函数的单调性例题

1、1.3.1 函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例 1 1作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间(1 1)y x21; ;(2 2)y x22x 3；(3(3)y x 1 (x 2)2; ;(4 4)y Jx26x 9 Jx26x 9相应作业 1 1:课本 P32P32 第 3 3 题. .题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论取值，即_ ；作差变形，作差_,变形手段有_、_、_ 、_等;定号，即_ ；下结论，即_。例 2.2.用定义法证明下列函数的单调性(1 1)证明：f (x) x31在上是减函数定义法证明单调性的等价形

2、式：设xi、X2a, b,XiX2, ,那么(XiX2) f(Xi) f(X2)f(Xi) f(X2)XiX2f (X)在 a,ba,b 上是增函数;(XiX2) f (Xi)f (X2)0f(Xi) f(X2)XiX2f (X)在a,b上是减函数(2)(2)证明：f (X)X2i X在其定义域是减函数;(3 3)证明：f (X)法一：作差,0上是增函数;法二：作商(4)已知函数y f(x)在0,上为增函数，且f(x) 0(X 0)，试判断F(X) 在f (x)0,上的单调性，并给出证明过程;方法技巧归纳判断函数单调性的方法：1 1 直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，

3、练习册P27P27(2 2)P31P31(上 5 5、1 1)2 2、图象法；3 3、定义法；4 4、运算性质法：1当a 0时，函数af (x)与f (x)有相同的单调性；当a 0时，函数af (x)与f (x)有相反的单调性；2当函数f (x)恒不等于零时，f (x)与丄 单调性相反；f(x)f(x)3若f (x)0,则f(x)与.f(x)具有相同的单调性；4若f(x)、g(x)的单调性相同，则f(x) g(x)的单调性与之不变；即：增+ + 增= =增减+ +减= =减5若f(x)、g(x)的单调性相反，则f(x) g(x)的单调性与f (x)同即：增- -减= =增减- -增= =增注意

4、：(1 1)可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式,再利用上述结论判断；(2)f(x)g(x)与瑶的单调性不能确定ax相应作业 2 2： (1 1 )讨论函数f(x) 在1,1上的单调性(a 0)；x 1k( 2 2)务必记住“对勾”函数f (x) x (k 0)的单调区间(见练习册P29P29 探究之窗. .x探究 1 1)知识拓展一一复合函数单调性(难点)一、 复习回顾：复合函数的定义：如果函数y f (t)的定义域为 A A,函数t g(x)的定义域为 D,D,值域为C,则当C A时，称函数y f(g(x)为f与g在 D D 上的复合函数，其中t叫做中间变

5、量，t g (x)叫层函数，yf (x)叫外层函数。二、 引理 1 1已知函数 y=fy=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在区间(a,b)(a,b)上是增函数，其值域为(c(c , d)d),又函数 y=f(t)y=f(t)在区间(c,d)(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=fy=f : g(x)g(x)在区间(a,b)(a,b)上是增函数引理 2 2 已知函数 y=fy=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在区间(a,b)(a,b)上是减函数，其值域为(c(c , d)d)，又 函数 y=f(t)y=f(t)在区间(c,d)(c,d)上是减

6、函数，那么，复合函数 y=fy=f g(x)g(x)在区间(a,b)(a,b)上是增函数. . 引理 1 1 的证明：重要结论 1 1：复合法则若t g(x)y f(t)则y fg(x)增增增减减增增减减减增减规律可简记为“ _ ”（四个字）重要结论 2 2:若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函 数中减函数的个数决定：若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合函数为减函数规律可简记为“ _ ”（四个字）题型三、求复合函数的单调区间例 3.3.求下列函数的单调区间. .（1 1）y .7 6x x2 3（ 2 2）v1yx22x 3小结：1 1、

