专题二三角函数与平面向量学案

1、专题二 三角函数与平面向量【思维导图】【考向预测】回顾20082012年的考题中，在填空题中主要考查了三角公式的运用、三角函数的图象、正、余弦定理的运用及平面向量的数量积在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值、2009年考查了向量与三角化简的综合问题，而2010年单独考查了平面向量的基本运算在近四年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题在近五年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，基本上考查不多，但作为三角化简的基本功还是要掌握其公式的特征的预计在2013年的高考题中：(1)填空题依然是考查简单的三角函数化简、三角函数图象与性质、解三角

2、形、平面向量的基本运算，随着题目设置的顺序，难度不一(2)在解答题中，三角函数的化简以及三角函数的性质依然是解答题第一题的热点，兼顾三角形和平面向量的题也会出现，应用题考查几何图形中三角函数的运用的可能性也很大【备考策略】由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮的复习学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，公式很多，有些公式易用错，在复习时要加强对基本公式和基本运算的训练(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或

3、者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形和与三角函数有关的实际应用问题(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地应用数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用第1讲 三角函数及恒等变换【知识梳理】1.三角公式三角函数的定义同角三角函数关系平方关系：sin2+cos2=1商数关系：两角和与差的公式；。诱导公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”得到相应的诱导公式可以由两角和与差的公式令=k可以得到相应的诱导

4、公式倍角公式可以由两角和与差的公式，另得到相应的倍角公式2.公式的作用(1)三角函数的定义：建立角的终边上的点坐标与三角函数之间的关系(2)同角三角函数关系：主要是解决相同角之间的三角函数之间的关系(3)诱导公式：解决与k的三角函数值之间的关系(4)两角和与差的公式：解决角的和与差的三角函数值与原角的三角函数值之间的关系(5)二倍角公式：解决角的倍数关系及三角函数升降幂变化3三角函数化简的原则(1)式子的结构最简单：整式或常数(2)式子的方次最简单：一次或常数(3)式子的名称最简单：名称统一或常数(4)式子的角最简单：角统一或常数【热点探究】探究点一三角函数定义的运用 三角函数的定义主要是由角

5、终边上的点坐标得到三角函数值，再进行三角化简和求值。三角函数的定义中关键在于角的始边必须与x轴正半轴重合，且角的终边与单位圆相交所得点的坐标才为(cos，sin)【例1】如图，O为坐标原点，点A，B，C均在O上，点A，点B在第二象限，点C(1，0)(1)设COA，求sin2的值；(2)若AOB为等边三角形，求点B的坐标 【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于A，B两点已知A，B两点的横坐标分别是，.(1)求tan()的值；(2)求2的值探究点二三角形中的三角化简求值问题 三角形中的三角化简求值问题不仅需要借助于三角公式研究，还需要结合正余弦定

6、理来达到化简和求值的目的【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin2cosA, 求A的值；(2)若cosA，b3c，求sinC的值探究点三向量背景下的三角化简和求值 向量的坐标运算会与三角函数有关联，这类问题需要先用向量公式进行运算后，再用三角公式进行化简和求值【例3】已知向量a(4,5cos)，b(3，4tan)(1)若ab，试求sin的值；(2)若ab，且，求cos的值【变式】设平面向量a(cosx，sinx)，b(cosx2，sinx)，c(sin，cos)，xR.(1)若ac，求cos(2x2)的值；(2)若x，证明：a和b不可能平行【技巧提炼】1三角化简和

7、求值问题需要先建立已知角和所求角之间的关系，然后分析式子的结构和三角函数的名称，设计化归方向2三角函数的化简问题不仅仅在三角函数性质研究中运用，在三角形的研究和向量运算中也有运用，所以三角函数的化简是研究三角函数的基础，复习时注意积累三角函数化简的技巧3三角化简和求值中要关注的细节就是角的范围，特别是用平方关系求三角函数值的时候【随堂练习】1.已知sin，则sinsin2x的值为_2.已知，cos()，sin().(1)用，表示2；(2)求sin2，cos2的值第2讲 三角函数的图形和性质【知识梳理】1.三角函数的图像和性质2.三角函数性质的研究三角函数也是函数，研究其函数性质时，可以从三角函

