人教版八年级上数学培优讲义教师版

1、第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若厶 A B C是全等的三角形，记作“ ABCAA B C其中，“也”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位 置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法(1) 根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字

2、母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的 记法便可写出对应的元素。(2) 根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(3) 通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看岀其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图(1)， BOC 幻 EOD， BOC 可以看成是由 EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的；旋转如图(2)， COD 幻 BOA， :COD 可以看成是由：BOA 绕着点 0 旋转 180 得到的；平移如图(3)， DEF 幻:ACB， DEF 可以看成是由 ACB

3、沿 CB 方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：(1) 边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理(2)推论：角角边定理6. 注意问题：(1) 在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；(2)不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即 AAA ； b :有两边和其中一角对应相等， 即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知 识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三 角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用(1) 证明线段(或角)相等【例 1】如图，已知 AD=

4、AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证岀 ACD ABE，而 BF 和 FC 分别位于 DBF 和 EFC 中，因此先证明 ACD ABE，再证明 DBFAECF，既可以得到 BF=FC.证明：在AACD 和AABE 中， AACD 幻AABE （SAS） / B= / C （全等三角形对应角相等）又/ AD=AE,AB=AC.AB AD=AC AE即 BD=CE在ADBF 和口AECF 中ADBF 幻AECF（AAS）BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行【例 2】已知：如图，DE 丄 AC，BF 丄 AC,垂足分别为 E、F，DE=BF，AF=CE.求证：A

5、B II CD 分析：要证 ABIICD，需证/ C =ZA，而要证/ C =ZA，又需证AABF 幻ACDE.由已知 BF 丄AC，DE 丄 AC，知/ DEC=ZBFA=90 ，且已知 DE=BF，AF=CE.显然证明AABF 幻ACDE 条件已具 备，故可先证两个三角形全等，再证/C =ZA,进一步证明 ABIICD.证明： DE 丄 AC，BF 丄 AC （已知）/ DEC =ZBFA=90 （垂直的定义）在AABF 与ACDE 中，AABF 幻ACDE（SAS）/ C=ZA （全等三角形对应角相等）ABIICD（内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系 ，可利用加倍法或折半法

6、将问题转化为证明两条线段相等【例 3】如图，在 ABC 中，AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E,连接 CD 和CE.求证：CD=2CE分析：（i）折半法：取 CD 中点 F,连接 BF，再证ACEB 幻ACFB.这里注意利用 BF 是AACD 中位线这个 条件。证明：取 CD 中点 F,连接 BF1BF=2 AC,且 BFIIAC （三角形中位线定理）/ ACB=Z2（两直线平行内错角相等）又 AB=AC/ ACB=Z3（等边对等角）/3=Z2在ACEB 与ACFB 中，ACEB 幻ACFB （SAS）1CE=CF= CD （全等三角形对应边相等）即 CD=2

7、CE（ii）加倍法证明：延长 CE 到 F，使 EF=CE，连 BF.在AAEC 与ABEF 中，AAEC 幻ABEF （SAS）AC=BF, / 4=Z3 （全等三角形对应边、对应角相等） BFII AC （内错角相等两直线平行）/ / ACB+ / CBF=180 / ABC+ / CBD=180又 AB=AC/ACB= / ABC/CBF= / CBD （等角的补角相等）在厶 CFB 与厶 CDB 中， CFB 幻 CDB （SAS）CF=CD即 CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC 中点 F,

8、连 BF（如图）（B 为 AD 中点是利用这个办法的重要前提），然后证 CE=BF.（4）证明线段相互垂直【例 4】已知：如图， A、D、B 三点在同一条直线上， ADC、 BDO 为等腰三角形， AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得岀的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO 丄 BC.证明：延长 AO 交 BC 于 E,在厶 ADO 和厶 CDB 中 ADO 幻 CDB （SAS）AO=BC, / OAD= / BCD （全等三角形对应边、对应角相等） /AOD=ZCOE （对顶角

