2018-2019学年高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线高效演练新人教A版选修4-4

1、四、渐开线与摆线高效演练知能提升A 级基础巩固一、选择题1 关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（）A. 只有圆才有渐开线B. 渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C. 正方形也可以有渐开线D. 对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有.渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的为参数）.故选 A.答案：A图形也不相同.对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系,画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形

2、在坐标系中的位置可能不同.答案：C2直径为 12 的圆的摆线的参数方程是（）A.x=66 6sin6 ,6，（6为参数）y=66cos6B.x=66 sin6（6为参数）y=6cos6C.x=66 6cos6 ,丄（6为参数）y=66si n6D.x=66 cos6 ,（6为参数）y=6sin6解析：因为 2r= 12.所以r= 6.所以该圆的摆线的参数方程为x= 6 6siny= 6 6cos66,（63. F 列各点中, 在圆的摆线x= 6 sin6 ,（6为参数）上的是（A. （n ,0）B.（n ,1）C.（2n ,2）D. （2n ,0）答案:4.圆rx= 3cosy= 3sin（0

3、为参数）的平摆线上一点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是答案：C二、填空题|x= 3 3sin ,6.已知一个圆的摆线的参数方程是（为参数），则该摆线一个拱|y= 3 3cos 的高度是 _ ;一个拱的跨度为 _.解析：当 =n时，y= 3 3cosn= 6 为拱高；当 = 2n时，x= 3X2n 3sin 2n=6n为跨度.答案：66nx=cos0 + 0sin0 ,7.已知圆的渐开线的参数方程是（0为参数），则此渐开线对|y=sin0 0cos0n应的基圆的直径是 _，当参数0=才时对应的曲线上的点的坐标为 _.解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1,(

4、)A.nB. 3nC. 6nD. 10n解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为x= 3 3sin , (为参数)，把y= 0 代入,y= 3 3cos 得 cos = 1,所以 = 2kn(k Z),答案：Cx= 3cos ,I Q ,( y= 3s in =n对应的点A与点B, 2 之间的距离为(5.已知一个圆的参数方程为为参数），那么圆的摆线方程中与参数解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3,那么它的摆线的参数方程为x=3( sin ),niy=3(1 cos )(为参数)，把 2代入参数方程中可得 jy=3即A3A.n- 1 B. 2 C. 10所以|AB=10.故直径为 2.把0

5、=于代入曲线的参数方程， 得x=+2 冗,y= 12冗,由此可得对42828&已知圆的方程为X2+y2= 4,点P为其渐开线上的一点，对应的参数0 =n，则点Pn当0=2 时，x=n,y= 2,故点P的坐标为 Rn, 2).答案：(n, 2)三、解答题x=2(cos0 + 0sin0 ),9.已知渐开线的参数方程是彳(0为参数)，求当参数0|y=2(sin0 0cos0 )n为g和n时对应的渐开线上的两点AB之间的距离.nX= n ,X =2,解：当0=可时，当0=n时，2iy=2，ly=2n,所以An, 2),耳2, 2n),所以 |AB=(n+ 2)2+( 2 2n)2= 5n2

6、4n+ 8.rx=6(cos0 + 0sin0 ),10. 渐开线方程为 (0为参数)的基圆的圆心在原点，把|y=6(sin0 0cos0 )基圆的横坐标伸长为原来的2 倍得到曲线C,求曲线C的方程，及焦点坐标.解：由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2+y2= 36.2 2 2把横坐标伸长到原来的2 倍，得到椭圆方程4+y2= 36，即144+ 36= 1 ,对应的焦点坐标为(63, 0)和(一 6 3, 0).B 级能力提升1.如图，ABCD是边长为 1 的正方形，曲线AEFGH叫作“正方形的渐开线”，其中AEEF FG GH的圆心依次按B、C D A循环，它们依次相连接，则曲

7、线AEFG长是()的坐标为_ .解析：由题意，圆的半径r(0为参数)2，其渐开线的参数方程为x=2(cos0 + 0sin0 ),y=2(sin0 0cos0 )113n1半径为 2 的4圆周长，长度为n;F锲半径为 3 的4圆周长，长度为2；GH是半径为 4 的4圆周长，长度为 2n.所以曲线AEFGH的长是 5n.答案：CX= 4 (t sint),2.摆线八(t为参数，OWt2n)与直线y= 4 的交点的直角坐标为|y= 4 (1 cost)解析：由题设得 4= 4(1 cost)得 cost= 0.因为t 0 , 2n)，所以t1= ,12=，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2n4,4),(6n +4,4).答案：(2n 4, 4) , (6n+ 4, 4)1+6COSa ,3.已知圆C的参数方程(a为参数)和直线I的普通方程xy 6 2iy= 2+ 6sinav=0.A. 3nC. 5nB.4nD. 6n解析：根据渐开线的定义可知，AE是半径为 1的:圆周长，长度为；，继续旋转可得EF是(1) 如果把圆心平移到原点O,那么平移后圆和直线满足什么关系？(2) 根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程