武汉理工大学材料力学总复习

1、强度强度抵抗破坏的能力抵抗破坏的能力构件的承载能力构件的承载能力刚度刚度抵抗变形的抵抗变形的能力能力稳定性稳定性保持原有平衡状态的能力保持原有平衡状态的能力 研究研究构件构件在外力作用下变形和破坏的规律；在在外力作用下变形和破坏的规律；在保证构件满足保证构件满足强度、刚度、稳定性强度、刚度、稳定性的要求下，以的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料；为设计构件提供必要的理论基选择适宜的材料；为设计构件提供必要的理论基础和计算方法。础和计算方法。 内力、截面法内力、截面法一、内力一、内力内力指由外力作用所引起的附加内力（分布力

2、系）。内力指由外力作用所引起的附加内力（分布力系）。内力内力质点与质点之间的相互作用力质点与质点之间的相互作用力内力内力=固有内力固有内力+附加内力附加内力外力外力 （强度、刚度、稳定性）（强度、刚度、稳定性） 附加内力附加内力 (1)在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件分为两部分。在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件分为两部分。任取一部分作为研究对象，并弃去另部分。任取一部分作为研究对象，并弃去另部分。(2)其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力代替。应的内力代替。二、二、 截面法截面法F1F2F4F3F1F4F2F3F1F4

3、内力是分布力系，可以求出该内力是分布力系，可以求出该分布力系向形心简化的主矢和分布力系向形心简化的主矢和主矩。主矩。（3）平衡）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。内力对所留部分而言是外力）。FRMOF1F4 例例FFNMmmFmmFF NlFlM 求求m-m截面上的内力。截面上的内力。 应力的概念应力的概念 应力应力一点处一点处内力集（中程）度。内力集（中程）度。1. 应力的概念：应力的概念：（1）平均应力：）平均应力：

4、AFpm 2. 应力的表示：应力的表示： AC F（2）全应力（总应力）：）全应力（总应力）：AFAFAddlim0 pp称为称为C点的应力。点的应力。p是一个矢量。是一个矢量。Cp（3）全应力的分解：）全应力的分解：正应力垂直于截面正应力垂直于截面；切应力位于截面内切应力位于截面内。 p C 受力特点：外力合力的作用线与杆的受力特点：外力合力的作用线与杆的轴线轴线重合。重合。一、轴向拉压的特点一、轴向拉压的特点变形特点：沿杆件的轴线伸长和缩短。变形特点：沿杆件的轴线伸长和缩短。轴向拉伸轴向拉伸偏心偏心拉伸拉伸FFFF二、轴向拉二、轴向拉( (压杆压杆) )的内力的内力轴力轴力FFmmFNFm

5、mFN 轴力轴力FNFmm轴力的正负规定轴力的正负规定: : 拉为正，压为负拉为正，压为负FFmmFFN 三、拉（压）杆横截面上的应力三、拉（压）杆横截面上的应力AFN 正应力正应力 在横截面上均布：在横截面上均布： b - 曲线曲线 e p s 3 31 12 24 4四、材料拉伸和压缩时的力学性能四、材料拉伸和压缩时的力学性能低碳钢低碳钢铸铁铸铁 nu 许用应力许用应力 拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件AFN u极限应力极限应力n安全因数安全因数 1五、拉（压）杆的强度条件：五、拉（压）杆的强度条件： （ 0.2） s b （ bc） 1、塑性材料：、塑性材料：2、脆性材料、脆性材

6、料:极限应力极限应力 u 的取值：的取值：ab六、六、 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形lFFl1a1b1EAlFlN ll , aa lll 1aaa 1用切线代替圆弧的方法求节点位移用切线代替圆弧的方法求节点位移1、超静定问题、超静定问题：单凭静力学平衡方程不能确定出全部未知单凭静力学平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。力（外力、内力、应力）的问题。3、超静定的解法、超静定的解法：由平衡方程、变形协调方程和物理由平衡方程、变形协调方程和物理 方程相结合，进行求解。方程相结合，进行求解。2 2、静不定次数、静不定次数静不定次数静不定次数= =未知力个数未知力个

