2017年中考数学专题复习新情景问题

1、1新情景问题【专题点拨】新情境应用问题有以下特点：(1)问题的背景材料新而不陌生，提出的问题新而不怪；(2)注重考查阅读理解能力，许多这类的试题所涉及的数学知识不多也不难，但能读、读懂题目是问题解答的关键；(3)注重考查问题的转化能力解答这类应用性问题的难点是能否将实际问题抽象转化为数学问 题，在问题转化中的关键是对题目进行认真的阅读，冷静的思考，针对性的分析【解题策略】从阅读情景入手T理解情景内容和要求T针对问题进行转化T将实际问题转化为数学问题T借助数学知识解答【典例解析】类型一：几何型新情景问题例题 1:(2016 江西 10 分)如图，将正 n 边形绕点 A 顺时针旋转 60后，发现旋

2、转前后两图形有另一交点 O,连接 AQ 我们称 AO 为“叠弦”；再将“叠弦” AO 所在的直线绕 点 A 逆时针旋转 60后，交旋转前的图形于点 P,连接 PQ 我们称/ OAB 为“叠弦角”， AOP 为“叠弦三角形”.【探究证明】(1) 请在图 1 和图 2 中选择其中一个证明：“叠弦三角形” ( AOP 是等边三角形；(2) 如图 2,求证：/ OABMOAE 【归纳猜想】(3)图 1、图 2 中的“叠弦角”的度数分别为15 , 24；(4)图 n 中，“叠弦三角形”是 等边三角形(填“是”或“不是”)(5)_ 图 n 中，“叠弦角”的度数为(用含 n 的式子表示)2(1 )先由旋转的

3、性质，再判断出 APDA AOD；最后用旋转角计算即可;(2) 先判断出 Rt AEM2 Rt ABN 在判断出 Rt APM2 Rt AON 即可;(3) 先判断出厶 AD gAABO 再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可;(4) 先判断 APFAE F,再用旋转角为 60,从而得出厶 PAO 是等边三角形;(5)用(3)的方法求出正 n 边形的，“叠弦角”的度数.【解答】解：(1)如图 1,/四 ABCD 是正方形,由旋转知：AD=AD； / D=Z D=90,/ DAD=Z OAP=60 ,/ DAPd DAO,APDAOD( ASA) AP=AO/ OAP=60 ,:c;

4、o【解析】几何变换综合题.召厂圉1 (n=4)cD.卩IQa* 百oBfCr图3( n=6)A-号E3B CI3AOP 是等边三角形,(2)如图 2,* H作 AMLDE 于 M,作 ANLCB 于 N.五 ABCDE!正五边形，由旋转知：AE=AE,/ E=ZE=108 ，/ EAE=ZOAP=60/EAP2EAOAPEAAOE(ASA)/OAE=ZPAE在 Rt AEM 和 Rt ABN 中，/ AEMMABN=72 , ? AE=AB Rt AEM2 Rt ABN ( AAS ,/EAMMBAN AM=AN在 Rt APM 和 Rt AON 中，AP=AO AM=AN Rt AP 曜 R

5、t AON ( HL)./PAMMOAN/PAEMOABMOAE=MOAB (等量代换).(3)由(1)有， APDAAOD；MDAPMD AO在厶 ADO和 ABO 中，;AD?=ABA0=A0，AD OAABOMD AOMBAO由旋转得，MDAD =60,4/DAB=90 ,/D AB=/ DAB-ZDAD =30,/D AD= Z D AB=15 ,2 2同理可得，/ E AO=24 ,故答案为：15, 24(4)如图 3,六边形 ABCDE 和六边形 A B C E F是正六边形,ZF=F =120，由旋转得，AF=AF , EF=E F,APFAAE F,ZPAF=/ E AF,由旋

6、转得，ZFAF =60, AP=AOZPAOZFAO=60, PAO 是等边三角形.故答案为：是(5)同(3)的方法得，ZOAB=( n - 2)x180- n-60 -2=60 故答案：60-.变式训练 1:(2016 山东省德州市 4 分)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图 1,四边形 ABCD 中，点 E, F, G, H 分别为边 AB, BC CD, DA 的中点.求证：中点四边形 EFGH 是平行四边形；5(2) 如图 2,点 P 是四边形 ABCD内一点，且满足 PA=PB PC=PD/ APB= CPD 点 E,F, G, H

7、分别为边 AB, BC, CD DA 的中点，猜想中点四边形 EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使/ APB=/ CPD=90，其他条件不变，直接写出中点四边图1圉丄类型二：方程型新情景问题例题 2: (2016 四川攀枝花)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度. 若每月用水量不超过 14 吨(含 14 吨)，则每吨按政府补贴优惠价m 元收费；若每月用水量超过 14 吨，则超过部分每吨按市场价 n 元收费.小明家 3 月份用水 20 吨，交水费 49 元；4 月 份用水 18吨，交水费 42 元.(1 )求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？(2)

