人教版选修4-5第1章1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法

1、1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.会解一元一次不等式和一元二次不等式.2.会用一元一次不等式和一元二次不等式解决实际问题.尹自主预习全课前预习区_自学导引1. 一元一次不等式的解法.(1) ax+ b0(a0)解集为dx|x-=匸(2) ax+ b 0(a-1二2.元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式二 b24ac40= 0A0)的图象 d时o严xIlLo *pyjX一兀二次方程2ax + bx+ c= 0(a0)的根有两相异实根 X1,X2(X10(a0)的解集 X|Xx2X|XMXJx|x R2ax + bx+ c0)的解集 x|x1 xx2

2、?基础自测1已知集合 A= -2,- 1, 0, 1, 2 , B = x|(x- 1)(x+ 2)v0，则 AnB=()A. - 1, 0B.0 , 1C. - 1, 0, 1D.0 , 1, 2解析 化简集合 B,利用交集的定义求解.由题意知 B = x| 2x0,即(x+ 3)(x 1)0，解得 x1.故函 数的定义域为(一, 3)U(1,+).答案 D3._ 不等式一 x2 3x+ 40 的解集为.用区间表示)解析利用一元二次不等式的解法求解.2 2由x 3x+ 40 得 x + 3x 40,解得4x1.答案(4, 1)h 讲练互动J J课堂讲练区_知识点 1 一元一次、一元二次不等式

3、的解法【例 1】解下列不等式：(1) 3x+ 22(x+ 1) 4;3x2 2x+ 8 16x2.解(1)原不等式等价于 3x 2x2 4 2 即 x 4.原不等式的解集为x|x0亠 4? (x+ 2)(3x 4)0? x3.-4y不等式的解集为( x,2U3,+x i2 2(3) 原不等式等价于 16x 8x+ K 0? (4x 1) 0,则求出该不等式对应的二次方程的根，若 -5(x1);2(2) 8x- 1- 15(x- 1), 即 4x-6x+ 15x 15+ 12-5,22即 13x22,解得 x 13,故原不等式解集为 1x|x132(2)v原不等式即为 16x -8x+ 10,

4、其相应方程为 16x2-8x+ 1 = 0,A=( 8)2-4X16=0,1上述方程有两相等实根 x=4,结合二次函数 y= 16x2-8x+ 1 的图象知，原不等式的解集为 R.知识点 2 含参数的一元二次不等式的解法ax_ 1【例 2】 已知不等式齐 1 0(a R).(1)解这个关于 x 的不等式；若 x=-a 时不等式成立，求 a 的取值范围.解(1)原不等式等价于(ax 1)(x+ 1)0.1当 a = 0 时，由一(x+ 1)0，得 x0 时，不等式化为 x- 1(x+ 1)0,1解得 x-；a3当 a0 时，不等式化为 xa(x+ 1)0；11若 1,即1a0,则 x，即a1则1

5、xa.、1综上所述，a 1 时，解集为収| 1x aa= 1 时，原不等式无解；1a0 时，解集为 1x|x 1 亡a = 0 时，解集为x|x0 时，解集为，x|xv 1 或 xaL x= a 时不等式成立, a1,即 a 的取值范围为(1, +).反思感悟：(1)含参数的一元二次不等式可分为两种情形：一是二次项系数为 常数.参数在一次项或常数项的位置，此时可考虑分解因式，再对参数进行讨论， 若不易分解因式，则要对判别式分类讨论，分类应不重不漏；二是二次项系数 为参数，则应考虑二次项系数是否为0,然后再讨论二次项系数不为 0 的情形,以便确定解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小，以

6、便写出解集.(2)含参数不等式的解法问题，是高考的重点内容，主要考查等价转化能力和分 类讨论的数学思想.莎变或迁穆2.解关于 x 的不等式：ax2 22x ax(a R).解 原不等式可化为 ax2+ (a 2)x 2 0.1当 a = 0 时，原不等式化为 x+ K0,解得 x0 时，原不等式化为 x | (x+ 1)0,解得 x2 或 x0,即a + 10,3当 a0 时，原不等式化为 x2(x+ 1)0.22当了一 1,即 a 2 时，解得一 Kxw；;aa2当2二1,即 a= 2 时，解得 x= 1 满足题意;a22当- 2,解得一wx0 时，不等式的解集 为x|x2,或 x 1 ；当

7、一 2a0 时，不等式的解集为 ixfwxw 1 f；当 a= 2 时，不等式的解集为x|x= 1；当 a 2 时，不等式的解集为 x| 1wxw| . 知识点 3 一元二次不等式的应用【例 3】 某种商品，现在定价 p 元，每月卖出 n 件，设定价上涨 x 成，每月卖 出数量减少 y 成，每月售货总金额变成现在的 z 倍.(1)用 x 和 y 表示 z;设 y= kx(0k1),利用 k 表示当每月售货总金额最大时 x 的值；2若 y=护，求使每月售货总金额有所增加的 x 值的范围.解(1)按现在的定价上涨 x 成时，上涨后的定价为 p 1 +10 元，每月卖出数量为 n 1 10件，每月售