9、相等）/ COE+ / OCE=90AO 丄 BC5、中考点拨：【例 1】如图，在 ABC 中，AB = AC，E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心，EB 为半径画弧，交 BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DF = DE，连结 FC .求证：/ F =ZA.分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中/A、/ F 不在全等的两个三角形中，但由已知可证得 EFIIAC，因此把/ A 通过同位角转到厶 BDE 中的/ BED，只要证 EBDFCD 即可.证明：TAB = AC，/ ACB = / B，/ EB= ED，/ ACB=/ EDB.EDI

10、AC./ BED =/ A./ BE= EA .BD = CD .又 DE=DF，/ BDE=/ CDFBDECDF， / BED =/ F / F=/ A.说明：证明角 （或线段） 相等可以从证明角 （或线段） 所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时， 要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关(B)有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等系。【例 2】如图，已知 ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 至 U E,并且使 AE=BD，连接 CE、DE.求证：EC=ED分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC 全等的三角形

11、，因此过D 点作 DFII AC交 BE 于 F点，证明 AEC FED 即可。证明：过 D 点作 DFIAC 交 BE 于 F 点 ABC 为等边三角形 BFD 为等边三角形 BF=BD=FD/ AE=BDAE=BF=FDAE AF=BF AF 即 EF=ABEF=AC在厶 ACE 和厶 DFE 中， AEC FED ( SAS)EC=ED (全等三角形对应边相等)题型展示：【例 1 】如图， ABC 中，/ C= 2 / B，Z1 =Z2。求证：AB = AC+ CD .分析：在 AB 上截取 AE = AC,构造全等三角形， AEDACD，得 DE = DC ,只需证 DE = BE 问

12、题便可以解决证明：在 AB 上截取 AE = AC,连结 DE ./ AE=AC, /1= Z2，AD=AD， AEDACD ,DE = DC，/ AED = / C ./ / AED = / B + / EDB，/ C = 2/ B,2/ B = / B + / EDB .即 / B=/ EDB .EB= ED，即 ED = DC,AB = AC + DC .剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法(即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段)；如作 AE = AC 是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短

13、法(即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等) ，其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是 构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容【实战模拟】1. 下列判断正确的是()(A)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等(D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等2.已知：如图， CD 丄 AB 于点 D , BE 丄 AC 于点 E, BE、CD 交于点 O,且AO 平分/ BAC 求证：OB = OC .3.如图，已知 C 为线段 AB 上的一点， ACM 和：CBN 都是等边三角形

14、,AN 和 CM 相交于 F 点，BM 和 CN 交于 E 点。DO求证：CEF 是等边三角形。4如图，在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线。BM1AFB1求证：AD AE （三角形两边之和大于第三边） AB + AC 2AD （等量代换）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。5分析：由于 BD 与 CG 分别在两个三角形中， 欲证 BD 与 CG 相等，设法证 CGEBDF。由 于全等条件不充分，可先证厶 AECCFB证明：在 Rt AEC 与 Rt CFB 中，/ AC = CB , AE 丄 CD 于 E, BF 丄 C 交 CD 的延长线于 F/AEC= ZC

15、FB=90又/ ACB = 90/CAE=90/ACE= ZBCFRt AEC 幻 Rt CFBCE = BF在 Rt BFD 与 Rt CEG 中，/ F =ZGEC = 90, CE = BF ,由/ FBD = 90/ FDB = 90/ CDH =/ ECG ,Rt BFD 幻 Rt CEGBD = CG第十二章轴对称1.如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条

16、直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点、:I .7.注意:1、 一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；2、 两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形3、 成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。1、下列图形中，不是轴对称图形的是（?）题型一:轴对称图形的判断【例 1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案， 下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是（?？）?？A .? B ? C ? D分析：图形沿一条直线折叠-相互重合-轴对称图形 判断举一反三：? C 线段？?？D.不等边三角形)

