数学建模讲座

1、数学建模竞赛讲座数学建模竞赛讲座Mathematical Contest in Modeling主讲人：王爱苹主讲人：王爱苹 华罗庚所说：华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之多，化工宇宙之大，粒子之多，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁无一无一不可用数学来表达。不可用数学来表达。” 任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即显现出解决问题的就会立即显现出解决问题的清晰途径清晰途径和和通向胜通向胜利的一线曙光利的一线曙光。内内 容容Part B：建模竞赛简介建模竞赛简介Part C：中国大学生数学建模竞赛历程中国大学生数学

2、建模竞赛历程Part D：建模过程简介建模过程简介Part E：建模案例分析建模案例分析Part F：数学建模竞赛的魅力数学建模竞赛的魅力Part A：数学建模数学建模玩具、照片玩具、照片 实物模型实物模型风洞中的飞机风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图地图、电路图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见我们常见的模型的模型什么是数学模型什么是数学模型Part

3、A：数学模型数学模型数学模型数学模型(Mathematical Model)(Mathematical Model)和和数学建模数学建模（Mathematical Modeling)Mathematical Modeling)数学模型数学模型: :对于一个现实对象对象，为了一个特定目的目的，根据其内在规律规律，作出必要的简化假设假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学建模：数学建模：建立数学模型的全过程全过程（包括建立、求解、分析、检验）。现现实实世世界界数数学学世世界界建立数学模型建立数学模型推理推理演绎演绎求解求解翻译为实际解答翻译为实际解答实际解答实际解答：如对

4、现实对象的分析、预报、如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁怎样构架这座桥梁？怎样构架这座桥梁？每位同学都应该成为架设这座桥梁的每位同学都应该成为架设这座桥梁的工程师工程师我们碰到过的数学模型我们碰到过的数学模型“航行问题航行问题” 甲乙两地相距750 公里，船从甲到乙顺水航行需30 小时，从乙到甲逆水航行需50 小时，问船的速度是多少。用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx求解

5、得到求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时答：船速每小时2020公里公里航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20公里）。公里）。数学建模的重要意数学建模的重

6、要意义义 电子计算机的出现及飞速发展电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视越来越受到人们的重视。数学建模数学建模计算机技术计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济知识经济具备的数学知识具备的数学知识（1）数学分析）数学分析 （5）图论）图论（3）概率与数理统计）概率与数理统计（4）运筹学）运筹学（2）高等代数）高等代数 （6）组合数学）组合数学（7）微分方程）微分方程（8）排队论）排队论 1. MATLAB：计算方法，优化：计算方法

7、，优化/统计统计/符号工符号工 具箱等具箱等2. LINGO：专业的优化软件：专业的优化软件3. 其他其他SAS: 专业的统计分析软件专业的统计分析软件Mathematica, Maple: 符号精确计算能力强符号精确计算能力强EXCEL: 电子表格，简单数据处理电子表格，简单数据处理C+.常用数学软件常用数学软件 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力想象力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习

8、、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目创新意识创新意识Part B：建模竞赛简介建模竞赛简介1. 数学建模竞赛数学建模竞赛什么是数学建模竞赛什么是数学建模竞赛 数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的冥思苦想冥思苦想，它训练严密的逻辑推理和准确的，它训练严密的逻辑推理和准确的计算能力。但数学建模竞赛从内容到形式与计算能力。但数学建模竞赛从内容到形式与此都有明显的不同此都有明显的不同。 数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技数学建模

9、竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成，它术和管理科学中的实际问题简化加工而成，它对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神才智和创造精神。2. 数学建模竞赛数学建模竞赛数学建模竞赛的形式数学建模竞赛的形式 数学建模竞赛以通讯形式进行。数学建模竞赛以通讯形式进行。 三名大学生组成一队，可自由地收集资料、调查研究，三名大学生组成一队，可自由地收集资料、调查研究，使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不

10、 得与队外任何人讨论。得与队外任何人讨论。 时间：三天。完成一篇包括模型的假设、建立和求解，时间：三天。完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和 检验，检验，模型的改进等方面的论文。模型的改进等方面的论文。 竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的 正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 竞赛是由教育部高教司和中国工业与应用数竞赛是由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的，每年学学会共同主办的，每年9月下旬举行。竞赛面月下旬举

11、行。竞赛面向全国高等院校的学生，不分专业。每年的报名向全国高等院校的学生，不分专业。每年的报名将通知各有关院校。将通知各有关院校。3. 数学建模竞赛数学建模竞赛怎样参加数学建模竞赛怎样参加数学建模竞赛Part C：中国大学生数学建模竞赛历程中国大学生数学建模竞赛历程1988.6叶其孝教授在美国讲学期间向美国大学生数学建模叶其孝教授在美国讲学期间向美国大学生数学建模竞赛发起者和负责人竞赛发起者和负责人FusaroFusaro教授了解这项竞赛的情教授了解这项竞赛的情况，商讨中国学生参赛的办法和规则。况，商讨中国学生参赛的办法和规则。1989.2.2426我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学

12、共我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学共4 4个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛，自此每年个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛，自此每年我国都有同学参加这项竞赛。我国都有同学参加这项竞赛。1989.3高校应用数学学报高校应用数学学报第第4卷第卷第1期发表叶其孝教授的期发表叶其孝教授的文章文章“美国大学生数学建模竞赛及一些想法美国大学生数学建模竞赛及一些想法”，第一次，第一次向国内介绍这项竞赛。向国内介绍这项竞赛。1994.10.28301994年全国大学生数学建模竞赛举行，年全国大学生数学建模竞赛举行，21省（市、自省（市、自治区）治区）196所院校的所院校的870队参加。队参加。1

