人教版选修4-5柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

1、2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1. 理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式2.会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.h 自主预习会课前预爭医_自学导引1.设 ai, a2,，an, bi, b2,，bn为实数，则(a1+ a2+-+ a1 2g (b1+ b2+ + b2)ilaib+ a2b2+ anbn,其中等号成立？b畫=，=屠(当 bi= 0 时，认 为 a 0, j 1, 2,，n).2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.基础自测1. 设 x, y, z 满足 x2+ 2y2+ 3z2 3,则 x

2、+ 2y+ 3z 的最大值是( )A.3 2 B.4C.；,2D.6x+ 2 ( .2y) + .3 ( ,3z) 2a+ b+ c.1+丄+丄a+ b b+ c c+ a(1 1 1_(a+ b) + (b+ c)+ (c + a)五+_ (市)2+ ( b+L)2+ (.乐)2 222 、9+ ya+ b b+ c c+ a a+ b+ c a, b, c 互不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立.反思感悟：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一 下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的为变畫迁移1.已知 ai, a2, a3为实数，bi, b2, b3为正

3、实数.Ca；+a2；2+an丄丫 = n2，选 C.答案3.已知解析x、y、z R*且 x+ y+ z_ 2,则 x* 2+ y2+ z2的最小值是/ 2 , 2 , 2 2 2 2、2 2 2(x+y+z) (1+1+1)x + y + z _2(x+ y+ z)【例 1】 设 a, b, c 为正数且互不相等，求证:证明 2(a+ b+ c)b+cc+a(b+ c+c+a，工 2c+ abl2+ (a+b)2+(+ b+ c a1+a2+a3(a1+a2+a3)b1b2b3b1+ b2+ b3证明由柯西不等式得:辭畫+a3(b1+b2+b3)a1a2a32_b1 -b1+.b22+,b3-

4、b3(a1+a2+a3)2.知识点 2 利用柯西不等式求函数的最值【例 2】 已知 a, b, c R+且 a+ b+ c= 1,求.4a+ 1 + 4b+ 1+ 4c+ 1 的最 大值.解4a+ 1 + 4b + 1 + 4c+ 1=：.4a+ 11+ 4b+ 1 1 +、j4c+ 1 12 ab,二 ab (8x+ 6y 24y)2v(x2+y2+z2)(8)2+62+(24)292=4* (64+ 36+ 576) = 392又(8x+ 6y 24y)2= 39s222222 (x + y + z)( 8) + 6 + ( 24)=(8x+ 6y 2 4z)2,即不等式中只有等号成立,

5、从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 厶=y=8= 6= 245它与8x+ 6y 24y= 39 联立，可得6= 9_=1813，y= 26，z=13.反思感悟：利用柯西不等式解方程关键是由不等关系转换成相等关系，然后a+a+b+r 二1+b+ a2ab彳 121+ab212a+a2 +b+b225即 + a.f+b+b2孚x=再通过等号成立的条件求出未知数的值話变或迁移3 利用柯西不等式解方程：2 1-2x+ 4x+ 3= . 15.解 ：2 1- 2x+ 4x+ 3= 2 , 2- 4x+ 1 4x+ 3w24x+4x+32+1=53=15.又由已知 2 1 2x+ 4x+ 3=，帀所以等

6、号成立，由等号成立的条件 2 4x 1= 4x+ 3 2/口1得：2 4x= 8x + 6, x= 3,1即方程的解为 x= 课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法（或判别式法）等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式随堂演练1.已知 x, y, z R+且 x + y+ z= 1,贝 U x3 4+ y2+ z2的最小值是（ ）(x+ y+ z)_ 13二 3,答案 B 2.AABC 的三边长为 a、b、c,

7、其外接圆半径为 R,求证:4 2 21 1 12(a + b + c)2+2+ 卒 36R2.sin A sin B sin C证明由三角形中的正弦定理得21 2-3A c13 2B D解析 x2+ y2+ z2=/ 2 | 2 |2、(x + y + z )(12+ 12+ 12)3故应选 B.sin A= 2R，所以214R22 2- sinA aC. nD.21_4FR 14R2同 sin2B - b，sin2C -C2 2 2十尸亠、斗222i4R24R24R2)于是左边二(a2+ b2+ c2)孑 + 孑 +了2R2R 2R2“2 a + b + c = 36R . a b cJ故原

8、不等式获证.3.已知 ai,比，an都是实数，求证：*ai+&+an)2(1xa1+1xa2+ -+1xan)2.n(a1+ a2+ an)A(a1+ &+ an)212 2 2 2二 n(a1+ a2+ an) (aixi+ 82x2+ anxn)2得 1 1 (8iXl+ 82x2+ + 8nxn)2,二 8ixi+ 82x2+ + 8nxn= 1.所求的最大值为 1.答案 A 3已知 a, b, c 为正数，则（|+b+鲁+ b+!有（B.最小值4.设 a, b R+,则逅+但与 pa+b 的大小关系是解析/ a+ b=( ,a)2+( -,b)2. 12+ 12-a+

9、, b.2 .答案 Va+b 严5._ 已知 x+ 2y+ 3z= 1,贝 U x2+ y2+ z2的最小值为_.2 2 2 2 2 2 2 2 2解析由柯西不等式，有(x + y + z)(1 + 2 +3)(x+ 2y+ 3z) = 1,二 x + y + 当且仅当 x=券 3 时取等号.即 x=寿，7, z=誇时，x2+ y2+ z2取最小值11答案iA.最大值 9C.最大值 3b+b+a b+c+aD.最小值1 厂厂ya+/bt2C.a 1+ b 1) = ；2一 a+ b解析-+|x产 9.6. 已知实数 a, b, c, d 满足 a+ b+ c+ d= 3, a + 2b + 3

10、c + 6d =5,试求 a 的 最值.解由柯西不等式得，有1 1 1 ：(2b + 3c + 6d ) 2+ 3 + 6(b+ c+ d)即 2 匕2+ 3c2+ 6d2(b + c+ d)2由条件可得，5-a2 (3 - a)2解得，1wa - P(m+ n)2-2，-m+ n 一 2.当且仅当 m= n 时取等号.o- 94- 2o-少C.1,解析1 12，32 2 2x +y1 1D.1, 4, 9(x2+ y2+ z2)( 22+ 32+ 42)92(2x+ 3y+4z)10029= 29x= 2k,当且仅当 y= 3k,时，等号成立，则 4k + 9k+ 16k= 29k = 10

11、,z= 4k 20 x= 29，解得 k=券 y=30，选 B.4029.答案 B8.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是（）A.1B.n答案今2 2 2 2 210._已知实数 a， b， c，d，e 满足 a+ b+ c+ d + e=8，a + b + c + d + e= 16, 则 e 的取值范围为.解析 4(a2+ b2+ c2+ d2)= (1+ 1+ 1+ 1)(a2+ b2+ c2+ d2)2 (a+ b+ c+ d)2即 4(16 e2)(8 e)2，即卩 64 4e264 16e+ e22165e16e0，故 0we5.答案0,节11. 已知 x，y，z R，且 x+y+z= 8，x2+ y2+ z2= 24.+、十 444求证：3x4，3y4，3z 4.证明显然 x+ y= 8 z，(x+y)2( +y2)2o”xy=2= z 8z+ 20 x，y 是方程 t2 (8 z)t + z2 8z+ 20= 0 的两个实根,4由 0 得 3z4,44同理可得 3 y4, 3x4.12. 设 p 是厶 ABC 内的一点，x, y, z 是 p 到三边