8、设每月用水量为 x 吨，应交水费为 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数关系式；(3) 小明家 5 月份用水 26 吨，则他家应交水费多少元？【考点】一次函数的应用.【分析】(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场调节价为 n 元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；(2)根据用水量分别求出在两个不同的范围内y 与 x 之间的函数关系，注意自变量的取 值范围；(3) 根据小英家 5 月份用水 26 吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值 即可.【解答】解：(1 )设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场调节价为 n 元.614昭(20- 14)rr4S14昭(18 -7解得：d

9、 ,n=3. 5答：每吨水的政府补贴优惠价2 元，市场调节价为 3.5 元.(2)当 OWxw14 时，y=2x;当 x14 时，y=14X2+(x-14)x3.5=3.5x-21,(3)T2614,小英家 5 月份水费为 3.5X26- 2 仁 69 元，答：小英家 5 月份水费 69 吨.【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围.变式训练 2:(2016 青海西宁 10 分)青海新闻网讯：2016 年 2 月 21 日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用. 市政府今年投资了 112 万元

10、，建成 40 个公共自行车站点、 配置 720 辆公共自行车今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车预计2018 年将投资 340.5 万元，新建 120 个公共自行车站点、配置 2205 辆公共自行车.(1) 请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？(2 )请你求出 2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.类型三：不等式型新情景问题例题 3: (2014?甘肃白银、临夏，第 20 题 6 分)阅读理解:【解答】：由题意得 2x-( 3 -x) 0,去括号得：2x- 3+x 0,故所求函数关系式为:y= *3* 5x - 21 (x14)规定他

11、的运算法则为| : j=ad-be.如2 3-=2X5-3X4=4 5如果有0，求x的解集_我们把称作二阶行列式,8移项合并同类项得：3x 3,39把x的系数化为 1 得：x 1变式训练 3:（2016 山东潍坊 3 分）运行程序如图所示， 规定：从“输入一个值 x”到“结果是否 95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是（）旳-1M2f+1A.x11 B.1Kxv23 C.11vx23 D.x23类型四：函数型新情景问题例题 4：（2016 湖北黄石 8 分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 & 30 开门后经过的时间

12、（分钟），纵坐标 yy=b(x_90 ) +ns30 x 9010： 00 之后来的游客较少可忽略不计.（1 ）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684 人，后来的人在馆外休息区等待.从 10: 30 开始到 12: 00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4 人，直到馆内人数减（2）先求出馆内人数等于 684 人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624 人时的时间,即可解决问题.21【解答】解（1）由图象可知，300=ax302,解得 a=,n=700, bX(30- 90)2+700=300,解得 b=-,9j-x表示到达科技馆的总人数. 图

13、中曲线对应的函数解析式为10-y(x- 90)2+700 (30X95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么A.x11 B.1Kxv23 C.11vx23 D.x2318【解析】一元一次不等式组的应用根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于 95 列出不等式组，然后求解即可.2x4-1 95 J 2(2x+l)95(?：解不等式得，XW47,解不等式得，xw23,解不等式得，x 11,所以，x 的取值范围是 11vx0),由折叠有，PD=PA:了=c，c=13T直线 OP 解析式为1312),抛物线需要向下平移的距离=313 =2312 12即抛物线向下平移或

14、亠距离，其顶点落在OP上.【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标.变式训练 5:（2012 山东省临沂市，19, 3 分）读一读：式子“ 1+2+3+4+100”表示从 1100 个连续自然数的和,由于式子比较长,书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为开始的100二n,n m这里“ a ”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算2012:.n；1)2223【答案】20122013【解析】 式子“ 1+2+3+4+100 ”的结果是【能力检测】4 分）我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数

15、量，即“结绳计数” 如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（【解析】用数字表示事件类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一 的数为：千位上的数X73+百位上的数X72+十位上的数X7+个位上的数.32【解答】解：1X7+3X7+2X7+6=510,故选 C.2.（2016 山东省滨州市4分）某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示:技上出投罚篮riTT.助个术场时间手投篮中球得分板攻（次）人总得（分钟） (次)(分10(100 -D即1007 n =10(100 1 ；-;22n 41又1111 1,二

16、-一,1X222 32 31 1111 11 1 彳1 +=1- +-+-+ - =1-122 3n (n 1)22 3n n 1n 12012-1-1.1= 1-11 22 32012 20132n生n(n 1)20121=1-1=20122013201320131.（2016 浙江省绍兴市510 D 132624次）个）数466622101186025据注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球.根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2 分球和 3 分球各几个.【考点】二元一次方程组的应用.【分析】设本场比赛中该运动员投中2 分球 x 个，3 分球 y 个，根据投中 22 次，结合罚球得分