7、注意： （1 1）求单调区间必先求定义域；2单调区间必须是定义域的子集；3 写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开. .2 2、判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成基本初等函数：y f（t）与t g（x）；确定两个函数的单调性；由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性 相应作业 3 3:求下列函数的单调区间题型五、已知单调性，求参数围 例 5.5.已知函数f(x) x 2(x a)x 2(1)若f(x)的减区间是，4，数a的值;(2)若f(x)在,4上单调递减，数a的取值围. .(2b 1)xb1,x0在R上为增函数，数b的取值围. .x2(2 b)x,

8、x 0(1 1)y8 2x x2(2 2)y1x22x 3(3 3)y1x24x单调性的应用题型四、比较函数值的大小例 4.4.已知函数y f (x)在0,上是减函数，试比较32f()与f(a a41)的大小. .例 6.6.若函数f (x)题型六、利用单调性，求解抽象不等式 例 7.7.已知函数y f(x)是1,1上的减函数，且f(1 a)x例 8.8.已知f(x)是定义在0,上的增函数，且f( ) f(x) f(y)，且f1，解不y1等式f (x) f ()2. .x 3上的增函数，且f(xy) f(x) f (y)，且f (2)1，解不等式f (x) f (x 2)3. .题型七、抽象函

9、数单调性的判断一一定义法解决此类问题有两种方法:凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试2f (a 1)，数a的取值围. .相应作业 4 4:已知f(x)是定义在0,例 9.9.已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(x y) f (x) f (y)，且当x 0时f(x) 0,求证：f (x)在 R R 上单调递增例 10.10.已知定义在0,上的函数f (x)对任意x、y0,，恒有f(xy) f (x) f (y)，且当0 x 1时f(x) 0，判断f(x)在0,上单调性. .相应作业 5 5：定义在0,上的函

10、数f (x)对任意x、y0,，满足f(m n)f (m) f(n)，且当x 1时f(x) 0. .(1 1 )求f (1)的值；(2 2)求证：f(m)f (m) f (n)；n(3)求证：f(x)在0,上是增函数;函数的最大(小)值1 1、函数的最大(小)值定义2 2、利用单调性求最值常用结论f (x)在闭区间a,b上单调递增，在闭区间b,c上单调递减，那么函数y f (x)，x a,c在x b处有最大值，即ymaxf (b)；(5)若函数y f (x)在闭区间a,b上单调递减，在闭区间b,c上单调递增，那么函数y f (x)，x a,c在xb处有最小值，即yminf (b). .题型八、单

11、调性法求函数最值(值域)1例 1111、( 1 1)函数f(x) -在1,5上的最大值为 _, ,最小值为 _2x 1(2)(2)_函数y红在2,4上的最大值为, ,最小值为_ ; ;x 1(3)(3)_函数y 2x J1 2x的值域为; ;(4)(4) 函数y vx Vx 1的值域为_ ; ;1(5)(5)_函数y*2厂 2 2 的值域为(4)若f(2)1，解不等式f (x 2)f (2x)2;(1(1)若函数 y yf (x)在闭区间a,b上单调递增，则yminf (a)，ymaxf (b)；(2)若函数yf (x)在闭区间a,b上单调递减，则yminf (b)，ymaxf(a)；(3)若

12、函数yf (x)在开区间a,b上单调递增，则函数无最值，但值域为f(a), f(b)；(4(4)若函数 y y1 xy -(6)函数x的值域为二次函数在给定区间二次函数的区间最值的求法m, n上求最值，常见类型：(1)定轴定区间：对称轴与区间m, n均是确定的；(2) 动轴定区间：(3) 定轴动区间：(4) 动轴动区间：1 1、定轴定区间可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。例 12.12.当2 x 2时，求函数y x22x 3的最值. .2相应作业 6 6:求函数y x 4x 5在1,5上的最值. .2 2、动轴定区间例 13.13.已知函数f(x)x22ax 2，求f(x)在5,5上的最值. .动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、部三种情况进行讨论， 最值在区间端点处还是在顶点处取得 . .3 3、定轴动区间x22x 2，当x t,t 1时，求f (x)的最小值g(t). .相应作业 8 8：已知函数f (x)x24