二次函数与几何综合

1、学习好资料欢迎下载二次函数与几何综合(讲义)一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程:整合信息时，下面两点可为我们提供便利:1_L二次函数关注四点一线，一次函数关注 k、b；2_L找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信1.如图，抛物线 y=ax2- 5ax+4 (av0)经过 ABC 的三个顶点，已知 BC / x 轴, 点A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC.(1) 求抛物线的解析式.(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，已知抛物线 y=ax2-2ax-b (a0)与 x 轴交于 A、

2、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，且点 B 的坐标为(-1，0)，与 y 轴的负半轴交于点 C,顶点为 D .连 接 AC、CD，/ACD=90.(1)求抛物线的解析式；关键点坐标 电 *转_函数表达式*几何特征几何图形精讲精练学习好资料欢迎下载(2)点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 B、A、F、E 四点为 顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标.331直线43 与抛物线 y_4&bxc 交于A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为-8.(1) 求该抛物线的解析式；(2) 点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点(不与点 A、B 重合)，过点

3、P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，交直线 AB 于点 D，作 PE 丄 AB 于点 E.设厶 PDE 的周长为I，点 P 的横坐标为 x,求 I 关于 x 的函数关系式，并求出 I 的最大 值.3.如图，在平面直角坐标系中,学习好资料欢迎下载234.已知，抛物线二ax -2ax b经过 A(- 1, 0) , C(2, ?)两点，与 x 轴交于2另一点 B.(1) 求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为 M，点 P 为线段 0B 上一动点(不与点 B 重合)，点 Q 在线段 MB 上移动，且/ MPQ=45，设线段 OP=x, MQ2y2，求y2与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x

4、的取值范围.学习好资料欢迎下载5.已知抛物线y = ax2bx c 的对称轴为直线 x = 2，且与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y轴交于点 C,其中 A（1, 0），C（0, -3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在抛物线上运动（点 P 异于点 A），1如图 1,当厶 PBC 的面积与厶 ABC 的面积相等时，求点 P 的坐标；2如图 2,当/ PCB =ZBCA 时，求直线 CP 的解析式.学习好资料欢迎下载6.抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A(m-4, 0)和 B(m, 0)，与直线 y=-x+p 相交于点 A 和点 C(2m-4, m-6).(1) 求

5、抛物线的解析式；(2) 若点 P 在抛物线上，且以点 P 和 A、C 以及另一点 Q 为顶点的平行四 边形ACQP 的面积为 12,求 P、Q 两点的坐标；(3) 在(2)的条件下，若点M是 x 轴下方抛物线上的一动点，当 PQM 的面积最大时，请求出厶 PQM 的最大面积及点 M 的坐标.学习好资料欢迎下载三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛线段长研究函数表达式关键点坐标转线段长二、精讲精练1.解：（1）令 x=0，则 y=4,点 C 的坐标为（0, 4）, BC/ x 轴，点 B, C 关于对称轴对称，又抛物线 y=ax2-5ax+4 的对称轴是直线 x=-5a=5，即直线 x =52a

6、 22点 B 的坐标为（5, 4）, AC=BC=5,学习好资料欢迎下载在 RtAACO 中，OAFAC_OC =3 ,点 A 的坐标为 A ( -3 , 0),抛物线 y=ax2-5ax+4 经过点 A,1 9a+15a+4=0，解得a =,6抛物线的解析式是y=x2+5X + 46 65 22(2)存在，M (5,22)23理由： B, C 关于对称轴对称， MB=MC, |MA-MB|=|MA-MC# AC ;当点 M 在直线 AC 上时，MA-MB 值最大,设直线 AC 的解析式为y =kx - b则-3kb = 4解得4k =3,b = 4y =4x 43令x =5，贝卩2222.解