17、B. 线段D.有公共端点的两条不相等线段)C、LD、E4、下列说法中，正确的是(?)A 两个全等三角形组成一个轴对称图形B直角三角形一定是轴对称图形C.轴对称图形是由两个图形组成的D 等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形 题型二：找轴对称图形的对称轴【例 2】等腰三角形的对称轴 _ 条.举一反三：1、下列说法中，正确的个数是(1)轴对称图形只有一条对称轴，()2)轴对称图形的对称轴是一条线段，(3)两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形，(4)全等的两个图形一定成轴对称，(5 ) 轴 对 称 图 形 是 指 一 个 图 形 ， 而 轴 对称是指两个图形而言。(A) 1 个(B) 2 个 (C)

18、 3 个2、轴对称图形的对称轴的条数()(A )只有一条 (B) 2 条 (C) 3 条3、正五角星的对称轴的条数是(?)A . 1 条? B. 2 条? C. 5 条? D. 10 条4、下列图形中有 4 条对称轴的是(?)A .平行四边形 ? ? B 矩形 ? C 正方形 ? D 菱形常见图形及其对称轴：名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置线段是2条垂直平分线或线段所在的直线角是1条角平分线所在的直线长方形是2条对边中线所在的直线正方形是4条对边中线所在的直线和对角线所在的 直线圆是无数条直径所在的直线平行四边形不是0条小结：轴对称轴对称图形区别1指两个图形而言；2指两个图形的一种

19、形状与位置关系。1对一个图形而言；2指一个图形的特殊形状。联 系1都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；2把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿 对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。1、线段垂直平分线的概念：(1)垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线;(2)线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理:A .角？?？B 等边三角形2、下列图形中，不是轴对称图形的是(A.两条相交直线C.有公共端

20、点的两条相等线段3、下列英文字母属于轴对称图形的是(A、 NB、 S(D) 4 个(D )至少一条至懷两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。汪意:(1)“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等；(2 “到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：判定一点在线段的垂直 平分线上；(3)“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分 线。”的作用是：垂直平分线的判定。题型一：线段垂直平分线的性质【例 3】 如图 1,在厶 ABC 中，已知 AC=27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC

21、于点 E， BCE 的周长等于50，求 BC 的长.C图-1点评：此题是 ABC 中一边 AB 的垂直平分线 AC 相交;那么当 AB 的垂直平分线与 BC 相交时，(如图2),对应的是厶 ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变 .图-2举一反三：B1、如图 1,在厶 ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,若/ BEC=70，则/ A=?点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法，图 2 中也能得岀相应的结论：/AEC=2/ B.【例 4】如图 3，在 ABC 中，AB=AC, BC=12, / BAC =120 ,AB

22、 的垂直平分线交 BC 边于点 E, AC 的垂直 平分线交 BC 边于点 N.求厶 AEN 的周长.求/ EAN 的度数.判断 AEN 的形状.(1)举一反三：B)AD.50 1.如图 4，在 ABC 中，AB=AC, BC=12, / BAC = 130 ,AB 的垂直平分线交 BC 边于点 图-3NCE, AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N.求厶 AEN 的周长.求/ EAN 的度数.判断 AEN 的形状.B-图=42.如图，己知 AB=AC DE 垂直平分 AB 交 AC AB 于 D E 两点，若 AB=l2Cm BC=10cm, / A=49o，求 BCE 的周长和/ EBC

23、的度数.【例 5】如图，D 是线段 AB BC 的垂直平分线的交点，若/ABC= 50求/ ADC举一反三:1.如图， ABC 中，DE 垂直平分AC交AB 于 E,/ A=30,ZACB=80，求/2.如图， ABC 内有一点 D,且 D 为直线 AB AC 垂直平分线的交点,若/ DAB=20，/ DAC=30，则/ BDC 的大小是(A. 100 B .80 CBE题型二：线段垂直平分线的判定【例 6】如图所示，Rt ABC 中，D 是 AB 上一点，BD=BC 过 D 作 AB 的垂线交 F。求证：BE 垂直平分 CDb (用定义法和判定定理法两种方法)【经典例题回顾】现在你有什么更加

24、简洁的证明过程吗？AC 于点 E，CD 交 BE 于点D2、轴对称作(画)图:(1)画图形的对称轴(2)如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴(3)画某点关于某直线的对称点的方法(4)画已知图形关于某直线的对称图形(1)全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。(2)性质(4)的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据【例 8】如图， ABCDAA B C关于直线对称，下列结论中:厶 ABCAA B C;/ BAC 也/ B AC;I垂直平分直线 BC 和 B C的交点不一定在I上，正确的有(？)A. 4 个？B .

