2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布学业质量标准检测新人教A版选修2-3

1、第二章学业质量标准检测时间 120 分钟，满分 150 分.、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.设随机变量E等可能取值 1、2、3、n,如果P（E4） = 0.3，那么n的值为（D ）A. 3解析 P(E4) =3= 0.3 ,n= 10.11,2.)若 0p1p22,则(解析由题意可知Ei（i= 1,2）服从两点分布,曰E1)= P1,E(E2)=p2,D(E1)= P1(1PJ,D(E2)=5(1 P2).又 0P1P22 ,E E1)E E2).把方差看作函数y=x（1 x）,1根据 0E1E22 知，D(

2、E1)D(E2).故选 A.3. （2018 全国卷n理，8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30= 7+ 23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是（C ）解析不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ，共 10 个，随机选取两 个不同的数，共有Co= 45 种情况，而和为 30 的有 7+ 23,11 + 19,13 + 17 这 3 种情况，故选 C.4. （2018 天水高二检测）设随机变量X服从正态分布 N3,4），则R*1

3、 3a） =P（冷a2C. 9D.10B.2. (2017 浙江理,8）已知随机变量Ei=0)=1 Pi,(i =A.E(E1)E(E2),D(E1)D(E2)B.E1)D(E2)C. E(E1)E(E2),QE1)E(E2),E1)D(E2)C.丄15D.丄18所求概率为鲁=45115+ 7）成立的一个必要不充分条件是（B ）A.a=1 或 2B.a= 1或 23 ,522解析 xN3,4) ,P(Xa+ 7),2(1 3a) + (a+ 7) = 2X3,-a= 1 或 2.故选 B .5.如果随机变量EB(n,p)，且E(E)=7,D(E) = 6，则p等于(A )11A.B. 7611

4、C.5D.4解析如果随机变量EB(n,p)，贝U EE=np,DE=np(1 p),1又E(E) = 7,D E) = 6,.np= 7,np(1 p) = 6,.p= 7.36.盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么概率是 五的事件为(D.解析小球落入B袋中的概率为 R= (2xIX-)X2= 4,小球落入A袋中的概率为C.a=2A.恰有1 只是坏的B. 4 只全是好的C.恰有2 只是好的D.至多有 2 只是坏的解析C7C4-kX=k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X=k) =4(k= 1、2、3、4).C101311P(X=1)= 30,P(X

5、=2)= 10,P(X=3)= 2，P(X=4)= 6，-选C-7将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中， 将 3 次遇到黑色障碍物， 最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是A袋中的概率为(D )4B.4一局得分的数学期望为1,则ab的最大值为（C ）& （2018 二模拟）袋中装有 4 个红球、3 个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是解析甲摸到白球后，袋中还有 4 个红球，2 个白球,故选 B.9有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标

6、有数字 5，从中任意抽出 3 张卡片，设 3 张卡片上的数字之和为X,则X的数学期望是（A ）A. 7.8B. 8C. 16D. 15.6解析X的取值为 6、9、12 ,RX= 6) = C8= ,Rx=9)= Cf=右P(X=10 11=罟=点771曰为=6X亦+9X亦+12x亦=7.8.10 . （2018 淄博一模）设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X2N800,50 ）.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900 的概率为Q,则p。的值为（参考数据：若XN卩，6），有R卩b v xw卩 +6） = 0.6826 ,P（卩2 rv X 卩 + 2 ）=0.9544, P(卩3b

7、V XW+3b)=0.9974)( A )A. 0.9772C. 0.99742解析/ XN800,50 ). R700w X 900) = 0.0228 ,RX)=石，P(B|A) = 11,故对错； F(B) =P(AB) +F(AE) + RAE) =P(A) F(B| A)1514349+P(A)P(B|A) +P(As) RBA)=寸右+石+和x石=方，故错误.综上知，正确结论的序号为.三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)17.(本题满分 10 分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到A B、C三个社区参加社 会实践，要求每个社

8、区至少有一名同学.(1) 求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2) 求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3) 设随机变量E为四名同学中到A社区的人数，求E的分布列和 日E)的值.A1解析记甲、乙两人同时到A社区为事件M那么RM=CA3= 18，1即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.18(2) 记甲、乙两人在同一社区为事件E,那么A312 =CAT6，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是5RE) = 1-P(日=-.6(3) 随机变量E可能取的值为 1,2.事件“E=i(i= 1,2) ”是指有i个同学到A社区，NTCAA1则p(E =4=CTT 3.所以p(E= 1) = 1 -p(E= 2)

