若两条直线 y =k1x+b1与 y=k2x+b2互相垂直，那么 k1xk2=-17、 将 y=kx+b 向上平移 n 个单位后变成 y=kx+b+n ;向下平移 n 个单位变成 y=kx+b-n8 将 y=kx+b 向左平移 n 个单位后变成 y=k （x+n ） +b ；将 y=kx+b 向右平移 n 个单位后变成 y=k （x-n） +b （任何图像的 平移都遵循上加下减，左加右减的规则9、 若 y =k1x+b1与 y=k2x+b2关于 x 车由对称， 那么 k1+ k2=0、b1+b

12、2=010、若 y =k1x+b1与 y=k2x+b2关于 y 轴对称，那么 k1+ k2=0、b1=b211、同理，y =k1x 与 y=k2x 关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质13、 y=kx （ k 是常数，k0必过点：（0，0）、（1，k）b14、y=kx+b 必过点：（0，b）和（-，0）k（三）反比例函数知识点归纳知识点 1 反比例函数的定义k一般地，形如y（ k 为常数，k 0）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解:xx 是自变量，y 是 x 的反比例函数；12、y=kx+b 与坐标轴围成的三角形面积为b22 k6 / 14自变量 x 的取值范围是x 0的一切

13、实数，函数值的取值范围是y 0;比例系数k 0是反比例函数定义的一个重要组成部分;7 / 14k由于反比例函数y（k 0）中，只有一个待定系数，因此,x比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x 0，函数值y 0，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：1列表时选取的数值宜对称选取；2列表时选取的数值越多，画的

14、图像越精确；3连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；4画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数有三种表达式:10)，y kx（k 0），x y k（定值）（k 0）；函数ykk 0)与x -y（k 0）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数,0）是反比例函数的一部分，当k=0 时，y（k 0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出知识点 2 用待定系数法求反比例

15、函数的解析式k，就不是反比例函数了，由于反比例函数xk 的值，从而确定反比例函数的表达式。只要一组对应值，就可以求岀k 的值，从而确定反8 / 149 / 14注意：描述函数值的增减情况时，必须指出在每个象限内”否则，笼统地说，当k 0时，y 随 x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像(双曲线)的位k置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。如y在第一、第三象限，则可知x(四)二次函数知识点归纳21定义：一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数22.二次函

16、数y ax的性质(1)抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴(2) 函数y ax2的图像与a的符号关系1当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；2当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2(a 0).3. 二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于4.二次函数y ax2bx c用配方法可化成：y5二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2 2y ax h k；y ax bxc.6抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点1a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时,k反比例函数y(k 0)中比例系数 k 的绝对值k的几何意义

17、。x如图所示，过双曲线上任一点P(x，y)分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为则k xy x y PFPES矩形OEPFk反比例函数y(kxk小,双曲线y越靠近坐标原点。x双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线0)中，k越大，双曲线yk越远离坐标原x1y%F_irETy=x 和直线 y= (包括重合)2a x h2 2 2y ax；y ax k:y a x h:开口向上；当a 0时，开口向下;垂足,点；|k越10 / 14a相等，抛物线的开口大小、形状相同11 / 142平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7顶点决定抛

18、物线的位置几个不同的二次函数，如果二次项系数小完全相同，只是顶点的位置不同对称轴是直线x h.（3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线 是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用2（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线x，故：b 0时，对称轴为y轴；- 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧;2aa3b0（即a、b异号）时，对

19、称轴在y轴右侧.a（3）c的大小决定抛物线y ax2bx c与y轴交点的位置.2当x 0时，y c,抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0,c）：c 0,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.K以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则一0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时x 0(y轴)(0,0)2 .y ax kx 0(y轴)(0,k)a相同，那么抛物线的开口方向、开口大8.求抛物线的顶点、对称轴的方法1）公式法:ax2bx c2a4ac b24a顶点是b 4a

20、c b22a 4a，对称轴是直线x（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为2y ax h k的形式，得到顶点为（h,k）.12 / 14.2y ax hx h(h,0)13 / 14y a x h2k开口向上当a 0时开口向下x h(h,k)y ax2bx cbx2ab 4ac b2(c，- -)2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式2（2 ）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标Xi、X2，通常选用交点式：y a x Xix X2.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y ax2bx c得交点为（0,c）.