25、3 个? ? C . 2个？D . 1 个举一反三：如图，AABC 与AA/B/C/关于直线 I 对称，则/ B 的度数为()【例7】 如图， 在 接EF交AD于点G, 举一反三：ABC 中，D 为 BC 边上的一点， AD 平分/ BAC 且 DEI AB 于点 E, DF 丄 AC 于点 F,连 求证：AD 垂直平分 EF。如图所示，ABAC乙A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D,自 D 作DE AB于 E,求证：BF=CG1、轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；B(1)(2)(3)(4)两个图形关于某直线对

26、称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。FEBDG_AC 于FA. 50B . 30C . 100 .902、如图六边形 ABCDEF 是轴对称图形,/ BCD 的大小是(CF 所在的直线是它的对称轴，若/AAFC+ BCF=150,则/ AFE+A.150B.300【例 9】如图，周长为 15,求占八、MN 的长P 在/ AOBE33021内，点 M、BDC分别是点 P 关DAO 的对称点、BO 的对称点，若 PEF 的MCC【知识精读】()等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两

27、边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论 1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2 :等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推岀两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.

28、 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论 1 :三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2 :有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3 :在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把

29、顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。等腰三角形专题讲解AON【分类解析】【例 1】如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CE= CD，DM 丄 BC,垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM 丄 BC,所以想到连结 BD，证 BD = ED。因为 ABC 是等11边三角形，/ DBE = / ABC，而由 CE =

30、CD，又可证/ E= / ACB，所以/ 1=ZE，从而冋题得22证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点1所以/ 1 =/ ABC2又因为 CE = CD，所以/ CDE = / E所以/ ACB = 2/ E即/ 1 =ZE所以 BD = BE，又 DM 丄 BC，垂足为 M所以 M 是 BE 的中点（等腰三角形三线合一定理）【例 2】如图，已知：:ABC中，AB = AC，D 是 BC 上一点，且AD = DB，DC = CA，求.BAC的度数。分析：题中所要求的.BAC在ABC中，但仅靠AB =AC是无法求岀来的。因此需要考虑AD =DB和DC =CA在题目中的作用

31、。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为AB = AC，所以一B = C因为AD = DB，所以/B = DAB = C；因为CA二CD，所以/ CAD二-CDA（等边对等角）而ADC = B DAB所以ADC =2 B, DAC = 2 B所以BAC =3 B又因为B C BAC =180即B C 3 B =180所以B =36即求得BAC -108说明 1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一

32、步体现。2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。【例 3】已知：如图，ABC中，AB二AC，CD_AB于 D。求证：BAC = 2 DCB。分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形， BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与 DCB的关系证明：过点 A 作AE _ BC于 E, ；AB二AC1所以.1 = . 2 BAC（等腰三角形的三线合一性质）2因为.1 . B =90又CD _ AB，所以.CDB =90所以3 : _B =90（直角三角形两锐角互余）所以.1=/3 （同角的余角相等）即B

33、AC=2DCB说明：1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造岀 DCB的等角等。4、中考题型：1. 如图， ABC 中，AB = AC, / A = 36, BD、CE 分别为/ ABC 与/ ACB 的角平分线，且相交于点 F,则图中的等腰三角形有（）A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的

34、度数可求得等腰三角形有8 个，故选择Co2. ）已知：如图，在 ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，DE 丄 AB，DF 丄 AC，E、F 分别是垂足。求证：AE = AFo证明：因为AB二AC，所以一B C又因为DE _ AB， DF _ AC所以BED =/CFD =90又 D 是 BC 的中点，所以DB =DC所以DEB三CFD（AAS）所以BE =CF，所以AE = AF说明：证法二：连结 AD，通过AAED三AFD证明即可1.选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为5、题形展示:【例 1 】如图，ABC中，AB=AC,. A