7、：(1)v抛物线y二ax2-2ax-b过点 B (-1 , 0), a+2a-b=0, b=3a,2y二ax2ax3a令 y=0,则 x= -1 或 x=3, A (3, 0), OA=3 ,令 x=0,则 y=-3a,. C (0, -3a), OC=3aTD 为抛物线y=ax2-2ax-3a的顶点， D (1 , -4a)过点 D 作 DM 丄 y 轴于点 M,则/ AOC=ZCMD=90 , 又/ACD+ZMCD =ZAOC+ / 1, / ACD=ZAOC=9O学习好资料欢迎下载OA OCCM - DM/ D (1, -4a),. DM =1, OM=4a,. CM=a3=3a,二a2

8、=1 ,a0,： a=1a 1抛物线的解析式为：y =x2-2x-3(2)当 AB 为平行四边形的边时，贝 U BA/ EF,并且 EF= BA =4由于对称轴为直线 x=1,A点 E 的横坐标为 1点 F 的横坐标为 5 或者-3将 x=5 代入y = x2-2x-3 得 y=12,- F (5, 12).将 x=-3 代入y =x2_2x_3得 y=12,- F (-3, 12).当 AB 为平行四边形的对角线时，点 F 即为点 D,- F (1, -4).综上所述，点 F 的坐标为(5, 12), (-3, 12)或(1, -4).333.解：(1)对于 y= x- ，当 y=0, x=

9、2 ;当 x= - 8 时,42y=152 A 点坐标为(2, 0), B 点坐标为(-8,-兰)21由抛物线-；x2 bx c经过 AB两点，得0 = -1 2b c1516 8b c2c2.123.5y x x .442(2)设直线 y=3x -3与 y 轴交于点 M42当x=0时，亡OM= |-点 A 的坐标为(2, 0), OA=2,. AM=OA2OM2=?2学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载 OM: OA: AM=3: 4: 5.由题意得，/ PDE=ZOMA，/ AOM =ZPED=90, :.AOM PED. DE: PE: PD=3: 4: 5点 P 是直线 AB 上方的抛

10、物线上一动点,3x 5)_(3X0=1X242424321848x x555.l3(x 3)2155由题意知：-8 x2-x - -3时，I最大=15.234解：(1)v拋物线 yz=ax-2ax b经过2,0), c(o, ?)两点,a +2a +b =02拋物线的解析式为 y1= -x2-2 2(2)解法一：过点 M 作 MN 丄 AB 交 AB 于点 N,连接 AM由 y1= -x2x3可知顶点 M(1, 2) , A(-1, 0), B(3, 0),2 2 AB=4 , MN=BN=AN=2, AM=MB=2、2.AMN 和厶 BMN 为等腰直角三角形.vZMPA+ZQPB=ZMPA

11、+ZPMA=135/QPB=ZPMA又vZQBP=ZPAM=45QPBsPMA.空=BQAM BP将 AM =2、 、2, AP=x+1,BP=3 x, BQ=22丫2代入,可得x+1=土迭,2；23x即y2二125xx+ -22PD=( Zx24-lx 4学习好资料欢迎下载点 P 为线段 0B 上一动点(不与点 B 重合) O_xv 3 则 y2与 x 的函数关系式为 y2=- (Ox3)2 2解法二：过点 M 作 MN 丄 AB 交 AB 于点 N.由 y-= 一丄 x2x3易得 M(1, 2), N(1, O), A(- O), B(3, O),2 2 AB=4 , MN=BN=2, M

12、B=22, MBN=45 .2 2 2 2根据勾股定理有 BM -BN =PM -PN .22(2-22=PM2_(1 x )，又.MPQ=45 = MBP,MPQsMBP,2PM2二MQ MB=y2222125由、得 y2= x -x .22TO 丄3,. y2与 x 的函数关系式为 y2=-x2-x -(0_x/17 -7-717、3+V17 -7+717、F2（，一），一）2 2 2 2综上所述，点 P 的坐标为：P （2，），P2(3-17 -7-帀2 2），P3(过点 B 作 AB 的垂线，交 CP 于点 F.如图 2，vB(3,0), C(0,-3) OB=OC,AZOCB=ZOB