7、数- -静力学平衡方程数静力学平衡方程数七、拉伸、压缩超静定问题七、拉伸、压缩超静定问题4 4、温度应力和装配应力、温度应力和装配应力八、剪切和挤压的实用计算八、剪切和挤压的实用计算剪切的实用计算剪切的实用计算 SAF 挤压的实用计算挤压的实用计算 bsbsbs AF 变形特点：变形特点：杆件杆件各截面各截面绕轴线发生相对转动。绕轴线发生相对转动。MeMe受力特点：受力特点：在在垂直于杆件轴线的平面内垂直于杆件轴线的平面内作用有力偶。作用有力偶。 一、一、 扭转的特点扭转的特点 二、扭转时的内力二、扭转时的内力扭矩扭矩MeMeMexTMeT构件受扭时，横截面上的内力为力偶构件受扭时，横截面上的

8、内力为力偶，称为扭矩，记作称为扭矩，记作“T ”扭矩的正负规定扭矩的正负规定 以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。四、切应力互等定理四、切应力互等定理 Me Me dxdx 三、扭矩三、扭矩图图五、剪切胡克定理五、剪切胡克定理 G pIT 六、圆轴扭转时的应力六、圆轴扭转时的应力最大切应力：最大切应力：tmaxWT （1）实心圆截面：）实心圆截面：324pdI 七、极惯性矩和抗扭截面系数的计算：七、极惯性矩和抗扭截面系数的计算：(2)(2)空心圆截面：空心圆截面：)(Dd )1(3244p DI16 3tdW )1 (1643t DW

9、强度条件：强度条件： max tmaxmax WT ( 称为许用切应力称为许用切应力)八、圆轴扭转时的强度计算八、圆轴扭转时的强度计算nb ns 塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料九、圆轴扭转时的变形九、圆轴扭转时的变形Me l pIGlT （rad）刚度条件刚度条件 /m)( 180 pmax GITMe 一、梁弯曲时内力一、梁弯曲时内力剪力和弯矩剪力和弯矩正负规定正负规定: :左上右下为正左上右下为正（1）剪力剪力FS: :（2）弯矩弯矩M：左顺右逆为左顺右逆为正正可以装水为可以装水为正正MFSACFAFBFMFSCBFalAbxFBFA内力的正负规定内力的正负规定: :（1）剪力剪力FS:

10、 : 左上右下为正左上右下为正;反之为负。反之为负。左上右下为正左上右下为正FSFSFSFS+FSFS+（2）弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MMMM(+)MM(+)左顺右逆为左顺右逆为正正可以装水为可以装水为正正剪力剪力=截面左侧所有外力在截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。轴上投影代数之和，向上为正。弯矩弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。AqBDaCaaFAFB二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图Bxql

11、AqxF S22xqM FS= FS(x)剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程)(d)(dSxFxxM )(d)(d22xqxxM xqxxF ddS1、若、若q=0，则，则FS=常数，常数，M是斜直线；是斜直线；2、若、若q=常数，则常数，则FS是斜直线，是斜直线，M为二次抛物线；为二次抛物线；3、M的极值发生在的极值发生在FS=0的截面上。的截面上。三、载荷集度、剪力和弯矩间的关系三、载荷集度、剪力和弯矩间的关系四、简易作图法四、简易作图法特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。端点、分区点（外力变化点）和驻点等。利用内力和外力的关系及利用内力和外力的关系及特殊点特殊

12、点的内力值来作图的方法。的内力值来作图的方法。二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段无外力段均布载荷段均布载荷段集中力集中力集中力偶集中力偶q=0q0q0FSFS0 x斜直线斜直线增函数增函数xFSxFS降函数降函数xFSCFS1FS2FS1FS2=F向下突变向下突变xFSC无变化无变化斜直线斜直线xM增函数增函数xM降函数降函数曲线曲线xMxM有折角有折角向上突变向上突变 MxM1M2e12MMMCF AxAySd称为图形对称为图形对x 和和y轴轴的静矩。的静矩。 （面积矩、一次矩）（面积矩、一次矩）yxSS 、 AAxSyd 一、一、 静矩和形心静矩和形心