35、=100 :BD 平分.ABC。求证：AD BD = BC。分析一：从要证明的结论岀发，在 BC 上截取BF = BD,只需证明CF = AD,考虑到1 2，想到在 BC 上截取BE =BA，连结 DE，易得，则有AD =FD，只需证明DE二CF, 这就要从条件岀发，通过角度计算可以得岀CF = DF = DE。证明一：在 BC 上截取BE二BA，BF二BD，连结 DE、DF在-ABD和-EBD中，BA = BE，/1 = 2， BD = BD又AB =AC，. A =100而BD = BF即AD BD =BC分析二：如图，可以考虑延长 BD 至 U E,使 DE = AD，这样 BD + A

36、D=BD+DE=BE ，只需证明 BEaa=BC,由于 乙2=20，只需证明ZE乙BCE =80易证.EDC = ADB =180 -100 -20 = 60,BDC =120,故作BDC的角平分线，则有 厶ABD 二 FBD，进而证明 厶DEC 二 DFC，从而可证岀.E =80：证明二：延长 BD 到 E,使 DE = AD，连结 CE,作 DF 平分BDC交 BC 于 F。由证明一知： 1 =/2 =20 , A 100则有3=180 -100 -20 =60 , - 6 =/3 = 60 , - BDC -180 -60 = 120DF 平分 一BDC-4 =5 = 603=60,在A

37、BD和FBD中AD =FD , BFD = A =100,而AD = DE, DF二DE在DEC和DFC中，DE=DF,5 = 6, DC = DC在BCE中，2 =20 ,3 =80说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。【实战模拟】2. 如图，：ABC是等边三角形，.CBD =90 , BD 二 BC，则.1的度数是_3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上4.：ABC中，AB =AC，. A=120，AB 的中垂线交 AB 于 D，交 CA 延长线于 E

38、，求证:DEBC2A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或 8cmD.以上都不对C【试题答案】1. B2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。解：因为:ABC是等边三角形所以AB =BC，ABC =60因为BD = BC，所以AB二BD所以.3=/2在ABD中，因为.CBD =90，. ABC =60所以.ABD =150，所以.2 =15所以.1 =/2 ABC =753. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。已知：如图，在ABC中，AB =AC，D、E 分别为 AC、AB 边中点，BD、CE 交于 O 点。求 证：点 O 在 BC的垂

39、直平分线上。分析：欲证本题结论，实际上就是证明OB =OC。而 OB、OC 在ABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有Z1 Z2的两个三角形全等。证明：因为在ABC中，AB二AC所以.ABC二/ACB（等边对等角）又因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点，所以DC =EB（中线定义）在BCD和CBE中，所以.：BCD二CBE（SAS）所以.1二.2（全等三角形对应角相等）。所以OB =OC（等角对等边）。即点 O 在 BC 的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB =

40、OC ”是关键的一点。（2） 实际上，本题也可改成开放题：“ABC 中，AB = AC，D、E 分别为 AC、AB 上的中点， BD、CE交于 O。连结 AO 后，试判断 AO 与 BC 的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的4.分析：此题没有给岀图形，那么依题意，应先画岀图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取 BC 的中点。证明：过点 A 作 BC 边的垂线 AF，垂足为 F。在ABC中，AB二AC,. BAC =120所以.B二.C = 30311所以.1二/2 =60，BF BC（等腰三角形三线合一性质）。2所以.60（邻补角定义）。所以.1-/3又因为 ED

41、垂直平分 AB，所以.E =30（直角三角形两锐角互余）。1AD AB（线段垂直平分线定义）。2又因为AF = !AB（直角三角形中习 F 角所对的边等于斜边的一半）。2所以AD = AF在RUABF和RUAED中，所以Rt. ABF三Rt. AED（ASA）所以ED = BF1即ED BC。2说明：（1）根据题意，先准确地画岀图形，是解几何题的一项基本功；（2）直角三角形中30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。第十三章实数【知识要点】一、实数：有理数和无理数统称为实数。1、实数有以下两种分类方法：（1）按定义分类（2）按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和

