立体几何中的向量方法(距离问题)

1、空间空间“距离距离”问题问题复习回顾：复习回顾：1.异面直线所成角： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n cos12|cos,|n n 向量法求空间距离的求解方法向量法求空间距离的求解方法1.空间中的距离主要有空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离平面的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可

2、以转化点到平面的距离离都可以转化点到平面的距离.2.空间中两点间的距离空间中两点间的距离:设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则则222121212()()()ABxxyyzz 3、点到直线的距离：、点到直线的距离：asin, dAPAP a 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？为端点的晶体的对角线的长

3、与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，11AAADABAC 进行向量运算进行向量运算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思考：思考：(1)本题中四棱柱的对角线本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？

4、(2)(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , , 那么那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? ? A1B1C1D1ABCD (3) (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少是多少? (? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）面的距离或两点间的距离）11BDBABCBB 11 120 60ABCABBB BC 其其

5、中中，思考思考(1)分析分析:思考思考(2)分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设11 ACABADAA 由由222211112()ACABADAAAB AD AB AAAD AA 222 32(3cos)axx 即即1 36cosxa 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离转化为点面距离来求面面距离转化为点面距离来求. 11HACHAA于点于点平面平面点作点作过过 解：解：. 1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由

6、. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111 cos| |3AAACA ACAAAC 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是6 .3 思考思考(3)(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? ? 如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离? n A P O 4、用向量法求点到平面的距离、用向量法求点到平面的距离： 练习如图，练习如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B

7、 B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 68DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E ABCD1A1B1C1DExyz 例例 2. 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，的中点，(1)求点求点

8、E到直线到直线A1B的距离的距离. 建立坐标系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 点点E到直线到直线A1B的距离为的距离为1113sin, 24dAEAEAB ABCD1A1B1C1DExyz(2) 求求B1到面到面A1BE的距离；的距离；例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，的中点，11112( , , )AEABnx y zABE解=(-1, ,0),=(0,1

9、,-1)设为面的法:向量，则110,0,n AEn AB 10,20,xyyz 2 ,2 ,yxzx即11(1,2,2)xABEn 取 ，得平面的一个法向量11110,1,0 ,BABEAB 选点 到面的斜向量为111123AB nBABEdn 得 到面的距离为ABCD1A1B1C1DExyz例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，的中点，(3) 求求D1C到面到面A1BE的距离；的距离；解解:D1C面面A1BE D1到面到面A1BE的距离即为的距离即为D1C到面到面A1BE的距离的距离仿上法求得仿上法求得111113D A

10、nDA BEdn 到到面面的的距距离离为为ABCD1A1B1C1Dxyz例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，的中点，(4) 求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离；的距离；解解:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即为的距离即为面面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离111( 1,1,1)(1,0,0)A BDnD A 易易得得平平面面的的一一法法向向量量且且111133D A nDA BDdn 则则到到面面的的距距离离为为 nabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则|nABnCD A，B分别在

11、直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为 的的法向量法向量3. 异面直线间的距离异面直线间的距离 即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，21,llCD小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值可取其射影的绝对值）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直