13、二、形心：二、形心：AAxxA dASy ASx AAyyA dyASx xASy xyCdAyxxyO（1）简单图形的形心和静矩：）简单图形的形心和静矩：yASxASxy （2）组合图形的静矩和形心：）组合图形的静矩和形心：ASxy ASyx yxCyxyxCyx iiyiixxASyASyx123AxAii AyAii （3）图形有对称轴时，形心在对称轴上。）图形有对称轴时，形心在对称轴上。三、惯性矩三、惯性矩 AAyIxd2Ix、Iy称为图形对称为图形对x轴、轴、y轴轴的惯性矩（量纲：的惯性矩（量纲：长度长度4）123bhIz 644dIz 四、简单图形的惯性矩四、简单图形的惯性矩)1(

14、6444 DIzzzzdAyxxyO AAxIyd2五、惯性半径五、惯性半径, AIixx AIiyy 圆截面：圆截面： xi4dxy六、组合图形的惯性矩六、组合图形的惯性矩CxyCxy1213 iyyIIixxII 七、平行移轴公式七、平行移轴公式AaIICxx 2八、形心主惯性轴和形心主惯性矩八、形心主惯性轴和形心主惯性矩 使惯性积为零的坐标轴称为使惯性积为零的坐标轴称为主轴主轴。平面图形对主轴的惯性。平面图形对主轴的惯性矩称为矩称为主惯性矩主惯性矩。 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。惯性矩，称为

15、形心主惯性矩。如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。zIyM xyz一、弯曲正应力公式一、弯曲正应力公式二、最大正应力二、最大正应力zWM max maxM62bhWz bhzy矩形矩形三、抗弯截面系数三、抗弯截面系数32 3dWz 实心圆实心圆zdy)1 (3243 DWz空心圆空心圆Ddzyb2h2hzy一、一、 矩形截面矩形截面梁梁四、弯曲四、弯曲切应力切应力yFSbISFzz*S maxAFS5 . 1 max 二、二、 工字形截面工字形截面梁梁B2H2H2h2hbyzmaxminbISFzz*S y maxmax zWM 五、梁的正应

16、力强度条件五、梁的正应力强度条件 max六、切应力强度条件六、切应力强度条件bISFzz*maxmaxSmax maxSF 挠度挠度w和和转角转角 转角与挠曲线的关系：转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量F xwwCC1 ddxw )(xMwEI xxMwEId)( EIw二、用积分法求二、用积分法求弯曲变形弯曲变形积分常数积分常数C、D由边界条件确定。由边界条件确定。Cx D xxxMd)d)(挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程zEIxMw)( C 三、三、用叠加用叠加法求法求弯曲变形弯曲变形叠加原理叠加原理: :多个载荷同时作用于结构而引起的变

17、形等多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。=+FBAqFACBqBA解题步骤解题步骤：(4)(4)比较原系统和相当系统的变比较原系统和相当系统的变形，解出多余约束反力。形，解出多余约束反力。FBAqlB用用比较变形法比较变形法解超静定解超静定梁梁（1 1）去掉）去掉多余约束得到静定基。多余约束得到静定基。qAB（2）加上原载荷。）加上原载荷。（3 3）加上多余约束反力，得）加上多余约束反力，得到相当系统。到相当系统。（5）在相当系统上求其他量。）在相当系统上求其他量。已知：已知：q、EI、l， 试求试求B

18、点点约束反力约束反力四、四、简单超静定简单超静定梁梁一、什么是一点处的应力状态一、什么是一点处的应力状态二、一点处应力状态的表示方法二、一点处应力状态的表示方法三、主平面、主应力三、主平面、主应力一点的受力状态。一点的受力状态。应力单元体或应力单元体或6 6个应力分量个应力分量 x z xy x y yx yz xz zy zx y 1 2 3321 四、平面应力状态的斜截面上正应力四、平面应力状态的斜截面上正应力 2sin2cos22xyyxyx 五、最大正应力和最小正应力五、最大正应力和最小正应力22minmax22xyyxyx ）（yxxy 2 2tan0 x xy y yx yx xy