42、有理数一样，例如-3的相反数为.3，倒数为一丄=，- 0 )叫做二次根式，其中a叫做被开方数。1、二次根式的性质：(1)(. a)2二a(a _ 0)；a (a 0)(2)fa? = a = 0 (a = 0)；a (a 0)2、最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。(2) 被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指 数 2。3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫 同类二次根式。4、二次根式的运算：(1).二次根式的运算法则：a b = . ab(a _ 0,b _

43、0)；(3= . an(a _0)；(2).分母有理化(3).二次根式的混合运算三、非负性及应用：1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下：1若 a 是实数，则a A0；2若 a 是实数，则a2n_0( n 为正整数)，当 n=1 时，a2 0;32na(n 为正整数)在实数范围内有意义，则a_ 0,此时a _ 0；3、非负数有如下性质：1有限个非负数之和是非负数；2有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。【典例解析】1、无理数的识别与估算方法例 1、( 1)在实数 3.14，-，3.33331 H，込，0.412，n，-、丟

44、6中，哪些是有理数，哪些5是无理数？(2)估算.243的值()A.在 5 和 6 之间 B. 在 6 和 7 之间 C. 在 7 和 8 之间 D.在 8 和 9 之间2、实数的大小比较方法a . c b . c = (a b). c(c _ 0)；aa(a _0,b0);2例 2、（ 1）比较大小：7_ 屈（填“=”或“ ”）（2）已知a=3j5，b=2jn，贝U a、b的大小关系为 _acO时，1 +a_1 -a.（填 “A”或 “c”）A 表示的数为 x,则 x2 13 的立方根是（）A.、5 13 B. . 5 13C.2 D.4、实数的运算例4、(1)”2一屈+ 一2一2一屈 +”

45、一42；(2) “ _空6+6x6+( 2001 )0 V36;(3)-22-：i-2.5364 3-3 玄一：；-32L .9；(4)4鶯3 -2上 + 丄/75。上35、实数性质的使用例 5、( 1)化简：m-Vm2 (mc0)；Jx 2 +J2 x6、( 1)已知y二x2二j 5，求yx的值。（2）已知7 、.5的整数部分为a，小数部分为b，则a - b=【课堂检测】51、在-2.71, 16，2.5,0,.3,二中，属于有理数的是8（2） 实数 a, b 在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a0; a+0；| b a|0；| 2a | | a+ b |（3）比较大小：当实数3、实数有

46、数轴的关系例 3、如右图：数轴上点(x 2) 2005属于无理数的是2、（ 1）11*v27 =(2)(3)(4)-、117.12 1 27. 18 =.64若a b v0 贝 Ua b V计算142-432 =（6）已知X=丄.弓，y=丄2 2 22-y的值3、 比较大小（i）、：12（2）3+J52 + J6。2 - -4、 下列语句中不正确的是（）A 无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；B . 8 的立方根是士 2 ;C 绝对值等于,6 的实数是.6 D 每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。5、与2 .、3相乘，结果为 1 的数是（D. 26、下列计算正确的是（2.33 .

47、2 =5.3C. 55. 2 =6、.2D. . _62- _6(2)1 -X + J(x-2 f(1 C X J2)；10、已知 y=.x-8 .8-X+18,求代数式y 的值11、细心观察右图和认真分析下列各式，然后解答问题:A ,3B. 2 - .32.37、数轴上表示实数x的点在表示-1的点的左边，则式子正数B. -1C.小于-1；x-22-2 x-12的值是（D 大于-13一5一2同学的解法如下乙、5,2A 甲、乙的解法都正确C.甲、乙的解都错误D.9、计算或化简：（1）32252*2，对于他们的解法，正确的是（.2B.甲正确、乙不正确正确、甲不正确 6 I亠.64；（4）1-詞 +

48、 卜-词 + 师-42.（5）已知 a1(1) 请用含n的(n为正整数)的等式表示上述变化的规律; 2 2 2(3)求岀s ss,0的值。第十四章一次函数一次函数和正比例函数1._概念：若两个变量 x, y 间的关系式可以表示成 y=kx+b (k, b为常数，k 工 0)的 形式，则称 y 是 x 的 (x 为自变量)，特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的 .(1) 一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的来确定.(2) 次函数 y=kx+b (k，b 为常数，k 工 0)中的“一次”和一元一次方程、一元一 次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为

