八年级数学上册6.5《一次函数与二元一次方程》二元一次方程组知识总结及训练素材(新版)苏科版

1、二元一次方程组知识总结及训练知识讲解1二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值， 叫做这个二元一次 方程的一个解.对于任何一个二元一次方程， 令其中一个未知数取任意一个值， 都能求出与 它对应的另一个未知数的值. 因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解. 由这些解组成 的集合，叫做这个二元一次方程的解集.二元一次方程组及其解： 两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.-般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次

2、方程组的解.2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数， 得到一个一元一次方程， 这种求二元一次方程组的 解的方法叫做加减消兀法，简称加减法.3.二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多.列方程组解应用问题有以下几个步骤：(1) 选

3、定几个未知数；(2) 依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；(3) 解方程组，得到方程组的解；(4) 检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解.例题解析八x=2g 2x (mT)y=2“”亠“宀例 1 已知是方程组的解，求(m+n 的值.2)=1门x + y = 1【分析】由方程组的解的定义可知x=2，同时满足方程组中的两个方程，将x =2代y=i|.y = i入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和 n 的值，从而求出代数式的值.【解答】把 x=2, y=1 代入方程组2X(m)y二2中，得n x + y =1J2 2 (m一1) 1=22n仁1由得 m=

4、 1，由得 n=0.所以当 m=- 1, n=0 时，(m+r) = ( 1+0) = 1.【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程.例 2 (2008,长沙市)“ 5. 12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷.某服装厂原有4 条成衣生产线和 5 条童装生产，工厂决定转产，计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾 区若启用1 条成衣生产线和 2 条童装生产线，一天可以生产帐篷 105 顶；若启用 2 条成 衣生产线和 3 条童装生产线，一天可以生产帐篷 178 顶.(1) 每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？(2) 工厂满负荷全面转产，是否可以如期

5、完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x, y 顶，则X 2y =1052x 3y =178解得：x=41 ; y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷 41 顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶.(2)由 3X(4X41+5X32)=9721000 知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务.可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献.例 3 某商场正在热销 2008 年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一

6、盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？3故一盒“福娃”玩具的价格为125 元，一枚徽章的价格为 10 元.例 4 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计 11.8 万朋，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3 倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1 万 m.(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出 A 型，B 型两种载重汽车，A 型汽车 6 辆，B 型汽车 4 辆，分别运 5 次，可把土石运完；或者A 型汽车 3辆，B 型汽车 6 辆，分别运 5 次，也可

7、把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆 B 型汽车每次运土石各多少吨？(每辆汽车运土石都以准载重量满载)【分析】(1)可设甲水厂的日供水量是 x 万 乳 则乙水厂的日供水量是 3x 万 mt 丙水 厂的日供水量是(-x+1)万 m，由三个水厂的日供水量总和为11.8 万 m,可列方程21x+3x+ x+仁 11.8 ;2(2)设每辆 A 型汽车每次运土石 xt , B 型车每辆每次运土石 yt ,依题意可列方程组30 x 20600解方程后可求解.15x 30y =600【解答】 (1)设甲水厂的供水量是 x 万 m,则乙水厂的日供水量是 3x 万 m,丙水厂的日供水量是(1x+1）万 m.21

8、【分【分析】 本题以图文形式提供了部分信息,主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力.【解答】 设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和 y 元.依题意，得X252x 3y = 280解这个方程组,X =125y =10共计共计 I 鲂元鲂元共计共计 280元元4由题意得：x+3x+ x+仁 11.8，解得 x=2.4 .2则 3x=7.2 , x+1=2.2 .答：甲水厂日供水量是 2.4 万 m,乙水厂日供水量是7.2 万 m,丙水厂日供水量是 2.2万 m.(2)设每辆 A 型汽车每次运土石 xt，每辆 B 型汽车每次运土石 yt，由题意得：30 x 20y = 6001

9、5x 30y =600 x =10y =15答：每辆 A 型汽车每次运土石 10t，每辆 B 型汽车每次运土石 15t .【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法.强化训练一、填空题1._ 若 2 乂吶1 3 厂“3+5=0 是关于 x, y 的二元一次方程，则 m=_ , n=_ .2. 在式子 3m+5 k 中，当 m=- 2, n=1 时，它的值为 1;当 m=2 n= 3 时，它的值是 _ax亠V=0X=13.若方程组彳y的解是彳_ ，则 a+b=(2x+by=6y = -24._已知方程组 戸2y=5

10、的解 x, y，其和 x+y=1，则 k_(kx + (k_1)y=72x = 3 _ 5t5._已知 x,y, t 满足方程组，贝 U x 和 y 之间应满足的关系式是 _ .3y _2t =x2x亠y = bx = 16.若方程组彳_的解是彳 ，那么|a b | = .、xby=a)=07某营业员昨天卖出 7 件衬衫和 4 条裤子共 460 元，今天又卖出 9 件衬衫和 6 条裤子共 660 元，则每件衬衫售价为 _，每条裤子售价为 _ .&为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天 8: 00 至 21:00 用电每千瓦时 0.55 元(“峰电”价)，21