13、C=45/CBF=ZABC=45又/PCB=ZBCA,BC=BCACBAFCB BF=BA=2,则点 F (3,- 2)又 CP 过点 F，点 C直线 CP 的解析式为 yx-3.36解：(1)如图 1,过点 C 作 CE 丄 AB,交 AB 于点 E.点 C(2m-4, m-6),.点 E(2m-4, 0)EC=6- m, AE=OE+EA=m又直线 AC: y=-x+py*图1学习好资料欢迎下载:丄EAC=45 , AE=EC 即 6 m=m, m=3. A(-1, 0), B(3, 0), C(2, -3)可得抛物线解析式为 y=x2-2x-3，直线 AC 解析式为 y= -x-1（2）

14、如图 2, AC=3-.2，AC 所在直线的解析式为：y=-x-1, 平行四边形 ACQP 的面积为 12.平行四边形 ACQP 中 AC 边上的高为12=2；2过点 D 作 DK 丄 AC 与 PQ 所在直线相交于点 K, DK= 2 、2, 符合条件的点 K 在直线 AC 的两侧各有一个， PQ 所在直线可能在直线 AC 的两侧各有一条,又/ OAD=45 ,二 DN=4PQ 的解析式为 y=-x+3 或 y=-x- 5y 二 x2_ 2x3y - -x 313=x-4,解得1x =_2, M (-,152=X2_2x-3k4154或卷八2y2-5V2y = x _2x _3y = _x

15、_5方程组无解.即 Pi(3, 0),P2(-2, 5) ACPQ 是平行四边形,A(-1, 0) 当 P(3, 0)时，Q(6, -3)当 P(-2, 5)时，Q(1 , 2)C(2, -3)满足条件的 P, Q 点是 P1(3, 0), Q1(6, -3)或 P2(-2, 5),Q2（1, 2）（3）如图 3,作直线 I 平行于 PQ 所在的直线（即 BN）, 且使得 I与抛物线只有一个交点，这个交点即为 M （此时以 PQ 为底，高最大，面积最大）设I的表达式为y = -x b,丄 y 二-x b2贝卩2，得 x X 3 -b = 0 ,ly =x - 2x -3由厶=0，得 b=137

16、，学习好资料欢迎下载设 I 与 y 轴交点为点 G,过 G 作 GH 丄 BN 于点 H ,易得/ NGH=45，贝U在 Rt NGH 中，GH 二二2NG2又 N (0, 3), G (0,13), NG=2544225一2二 GH=NG二-2 8PQ=AC=3、2 S=1PQGH3.2 52752 2 8 8M（1 ,-乎），最大面积为75.二次函数每日一题1.如图，已知抛物线 yi=- 2x2+ 2,直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y2若旳机，取 y1、y中的较小值记为 M ；若 y=y2，记M=y1=y2.例如：当 x=1 时，y1=0, y2=

17、4, y10 时，y1y2；2当 x 0 时，x 值越大，M 值越小；3使得 M 大于 2 的 x 值不存在；4使M=1的x值是-2或予.其中判断正确的是_ .22.对于二次函数y=x -2mx -3，有下列说法:1它的图象与 x 轴有两个公共点;2如果当 XW1 时y随 x 的增大而减小，则 m=1；3如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m = -1；4如果当X二4时的函数值与x =2008时的函数值相等，则当x =2012时的 函数值为-3.其中正确的说法是_3.若关于 x 的一兀二次方程（x -2）（x - 3）有实数根x x?，且xx2，有下I学习好资料欢迎下载列结论：11Xi=