49、1, 一次项系数 k 必须是不为零 的常数，b可为任意常数.练习：已知函数 y =(m 2)xm - n 2 ;(1)21=2,(2)21(3)21=4 ,S301 AA2(2)推算岀0A5=,OA10函数在某变化过程中，存在个确定的值，y 都有的值与之对应，我们称 y 是 x 的函数。练习：函数 y= Jx -1 中自变量的取值范围是_, y=- 中 x 的取值范围是X1（1）若是一次函数，应满足什么条件?（2）若是正比例函数，应满足什么条件？2、 一次函数的图象由于一次函数 y=kx+b（k,b 为常数，k 工 0）的图象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b的图象也称为直线 y=kx+b

50、.此直线与 y 轴的交点（_），与 x 轴的交点（_ ）.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0, _），（1, _）即可.3、 一次函数性质yo）与直线y=kx+b 的图象的关系A. 如果点 P （xo，yo）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 xo,yo的值必满足解析式 y=kx+b;B. 如果 xo, yo是满足函数解析式的一对对应值， 那么以 xo，yo为坐标的点必在函数的图象上.（3）确定正比例函数及一次函数表达式的条件A.由于正比例函数 y=kx （k丰o）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对 x， y的值或一个点）就可求得 k 的值.B.由于一次函数 y=k

51、x+b （k丰o）中有两个待定系数 k，b,需要两个独立的条件确定两个关于 k, b 的方程，求得 k, b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x, y 的值.4一次函数与方程（不等式）（1）. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，解决此类问题关键是找到函数 y=kx+b （心 o, k, b 为常数）与 x 轴的交点（_）, ?直线 y=kx+b 在 x 轴的上方，也就是函函数kb位置丫随 x 的变化草图（1）性质数的值大于零，x 的值是不等式 _（o）的解；在 x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不、选择题1 .

52、一次函数 y=x-1 的图像不经过(?)A.第一象限？?？B.第二象限？?C.第三象限？?？D.第四象限2.已知正比例函数 y=kx(k 工 0)的图像过第二、四象限，则(? ?)A.y 随 x 的增大而减小？?？B.y 随 x 的增大而增大C. 当 x0 时,y 随 x 的增大而减小等式(k0)的解；在 x 轴上也就是函数值等于零，x 的值是方程的解。(2)次函数与二元一次方程组的关系两个函数的交点就是对应的二元一次方程组的解，此时两个函数的值；图像在上方的函数的值较热身训练1 .下列各式 y 是 x 一次函数的为(A : - - By=x2+2x+5C y=2xy=a+3F2如图的四个图象

53、中，不表示某一函数图象的是 的直线，这条直线经过第 _象限，当 x 增大时,)3 .函数 y= x 的图象是一条过原点及 (2,y 随之_4. 函数 y=2x 4,与 x 轴的交点是 _ ，当 x5._函数y=-3x+5 上取 X1=1 , X2=2，比较大小：y1_y2；函数 y=(m2+1)X+2( m 为常数)有 X1= 1 , X2=2，比较大小 y16某一次函数图像过一、三、四象限，则：，y0。.y2；17 如右图， 判断基本训练填空题1 .小华用 500 元去购买单价为 3 元的一种商品，剩余的钱 与购买这种商品的件数x (件)之间的函数关系是_ , x 的取值范围是_2.函数 y

54、= 2x + 4 的图象经过 _ 象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为 _3._ 一次函数 y=kx + b 的图象经过点(1 , 5)，交 y 轴的点的纵坐标是 3，贝 U k=_ , b=4._若点(m, m + 3)在函数 y= x+ 2 的图象上，贝 U m=_5、直线 y=3-9x 与 x 轴的交点坐标为，与 y 轴的交点坐标为6、若直线 y=kx + b 平行直线 y=3x + 4,且过点(1 , -2)则 k=；b=D. 不论 x 如何变化，y 不变3.结合正比例函数 y=4x 的图像回答：当 x1 时,y 的取值范围是(?)A.y=1? B.1 y4 4 如右图，判断直线 k,