21、（2） 与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2bx c有且只有一个交点（h,ah2bh c）.（3 ）抛物线与x轴的交点二次函数y ax2bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程2ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：1有两个交点0抛物线与x轴相交；2有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；3没有交点0抛物线与x轴相离.（4） 平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3） 样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k,则横坐标是ax2bx c k的两个实

22、数根.2（5） 次函数y kx n k 0的图像I与二次函数y ax bx c a 0的图像G的交点，由方程y kx n厂组2彳的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时I与G有两个交点；方y ax bx c程组只有一组解时I与G只有一个交点；方程组无解时I与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c与x轴两交点为Ax1,0,B x?,。，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故2（1）一般式：y axbx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式14 / 14bcXiX2,XiX2aa二次函数的解析式有三种形式:(1 )一般式:y2axbx

23、c(a, b, c 是常数， a 0)(2 )顶点式：ya(xh)2k(a,h,k 是常数， a 0)(3)当抛物线yax2bx c与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax2bx c 0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2bx c a(x xj(x x2),二次函数y ax2bx c可转化为两根式y a(x xj(x X2)。如果没有交点，则不能这样表示。考点三、二次函数的最值(10 分)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当Xb时，y最值4ac b2。2a4a如果自变量的取值范围是XiX X2，那么，首先要看K是否在自变量取值氾围X-!

24、XX2内,2a若在此范围内，则当x=b时，y最值4ac b24ac b；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1XX2范2a4a围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当x x2时，y最大ax；bx2c，当x x1时，y最小ax；bx1c;如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当x洛时，y最大ax；bx1c，2当x X2时，y最小ax2bx2c。AB x1x2XiX22x1x24xx24cb24ac15 / 140 x0 x(1 )抛物线开口向上，并向上无限延伸；(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；(2 )对称轴是 x= ，顶点坐标是(- ,(2)对称轴是 x= ，顶点坐

25、标是(,2a2a2a2a4ac b2、)4ac b2、)4a4a(3 )在对称轴的左侧，即当x.b时，y 随 x(3)在对称轴的左侧，即当xx 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右bx 时，y 随 x 的增大而减小，简记左2a2a增；增右减；(4)抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小(4)抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最2a2a/古4ac b2亠/古4ac b2值，y最小值，大值，y最大值，4a4a22、二次函数y ax bx c(a,b,c 是常数，a 0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上，a0 时，图像与当 =0

26、时，图像与当 0） 【或左（h0）【或向下（k0） 【或左（*0） 】平移|k|个单位向右 （h0） 【或左（h0） 】平移|k|个单位19 / 142.平移规律在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移; 概括成八个字同左上加，异右下减”.k 值正上移，负下移三、二次函数yk与y ax2bx c的比较20 / 1422请将y 2x 4x 5利用配方的形式配成顶点式。请将y ax2bx c 配成 y a x h k总结:2ax bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前四、二次函数y ax2bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a(x

27、h)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点 0, c、以及 0, c 关于对称轴对称的点2h , c、与x轴的交点 为，0， X2,0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点五、二次函数y ax2bx c的性质六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y2ax bx c （a， b，c为常数，a 0 ）;2.顶点式：ya（x2h） k （a，h，k 为常数，a 0）;3.两根式：ya（x xj(x X2) ( a 0，为，X2是抛物线与x轴两交点的横坐标)从解析式上看,2者，即 y a x a4ac b24a，其中h2 ,k心2a4a1当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x R，顶点坐标为丄如兰2a2a 4ax 一时，y随x的增大而减小；当2a值空4ax亦时，y随x的增大而增大；当2a 时，y有最小2当 a 0 时，抛物线开口向下， 对称轴为x恳，顶点坐标为b 4ac b22a 4ax的增大而增大；当 x一时，y随x的增大而减小；当 x2a卫时,2ay有最大值4ac b24a21 / 14注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数