13、990.12.79上海市举办大学生（数学类）数学模型竞赛，这是我国上海市举办大学生（数学类）数学模型竞赛，这是我国省、市级首次举办数学建模竞赛。省、市级首次举办数学建模竞赛。数学建模的几个过程数学建模的几个过程（1）模型准备）模型准备（5）模型分析和检验）模型分析和检验（3）模型建立）模型建立（4）模型求解）模型求解（2）模型假设）模型假设Part D：建模过程简介建模过程简介 （6）模型应用）模型应用（1）模型准备）模型准备了解问题的实际背景，明确其实际意义与建模了解问题的实际背景，明确其实际意义与建模目的，掌握对象的各种信息（要收集）。用数目的，掌握对象的各种信息（要收集）。用数学语言来描

14、述问题。学语言来描述问题。（2）模型假设）模型假设根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设，是建模至关重要的一步。恰当的假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，是不现实的，如果对问题的所有因素一概考虑，是不现实的，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力和判断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题法简单，应尽量使问题线性化、均匀化线性化、均匀化

15、。在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）（尽量用简单的数学工具）（3）模型建立）模型建立利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。可以采用解方程、画图形、证明定算（估计）。可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要解决往往需要纷

16、繁纷繁的计算，许多时候还得将系统的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。学软件包能力便举足轻重。 （4）模型求解）模型求解将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程则应该修改假设，在次重复建模过

17、程。（5）模型检验）模型检验 数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用Part E：建模案例分析建模案例分析例例1 某人住在某公交线附近，该公交线路为在某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔两地间运行，每隔 10分钟分钟A、B两地各发出一两地各发出一班车，此人常在离家最近的班车，此人常在离家最近的 C点等车，他发现了点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由先到站的总是由 B去去A的车，难道由的车，难道由 B去去A

18、的车的车次多些吗？请你帮助他找一下原因。次多些吗？请你帮助他找一下原因。由于距离不同，设由于距离不同，设A到到C行驶行驶31分钟，分钟，B到到C要要行驶行驶30分钟，考察一个时间长度为分钟，考察一个时间长度为10分钟的分钟的区间，例如，可以从区间，例如，可以从 A方向来的车驶离方向来的车驶离C站时站时开始，在其后的开始，在其后的 9分钟内到达的乘客见到先来分钟内到达的乘客见到先来的车均为的车均为 B开往开往A的，仅有最的，仅有最 后后1分钟到达的分钟到达的乘客才见到由乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果来的车先到。由此可见，如果此人到此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上站等车的时间是随

19、机的，则他先遇上B方向来的车的概率为方向来的车的概率为 90% 。 一个小孩以每小时一个小孩以每小时3千米的速度步行回家，距千米的速度步行回家，距离为离为3千米千米。他的小狗和他一起出发，以每小时。他的小狗和他一起出发，以每小时5千米千米的速度跑回家，到家后立即又掉头跑回小孩身的速度跑回家，到家后立即又掉头跑回小孩身边，然后又转身跑向家里。如此下去，一直到小孩边，然后又转身跑向家里。如此下去，一直到小孩回到家里。问这条狗一共跑了多远？回到家里。问这条狗一共跑了多远？因为小孩走了因为小孩走了1小时，小时，所以小狗跑了所以小狗跑了5千米千米。例例2 小孩与狗的故事小孩与狗的故事例例3 3 某人第一

20、某人第一天由天由A地去地去B地，第二天由地，第二天由B地沿原路返回地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。的同一时间到达该地。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由一天由B去去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。达时间晚于

21、另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明）请自己据此给出严格证明） 河流City 1City 2两座城市，隔着一两座城市，隔着一条河条河(河岸是平行河岸是平行线线)。我们希望用。我们希望用最短的道路连接他最短的道路连接他们，这需要在河上们，这需要在河上架桥，桥必须与河架桥，桥必须与河岸垂直。问这座桥岸垂直。问这座桥应建在何处？应建在何处？几何直观化！几何直观化！思考一下？思考一下？1 1、摘要、摘要问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2 2、问题重述、问题重述3 3、模型假设、模型假设4 4、分析与建立模型、分析与建立模型5 5、模型求解、模型求解6 6、模型检

22、验、模型检验7 7、模型推广、模型推广8 8、参考文献、参考文献9 9、附录、附录数学建模的论文结构Part E：数学建模竞赛的魅力数学建模竞赛的魅力终生受益的竞赛培养创新能力的极好载体终生受益的竞赛培养创新能力的极好载体 建立数模来解决实际问题，是我们大家在建立数模来解决实际问题，是我们大家在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是情，所需要的远不只是数学知识数学知识和和解数学题解数学题的的能力，而需要多方面的综合知识和能力。社会能力，而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多。才的需求要多得多。 姜启源曾说过，姜启源曾说过，“数模竞赛是大学阶段除毕业数模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次设计外难得的一次真刀真枪真刀真枪的训练的训练” ，它相，它相当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况，当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大学生的课外生活，也为既丰富、活跃了广大学生的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。优秀学生脱颖