55、 b 值范围A. k0 , b0 B. k0 , b0 , b0 D. k0三、解答题1 .已知 y 与 x-2 成正比例关系，且当 x=3 时，y=6，求函数的表达式2、已知一次函数的图象经过点A (- 1，3)和点(2，- 3)，( 1)求一次函数的解析式；(2)判断点 C (- 2，5)是否在该函数图象上。3若函数 y=4x + b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为8,求解析式4、 已知一次函数 y = (m + 4 ) x + m + 2 (m 为整数)的图象不经过第二象限，求m的范围；5、 一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A (0, 2), B (-1, 0)若将该图

56、象沿着 y 轴向上 平移 2个单位，则新图象所对应的函数解析式是什么？6、已知 2y 3 与 3x + 1 成正比例，且 x=2 时，y=5, (1 )求 y 与 x 之间的函数关系式， 并指出它是什么函数；(2)若点(a , 2)在这个函数的图象上，求 a .7、 一个一次函数的图象，与直线 y=2x+ 1 的交点M的横坐标为 2,与直线 y= x+ 2 的交点 N 的纵坐标为 1,求这个一次函数的解析式&某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租车公司签订租车合同.设汽车每月行驶 xKm 个体车主的月费用是 y1元，出租车公司的月费用是 y2元，y1、y2分 别与 x之间的函数

57、关系图像，如图，观察图像并回答下列问题；(1) 每月行驶的路程在什么范围内时，租用公司的车更省钱(2) 每月行驶的路程在什么范围内时，租两家的车的费用相同？(3) 如果这个单位估计每月行驶的路程在 2300Km 那么这个单位租哪家的车比较合算?综合训练1、如图，已知直线 11经过点 A ( 1, 0)与点 B ( 2, 3), 一条直线丨2经过点 B,且与 x 轴交于点 P (m, 0).(1)求直线 11的解析式；(2)若 APB 的面积为 3,求 m 的值.2、为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收 费标准，每月用水量， x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图 2.(1 )求岀

58、当月用水量不超过 5 吨时，y 与 x 之间的函数关系式;(2)某居民某月用水量为 8 吨，求应付的水费是多少？3、近两年某地外向型经济发展迅速，一些着名跨国公司纷纷落户 该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人 员，其信息如下：信息一招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共 名.信息二工资待遇：机械类人员工资为600 元/月，规划设计类人员为1000 元/月.设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x 人、y 人.(1) 用含 x 的代数式表示 y;(2)若公司每月付给所招聘人员的工资为p元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求 p 的取值范围.4、我市某乡

59、 A、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔 200 吨，B 村有柑桔 300 吨现将这些柑桔运到C、D 两个冷藏仓库，已知 C 仓库可储存 240 吨，D 仓库可储存 260 吨；从 A 村运往 C、D 两处的费用分别 为每吨 20 元和 25 元，从 B 村运往 C、D 两处的费用分别为每吨15 元和 18 元.设从 A 村运往 C 仓库的柑桔重量为 x 吨，A，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y元和 yB元.(1)请填写下表，并求岀 yA、yB与 x 之间的函数关系式；收运地CD总计地Ax 吨200 吨B300 吨总计240 吨260 吨500 吨(2)试讨论 A，B 两村中，哪个村的运费

60、较少；(3)考虑到 B 村的经济承受能力，B 村的柑桔运费不得超过4830 元在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求岀这个最小值.第15章整式的乘除与因式分解一、基础知识1同底数幕的乘法：amLi=am n， ( m,n 都是正整数)，即同底数幕相乘，底数不变，指数相加2.幕的乘方：(am)n=amn，( m,n 都是正整数)，即幕的乘方，底数不变，指数相乘。3.积的乘方：(ab)n=anbn，( n 为正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。4.整式的乘法：(1)单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，对于只在 一个单项