18、2 , X2=3:mp、一 ；二次函数y =（x -xj（x -X2）- m的图象与 x 轴4交点的坐标为（2, 0）和（3, 0）.其中正确的结论是 _:4.已知二次函数y=x2+bx+c，当 xWl 时，总有 y0当 1（ 3C . 1c 3D. c0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于空；当 m-4时，y 随 x 的增大而减小；当 m0 时，函数图象经过同一个点其 中正确的结论有_ .学习好资料欢迎下载【参考答案】1.234. B5. 二次函数与几何综合（随堂测试）1.已知二次函数y =x2-2x-8的图象与 x 轴的交点分别为 A、B（点 A 在点 B 左 侧)，点 M 在直线

19、y = x 一 10 上，当 MA+MB 最小时，求直线 AM 的函数解析式./【参考答案】直线 AM 解析式为：y=-x-12二次函数与几何综合(作业)学习好资料欢迎下载1.已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 A,点 B 在 x 轴正 半轴上，且 OAB 是等腰直角三角形.(1)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式.(2)若点 P 是第一象限内抛物线上的一动点，那么 PAB是否有最大面积？若有，求出此时点 P 的坐标和厶 FAB 的最大面积；若没有, 请说明理由.2.将直角边长为 6 的等腰 Rt AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 0 为坐标原

20、点， 点 C、 A 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， 一条抛物线经过点 A、 C 及点 B( 43,0).(1) 求该抛物线的解析式；学习好资料欢迎下载(2) 若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E,连接 AP,当厶 APE 的面积最大时，求点 P 的 坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 6， 使厶AGC的面积与(2)中 APE的最大面积相等？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.学习好资料欢迎下载3.如图，抛物线 y=x2- 2x+c 的顶点 A 在直线 I: y=x- 5 上.（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与 y

21、 轴交于点 B,与 x 轴交于 C、 D 两点 （点 C 在点 D 的 左侧），试判断厶 ABD 的形状；（3）在直线 I 上是否存在一点 P,使以点 P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.学习好资料欢迎下载4.如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是(0, .3)，以点 C 为顶点的抛物线y =ax2bx c恰好经过x轴上的 A、B 两点.(1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；(3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点 D，求平移后抛物线的 解析式，并指出平移了多少个单位.学习好

22、资料欢迎下载【参考答案】1解：(1)VA、C 分别是直线 y=3x+3 与 y 轴和 x 轴的交点 A(0，3)，C (-1, 0)又 OAB 是等腰直角三角形 B (3, 0)设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为：y=a (x+1) (x-3)把 A 点坐标代入表达式得：a - -1二 y= - x2+2x+3(2)PAB有最大面积，当 P 点坐标为(,5)时，最大面积为27.理由248学习好资料欢迎下载如下:如图，TP 点在抛物线上，P (m, -m1 2+2m+3)过 P 作 PD 丄 x 轴于点 D，交 AB 于点 E,作 AF 丄 PD 于点 F，则 E111SZPAB=SZAP

23、E+SABPE=AF PE BD PE PE( BD AF )2221233227=-(m +2m+3+m3)(m 3m)二(m ) +-222 8当 m=3时，SPAB最大=迢，此时p (，15)2皿8242解：(1)如图，由题意得：A (0，6)、B (-3, 0)、C (6, 0)设抛物线表达式为 y=a (x+3) (x-6)把 A 点坐标代入表达式得：a =3故此抛物线的解析式为：y -X2+X+63(2)如图，1设点 P 的坐标为(m,0),则 PC=6- m，SABCBC AO2(m, -m+3)学习好资料欢迎下载1-9 6=272学习好资料欢迎下载 PE/ AB,MEPSMABlAAJ唱)2，即SACEP=1( SSPC=2pc A0 =丄(6m) 6=3(6m)2 212132SAAPE= SAAPC- SACEP- 3(6 - m)(6 - m)(m )33243；此时，点 P 的坐标为(-,0)42 G 点在抛物线上12设G( n,-n2+ n+6),过 G 作 GD 丄 x 轴于 D 点,交 AC 于点E,则 E(n, - n+6