11、: 00 至次日 8: 00 用电每千瓦时 0.30 元5(“谷电”价)，王老师家使用“峰谷”电后，五月份用电量为 300kW- h,付电费 115元，则王老师家该月使用“峰电” _kW h.二、选择题9.二元一次方程 3x+2y=15 在自然数范围内的解的个数是()A . 1 个B. 2 个C. 3 个 D . 4 个6等，则一块巧克力的质量是（）C 4x 5y=2710 x 3y=2015 .七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了后来男同学又走了 22 名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）A . 39 名 B . 43 名 C . 47 名 D . 55 名16 .某校初三

12、（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款100 元，捐款情况如下表:捐款/兀1234人数67表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.A . 1B.5C.1 或 5D.0.已知2x y 3 |+ ( 2x+y+11)2=0,则（) x =2lx = 0X = 1rA .BC.Dy Jy- -3y 5I11x - -2i x = a10 .已知是方程组ly=b从2的解,2x y = 3a+b 的值等于（12.在解方程组axby二2 时，一同学把cx 7y =8c 看错而得到x - -2正确的解应是x一3,那么 a, b,c 的值是（）A 不能确定.a=4,b=5,C

13、. a, b 不能确定，c= 2.a=4,b=7,13 如图 4 2 所示的两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相每个果冻的质量也相A . 20g.15g14 . 4 辆板车和 5 辆卡车一次能运 27t 货,10 辆板车和 3 辆卡车一次能运 20t 货，设每辆板车每次可运xt 货，每辆卡车每次能运yt 货，则可列方程组（）4x 5y = 27A. I10 x-3y =274x -5y = 2710 x 3y=204x-27 = 5y10 x -20 =3y14 名，这时男女同学之比为 5: 3,巧克力B . 25gD.30g7若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，

14、根据题意，可得方程组.（A.x y=272x 3y = 66x+y= 272x 3y = 100C 卩+汁27J3x 2y = 66x y = 273x 2y = 10017.甲，乙两人分别从两地同时出发,若相向而行，则 ah 相遇；若同向而行，则 bh 甲追 上乙，那么甲的速度是乙的速度为（b ab - a/亠倍 D .倍b -ab a18学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺,教务处每发出一封信都用 3 张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封,但余下 50 张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50 个信封，则两处各领的信笺张数,信封个数分别为（）A .

15、150, 100 B . 125, 75 C . 120, 70 D . 100, 150 三、解答题19 .解下列方程组:(1)3x 5y = 82x-y =1x _2y = 7(2)y-11 -3x二I 220 .为迎接 2008 年奥运会， 某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福 娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为 20000 盒和 30000 盒，如果所进原料全部用完， 求该厂能生 产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

16、821.为支持四川抗震救灾，重庆市A, B, C 三地现在分别有赈灾物资OOt , 100t , 80t，需要全部运往四川重灾地区的D, E 两县.根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20t .（1） 求这批赈灾物资运往 D, E 两县的数量各是多少？（2） 若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60t , A 地运往 D 县的赈灾物资为 xt （x 为整 数），B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍，其余的 赈灾物资全部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25t 则 A, B 两地的

17、赈 灾物资运往 D, E 两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案：（3） 已知 A, B, C 三地的赈灾物资运往 D, E 两县的费用如表所示：A 地B 地C 地运往 D 县的费用/ （元/t ）220200200运往 E 县的费用/ （元/t ）250220210为及时将这批赈灾物资运往 D, E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？22.甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示甲班分两次共购买苹果70kg （第二次多于第一次），共付出189 元，而乙班则一次购买苹果70kg.购苹果数不超过 30kg

18、30kg 以下但不超过 50kg50kg以上每千克价格3 元2.5 元2 元9（1）乙班比甲班少付出多少元?102）甲班第，第二次分别购买苹果多少千克？11参考答案1.3; 1 2 . 7 3 . 8 4.k=-5515y x=6 6 . 1 7 . 20 元 80元 8 . 1009. C 10.C 11.D 12 .B 13 .A 14 .C 15 . C16 .A 17 . C 18 .A19.(1)由得 y=2x 1把代入得：3x+5 (2x 1) =8即 x=1把 x=1 代入得 y=1ix =1原方程组的解为ly=x=2y + 7(2)化简方程组，得6x+y=3代入，得 y= 3.

19、将 y= 3 代入，得 x=120.设生产奥运会标志 x 套，生产奥运会吉祥物 y 套，根据题意，得4x 520000,、3x+10y = 30000.1X2 得：5x=10000. x=2000.把 x=2000 代入得：5y=12000. y=2400.答：该厂能生产奥运会标志2000 套，生产奥运会吉祥物2400 套.21 .( 1)设这批赈灾物资运往D 县的数量为 a (t )，运往 E 县的数量为 b (t)故原方程组的解是:x =1y _一3由题意，得a b=280,a = 2b解得a=18，b =100.12答：这批赈灾物资运往D 县的数量为 180t，运往 E 县的数量为 100t .13(2)由题意，得12 X：2xlx2兰25解得x 40,即 40 xw45,45.x 为整数，.x 的取值为 41, 42, 43, 44,则这批赈灾物资的运送方案有五种.具体的运送方案是:运往 E 县 21t .运往 E 县 22t .运往 E 县 23t .运往 E 县 24t .运往 E 县 25t .(3)设运送这批赈灾物资的总费用