19、 x y yx y x xy六、平面应力状态的主平面和主应力六、平面应力状态的主平面和主应力最大和最小正应力就是主应力。最大和最小正应力就是主应力。xy 450 1 1 3 3七、纯剪切应力状态分析七、纯剪切应力状态分析八、空间应力状态八、空间应力状态一点的最大切应力为：一点的最大切应力为：231max 一点的最大正应力为：一点的最大正应力为：1max 九、广义胡克定律九、广义胡克定律 xzyyE 1 yxzzE 1Gxyxy Gyzyz Gzxzx zyxxE 1 13221 E 21331 E 32111 E 1 2 3十、十、四种常用四种常用强度理论强度理论r 其中其中， r r相当应力

20、相当应力。 2 1 3 r r相当相当强度条件：强度条件：十一、十一、复杂应力状态下的强度条件复杂应力状态下的强度条件 最大拉应力理论、最大伸长线应变理论最大拉应力理论、最大伸长线应变理论最大切应力理论、畸变能密度理论（两个屈服准则）最大切应力理论、畸变能密度理论（两个屈服准则）十二、十二、相当应力相当应力11r 3212r 212132322214r 313r 十三、典型二向应力状态的十三、典型二向应力状态的相当应力相当应力223r4 224r3 一、一、双对称轴梁非对称弯曲双对称轴梁非对称弯曲 sinFFy cosFFz zyFyzlxFFyFzyzxxMyMzzMyxyMzxyz最大正应

21、力在最大正应力在D和和D 点点maxmaxmax zzyyWMWM max 强度条件：强度条件： max zzyyWMWM xzyzMyxyMzxyztmax cmax DD 圆截面杆的双向弯曲圆截面杆的双向弯曲lFMy 2yzllF2zyF1Mz+MylFMz21 MyyMzzyzllF2zyF1MyyMzzyzWM max 22zyMMM 32322dMMzy zzyyWMWM max 二、二、拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合yzlxF2F1yzxxMzFNFNN MzM FNNNmax MAFWMzzN MzMmax强度条件：强度条件： max N AFWMzz 三、

22、三、偏心拉（压）偏心拉（压）zyx FMeFM FzyxeAF N zMIMy zyMxFyyM y四、四、弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合MeFlTMe+MFl危险截面在固定端危险截面在固定端WTM223r WTM224r75. 0 长度系数（或约束系数）长度系数（或约束系数）。 l 相当长度相当长度22cr)( lEIF 二、细长压杆临界压力二、细长压杆临界压力欧拉公式欧拉公式两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定一端固定一端固定一端自由一端自由 =1 = 0.7 =0.5 =2一、什么是压杆一、什么是压杆失失稳稳当杆子所受压力达到或超过某一临界值时，压杆丧失其直

23、当杆子所受压力达到或超过某一临界值时，压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳。线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳。三、临界应力三、临界应力) (惯性半径惯性半径AIi il 22cr E 杆的柔度（或长细比）杆的柔度（或长细比）欧拉公式欧拉公式四、压杆的临界应力总图四、压杆的临界应力总图iL cr 22 Ecr 临界应力总图临界应力总图 ba crP S 1 2p21 E bas2 scr bas2 22cr E 1，大大柔度杆柔度杆 2 1，中中柔度杆柔度杆 ba cr 2，粗短粗短杆杆p21 E il AIi AF crcr 五、压杆的稳定校核五、压杆的稳定校核FFncr 安全系数法：安全系数法：工作安全系数工作安全系数nst 规定的规定的安全系数安全系数稳定条件：稳定条件：nstn EIxxMV2d)( 2 2d )(p2 IGxxTV niiiiiAElFV12N2 弯曲：弯曲：扭转：扭转：拉压：拉压：一、基本变形的变形能计算公式一、基本变形的变形能计算公式 LLPxEIxMxGIxTEAlFVd2)( d2)( 2222N二、组合变形时变形能计算公式二、组合变形时变形能计算公式jiij 三、位移互等定理三、位移互等定理四、莫尔定理的普遍形式四、莫尔定理的普遍形式 iiiiiAElFF NN