8、货总金额是 npz 元,所以 z=(10+x)( 10 y)1001整理可得 z=而f2行 00+-& 仆1 1，因而 npz= p 1 +,，.(10+ x)( 10 kx)在 y= kx 的条件下，z=由于 0k0,1005 (1 k)所以使 z 值最大的 x 的值是(.)2(10+ x)10-|x当y= 3x时,z=而 ，要使每月售货总金额有所增加，即 z1,应有(10+ x) l02x 100，即 x(x-5)0， 解得 0 x 112，整理，得 R2- 10R+ 160,方程 R2- 10R+ 16= 0 的两个实数根为 X1= 2, X2= 8.然后画出二次函数 y= R2

9、- 10R+ 16 的图象，由图象得不等式的解为 K R0或 ax2+ bx+ c0.如解不等式 6-x25x 时首先化为 x2+ 5x-60 或 ax2+ bx+ c0)与一元二次方 程ax2+ bx+ c= 0 的关系.(1)知道一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 的根可以写出对应不等式的解集；(2)知道一元二次不等式 ax2bxc0 或 ax2bxc0 或 ax2bxc0 的解集.随堂演练1已知集合 A= x|x2 4x+ 30 , B = x|2x4，则 AHB=()A.(1， 3)B.(1， 4)C.(2， 3)D.(2， 4)解析 先化简集合 A,再利用集合的交集的定义或利用

10、数轴求解.由已知可得集合 A= x|1x3，又因为 B = x|2x4，所以 AHB= (2, 3),故选 C. 答案 C2. 若集合 A= x|ax2 ax+ 10 = ?，则实数 a 的取值范围是()A. a|0a4B.a|0 a4C.a|0a 4D.a|0 a 4答案 D3. 不等式 2x2 x4 的解集为 _.解析 利用指数函数的性质化为整式不等式求解 ./ 2x2 x4， 2x2 x22，二 x x2，即 x x 20， 1x2.答案 x| 1x0 恒成立，则 b 的取值范围是 _.解析 依题意，f(x)的对称轴为 x= 1,又开口向下，当 x 1,1时，f(x)是单调递增函数.若

11、f(x)0 恒成立.则 f(x)min= f( 1)= 1 2+ b2 b+ 10,即 b2 b 20. (b 2)(b+ 1)0, b2 或 b2 或 b 0 , B = x| 2x3 或 x 1 , B= x| 2x2, AHB= x| 2x 1 = 2, 1，故选 A.答案 A112.满足- 3 的 x 适合的条件是()xxA 11A3x 2用数轴标根法可得，x 2,或 1x0 的解集是 R, q： 1a0 的解集是 R 等价于 4a2+ 4a0，即1a0 的解集是_.解析原不等式即x(x 1)3(x 2)2(x+ 1)(x2+x+ 1)0, x2+ x + 10,(x2 2B.x1C.

12、x1,x 0, (x+ 2)(x 2)(x 1) 0, (x 2)20,x (x+ 1)(x 1 ) 0,原不等式等价与不等式组口X 2 且XM1.原不等式的解集是x| 1x 1,且XM2.答案 x| 1vXV0,或 x 1,且 XM25若不等式 x2 (a + 1)x + a0 的解集是4, 3的子集，贝Ua 的取值范围是解析 原不等式即(x a)(x 1)0,当 a 4 即可，即一 4Wa1时，不等式的解集为1, a,此时只要 a3 即可，即 1a3.综上可得一 4 a 3.答案 4, 3x4 3(x+ 1)(x+ 2) 14.解 不等式两边同时乘以 2 得，(x 4) 6(x + 1)2

13、(x+ 2) 28，即一 5x 102x24,得：一 7x2.故原不等式的解集为x|x2.综合提高7.已知函数 f(x) = (ax 1)(x+ b),如果不等式 f(x)0 的解集是(1, 3),则不等式f( 2x)0，得 ax2+ (ab 1)x b0，又其解集是(1 , 3),a0.且二 a= 1, b 3.二 f(x) = x + 2x+ 3, f( 2x) 4x2 4x+ 3,由4x2 4x+ 30,解得 x2 或 x ，故选 A.答案 A8.在 R 上定义运算：x*y=X(1 y).若不等式(Xa)*(x+ a)0,y0 满足 f(xy)= f(x)+ f(y),则不等式 f(x+

14、 6) + f(x)2f(4)的解集为_.解析 由已知得 f(x+ 6) + f(x) = f(x+6)X,2f(4) = f(16).根据单调性得(X+6)X16,解得8X0,X0，所以 0 x2.答案(0, 2)10.若关于X的方程X2+ ax+ a2 1 = 0 有一正根和一负根，则a 的取值范围是故原不等式的解集为|X|- 3212. 已知 f(x) = x 2ax+ 2(a R),当 x 1,+)时，f(x)a 恒成立，求 a 的 取值范围.解 方法一 ：f(x) = (x a)2+ 2 a2,此二次函数图象的对称轴为 x= a.1 当 a (, 1)时，f(x)在1,+)上单调递增，f(x)min= f( 1) = 2a+ 3. 要使f(x)a 恒成立，11. 解不等式:Iog2(3x 2X5) 0, 解得X2+3X0,即一 3X* 1或 xv 4.则()A.1a1B.0a2C.13312a2D. 2a2解析依题设得 X-aX+ a 0 恒成立？a2a340 恒成立？答案C132a2.只需 f(x)mina,即 2a+ 3a,解得一 3wa 1;2 当 a1,+x)时,f(x)