由递推公式求通项公式的几种基本类型[1]

1、例 1 1 在数列an中，ai3, ,anian1n(n 1)，求通项公式网课7 :由递推公式求通项公式的几种基本类型求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一、作差求和法解:原递推式可化为：an 111a3a223a4a3111nn 1134nan4n、作商求和法解：原递推式可化为:1 1冲11an则a2a1,n n 11 21逐项相加得:ana111. .故1 nnn例 2 2 设数列an是首项为的正项数列, 且(n 1)an2nanan 1an0(n=1,2,3(n=1,2,3)，

2、则它的通项公式是an= =_20002000 年高考 1515 题)(n 1)an 1nan(an1an)=0=0an 1an0,an 1nann 1电a1ann 1 an 1n逐项相an1a1n即an= =. .n三、换元法4已知数列 an ,其中a1,a23时，anan 1（an1an 2），求通项公式an（198619863年高考文科第八题改编）解：设bn 1anan 1，原递推式可化为:bn 1an1bn 2,bn是一个等比数列,3b (1)n2d ()331 1n()22 3bn 1b1a2ai1(1)n2()n. .故9 33anan 11341G 3 G)n.由31，公比为9逐差

3、法可例 4 4 已知数列an，其中a11,a22，且当 n n 3 3 时,an求通项公式an。解 由an2an 1an 21得:(anan 1)bn 1anan 1，则上式为bn1bn因此bnb-ia2a11, 公差为 1.1.故bnn. .。由于bib2bn 1a2a1a3a2an又bib2bn1 32所以an11 1?n(n 1)，即an(n22)四、积差相消法例 5 5 （19931993 年全国数学联赛题一试第五题）设正数列满足.anan 2an 1an 2= =2an 1(n 2)且a0a1解 将递推式两边冋除以an 1an 2整理得： .anVan 1an，则b1n 12an 1

4、an 21,(an 1an 1anao,a1,an 2)1，令等差数列，an，an,1，求an的通项公式. .a1=1=1 ,bn2bn 11，故有a。b22bi1b32b21bn2bn 11( (n 1) )由2n 2+ +2n 3bn1 2 222n1= =2n1，即逐项相乘得:an= =(21)2(221)2n1)2，考虑到a。1,+ +(+(n 1) )2得故an12 2 2(2 1) (2 1)(2n1)2(n 0)(n 1)五、取倒数法例 6 6 已知数列an中，其中a11,，且当 n n 22 时，anan 12an 11求通项公工式an。解将anan 12an 11两边取倒数得

5、:1 1anan 1这说明个等差11数列，首项是1，公差为 2 2，所以1 (n 1)2a1an2n 1，即an12n 1六、取对数法例 7 7 若数列an中，a1=3=3 且an 12an(n n 是正整数)，则它的通项公式是an= =_20022002 年上海高考题)由题意知an 0 0 ,将an 12an两边取对数得lg an 12 lg an,即1、an 1AanB（A A、B B 为常数）型，可化为an i=A=A （a“）的形式Sn3 4Snn 12n 12nlganlgai2 lg3，即a.3七、平方(开方)法例 8 8 若数列an中，ai=2=2 且any3 a* i（n n2

6、），求它的通项公式是a*. .I22222解 将an3an1两边平方整理得anan 13。数列an是以ai=4=4 为首项，3 3 为公差的等差数列。a；a；（n 1） 3 3n 1。因为a. 0 0,所以an3n 1。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路其变换的基本形式如下:例 9 9 若数列an中，ai=1=1 ,Sn是数列an的前n项之和，且S（n n1）,求数列an的通项公式是an. .lg an 1lg an2，所以数列lg an是以lg ai= =lg 3为首项，公比为2 2 的等比数列,解递推式Sn i33S(1)设（1 1

7、 ）式可化为丄Sn 113(J)Sn(2)比较（1 1 ）式与（2 2） 式的系数可得2，则有1Sn 13(右Sn2）。故数列2 是以SnSi23为首项，3 3 为公比的等比数列。g 2,31M。所以anSnSn 113n213n 1232nn2 3。8 3n12数列an的通项公式是an2 3n32n8 3n12(n(n1)。2)式。2 2、an 1AanBCn1= =A(an例 1010 在数列an中,解：原递推式可化为:an 132(anCnCn)ai3n，下同）型，可化为1,an 12an4 3n 1,求通项公式an。1)比较系数得 =-4=-4，式即是：an 1则数列an4 3n 1是

8、一个等比数列,an43n 15 2n 1n 1n 1即an4 35 24 3n2(an4 3n1). .其首项a1431 1公比是 2.2.3 3、an 2A an 1B an型，可化为an 2(A)(an 1an)的形例 1111 在数列an中，a11, a22，当nN，an 25an 16an通项公式an. .解：式可化为:an 2an 1(5)(an 1an)比较系数得 =-3=-3 或 =-2=-2，不妨取=-2.=-2.式可化为:an 22an 13(an 12an)则an 12an是- -个等比数列，首项a22a1=2-2=2-2(-1(-1 ) =4=4 , 公比为 3.3. an 12an43n 1利用上题结果有:an43n 152* 14、an 1BnC型，可化为an 11nAan1(n 1)2的形式。例 1212 在数列an中,