9、 = 3,E的分布列是：414EE)=1x3+2x3=3.18.（本题满分 12 分）（2017 让胡路区校级模拟）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选 手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为（1）求比赛三局甲获胜的概率；求甲获胜的概率；设甲比赛的次数为 X,求 X 的数学期望.解析记甲n局获胜的概率为Pn,n= 3,4,5 ,3238（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3= c3（3）3= 27；2231 8比赛四局甲获胜的概率是：P4=C3（3）3（3）= 27；2122216 比赛五局甲获胜的概率是：P5= C2（）（）=3381记乙n局获胜的概率为Pn,n= 3,4,5

10、故甲比赛次数的分布列为:X345RX)P3+P3R+ RP+ R所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3( 27+27) + 4(27 + 27) + 5(81+ 81) =10719.（本题满分 12 分）（2017 山东理，18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评 价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来 评价两种心理暗示的作用现有6 名男志愿者A,A, A A A5,A和 4 名女志愿者B1,B,B, Bs 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示

11、.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率；（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX解析（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B1的事件为M心C45则P（M =CT荷（2）由题意知X可取的值为 0,1,2,3,4,23.甲获胜的概率是:64F3，=詁3=丄,3 丿 2712 2P4=氏3)3(3)=27；F5881；d 1则P（X=0）=矿42曲 51)=CO=21，比 10P(X=2)=C=21，CC 1F(X=4)=蔬=42-因此X的分布列为X01234P1510514221212142X的数学期望EX=0X FX= 0)+1X F

12、X= 1)+2X FX= 2)+3X F(X=3)+4X F(X= 4) = 0+1X看+20.（本题满分 12 分）（2016 天津理，16）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已 知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为 3,3,4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.（1）设A为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.解析（1）由已知有F=奢=3.1所以，事件A发生的概率为-.3随机变量X的所有可能取值为0,1,2F(X= 3)=521,2X1

13、0+3X21521+4X142F(X= 0)=C3+ d + C2do4=1?Rx=1)=dd+CC4=7C10=15，F(X= 2)=dc4=4C = 15.所以，随机变量X分布列为:X012P47_4151515474随机变量X的数学期望E(X) = 0X15 + 1X15+ 2X = 1.21.(本题满分 12 分)从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数7 和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2) 由直方图可以认为， 这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(

14、卩，d2)，其中近似为样本平均数x,d2近似为样本方差S2.1利用该正态分布，求p(187.8Z212.2);2某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X).附：J5012.2 .2若ZN卩，d)，贝 yF(卩一dZu+d)=0.6826, P(卩一 2dZ 卩+2d)=0.9544.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数匚和样本方差S2分别为x =170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+230X0.02=200,2 2

15、2 2 2S =(30)X0.02+(20)X0.09+(10)X0.2 2+0X0.33+10X0.24+2 220X0.08+30X0.02=150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而R187.8Z212.2) =P(220 12.2Z200 + 12.2) = 0.6826 .由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 ,依题意知XB(100,0.6826)，所以E(X) = 100X0.6826 = 68.26 .22.(本题满分 12 分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，12比赛随即结束，除第五局甲队获胜的

16、概率是-外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是-.假设23各局比赛结果相互独立.(1) 分别求甲队以 3 : 0,3 : 1,3 : 2 胜利的概率；(2) 若比赛结果为 3 : 0 或 3： 1，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为 3 : 2, 则胜利方得 2 分、对方得 1 分，求乙队得分X的分布列及数学期望.解析(1)依次将事件“甲队以 3 : 0 胜利”、“甲队以 3 : 1 胜利”、“甲队以 3 : 2 胜利”记作 A、A、A,由题意各局比赛结果相互独立，238故P(A)=(3) = 27，9222 2 8RA)=d (3)(1-3)X3=27，2214HA) = C(3)(1-3)x芦 27-所以甲队以 3 : 0 胜利、以 3 : 1 胜利的概率都为 另，以 3 : 2 胜利的概率为 27-(2)设“乙队以 3 : 2 胜利”为事件 A,则由题意知o222214H A)= d(1-才( 3x(1 2 = 27-由题意，随机变量X的所有可能取值为 0、1、2、3,由事件的互斥性得，16 R X= 0) = RA + A) = RA) + P(A)=刃,RX=3)=1-RX=0)- RX=1)- RX=2)=27,或P(X=3)=(1-1)3+&(1-|)2x|x2=27X的分布列为：X01