17、总分可列出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论.時尸22，：丄匕y=6答：本场比赛中该运动员投中2 分球 16 个，3 分球 6 个.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方 程（或方程组）是关键.3.（2015?四川凉山州第 24 题 8 分）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的 底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫 梯形的中位线梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行

18、于两底和，并且等于两底和的一半.如图（1）:在梯形 ABCD 中: AD/ BC E、F 是 AB CD 的中点 EF/ AD/ BCEF= （AD+BC材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）:在厶 ABC 中：/ E 是 AB 的中点，EF/ BC F 是 AC 的中点请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题.【解答】解：设本场比赛中该运动员投中2 分球 x 个，3 分球 y 个,依题意得:解得:26如图（3）在梯形 ABCD 中, AD/ BC, AC 丄 BD 于 O, E、F 分别为 AB CD 的中点，/ DBC=3027(1) 求证：EF=AC(2

19、) 若 0D=, OC=5 求 MN 勺长.图(1)图(2)图【解答】：(1)证明：TAD/ BC/ ADOMDBC=30,在 Rt AOD 和 Rt BOC 中, OA=AD OC=BC AC=OA+OC=AD+BC,/ EF= (AD+BC, AC=EF(2)解：TAD/ BC,/ ADOMDBC=30,在 Rt AOD 和 Rt BOC 中, OA=AD OC=BC/ OD=3:, OC=5 OA=3/ AD/ EF,MADOMOMN=3 , ON=MN/ AN=AC=（ OA+OC =4 , ON=AN- OA=4- 3=1 , MN=2ON=24.（2016 山东潍坊）旅游公司在景区

20、内配置了辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租50 辆观光车共游客租赁使用，假定每x （元）是 5 的倍数.发现每天的营28金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少1 辆.已知所有观光车每天的管理费是1100 元.(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正,应为多少元？(注：净收入 =租车收入-管理费)(2 )当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【解析】二次函数的应用.(1)观光车全部租出每天的净收入 =出租自行车的总收入-管理费，根据不等关系：净收入为正，列

21、出不等式求解即可；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值.【解答】解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0vxw100,由 50 x 11000,解得 x 22,又Tx是 5 的倍数，每辆车的日租金至少应为 25 元；(2)设每辆车的净收入为y 元，当 0vx 100 时,x - 100y2= (50 -) x - 11005i2-x2+70 x-1100512-(x - 175)2+5025,5当 x=175 时，y 的最大值为 5025,50253900,故当每辆车的日租金为175 元时，每天的净收入最多是5025 元.5.(2016 陕西)问题提

22、出(1)如图，已知 ABC 请画出 ABC 关于直线 AC 对称的三角形.则每辆车的日租金至少29问题探究30(2)如图，在矩形 ABCD 中, AB=4, AD=6 AE=4, AF=2,是否在边 BC CD 上分别存在点 G H,使得四边形 EFGH 勺周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明 理由.问题解决(3)如图，有一矩形板材 ABCD AB=3 米，AD=6 米，现想从此板材中裁出一个面积尽 可能大的四边形 EFGH 部件，使/EFG=90 , EF=FG 铤米，/ EHG=45，经研究，只有当点 E、F、G 分别在边 AD AB BC 上，且 AFvBF,并满足点

23、H 在矩形 ABCD 内部或边上时，才有 可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形 EFGH 部件的面积；若不能,(2)作 E 关于 CD 的对称点 E,作 F 关于 BC 的对称点 F,连接 E边形 EFGH 勺周长最小，根据轴对称的性质得到BF =BF=AF=2 DE =DE=2得到 AF =6, AE =8,求出 E F =10, EF=2 ?即可得到结论;(3)根据余角的性质得到 仁/ 2,推出 AEFABGF 根据全等三角形的性质得到AF=BGAE=BF,设 AF=x,则 AE=BF=3- x 根据勾股定理列方程得到 A

24、F=BG=1 BF=AE=2 作厶 EFG 关于EG的对称 EOG则四边形 EFGC是正方形， / EOG=9 ,以 O为圆心， 以EG为半径作OO, 则/EHG=45的点在OO上，连接 FO,并延长交OO于 H,贝UH在 EG 的垂直平分线上，连接 EH GH ,则/EH G=45 ,于是得到四边形 EFGH 是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论.【解答】解：(1)如图， ADC 即为所求;(2)存在，理由：作 E 关于 CD 的对称点 E,作 F 关于 BC 的对称点 F,请说明理由.【解析】四边形综合题.(1 )作 B 关于 AC 的对称点 D,连接 AD, CD, ACD 即为所求;F,得到此时四/ A=90,于是图图31连接