8、数的解析式或三角函数的图象进行研究在研究函数性质时，首先应将所给三角函数化归为yAsin(x)、yAcos(x)、yAtan(x)，再利用换元tx，从而转化为yAsint、yAcost、yAtant的性质进行研究【热点探究】探究点一三角函数的图象与变换三角函数图象的研究主要是根据函数图象求函数的解析式和函数的性质；三角函数图象的变换主要是指平移变换、伸缩变换、对称变换【例1】(1)给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；图象向右平移个单位长度；图象向左平移个单位长度；图象向右平移个单位长度； 图象向左平移个单位长

9、度请用上述变换中的两种变换，将函数ysinx的图象变换到函数ysin的图象，那么这两种变换的序号依次是_ _(填上一种你认为正确的答案即可)(2)函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，0,2)的图象如图所示，则_.探究点二三角函数的周期性与对称性对于函数yAsin(x)的周期是由的值来决定，而周期性也影响了三角函数的对称性和单调性对称轴的方程和对称中心的坐标还要受到的值的影响，所以考查时常有由性质求解析式，由解析式来研究性质【例2】(1)已知函数f(x)2sin(x)(>0)的图象关于直线x对称，且f0，则的最小值为_(2)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周

10、期为，且f(x)f(x)，则f(x)的单调减区间为_【变式】（1）若f(x)Asin(x)1(>0，|<)对任意实数t，都有ff.记g(x)Acos(x)1，则g_.(2)设>0，函数ysin2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是_探究点三三角函数的单调性与值域对于函数yAsin(x)的单调性和值域求解，首先应该将所给三角函数进行化归后，通过设tx的换元处理，从而转化为ysinx的单调性进行研究，明确单调性后，值域即可求出【例3】已知函数f(x)sin2cos2sinxcosx，xR.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值；(2)求f(x)在0，上的单调增

11、区间【变式】已知函数f(x)sincos2x2cos2x.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值及相应x的值【规律技巧提炼】1三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数叠加后所得函数的研究，首先需要对所给函数进行化归，在化归的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化归后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，故对ysinx，ycosx，ytanx的性质必须掌握2在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即A，x，对函数性质和图象的影响3三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异【随堂练习】1.函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A

12、>0，>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_2.若函数f(x)Asin(x)(A>0，>0)的部分图象如图所示，则的值为_3. 如图，定义在区间上的函数y6cosx的图象与y5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与ysinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_第3讲 平面向量的线性运算【知识梳理】1平面向量的线性运算(1)加法、减法、数乘运算(2)三角形法则、平行四边形法则2两个定理(1)向量共线定理如果存在一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.(2)平面向

13、量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.3核心问题(1)向量的基底运算(2)三角形和四边形中向量的运算【热点探究】探究点一平面向量的基底的运用 在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量【例1】设e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，已知e1，e2，x·y·(x，y为实数)若PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则xy取值的集合为_ _ 【变式】设E，F分别是RtABC的斜边BC上的两个三

14、等分点，已知AB3，AC6，则·_ _.探究点二多边形中向量的线性运算多边形中的向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件用基底表示后，再研究图形中的特征【例2】如图102，在ABC和AEF中，B是EF的中点，ABEF1，CACB2，若··2，则与的夹角等于_【变式】等腰直角三角形ABC中，A90°，AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当·时，_.探究点三向量线性运算中的参数的范围向量线性运算中参数取值范围问题，关键是将所给向量的等式或图形条件，转化为参数

15、的等式或不等式条件，从而根据所得条件，求出参数的取值范围【例3】 在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2y21上相异三点，若存在正实数，使得，则2(3)2的取值范围是_【变式】如图104，设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且mn，m，nR，则m2(n2)2的取值范围为_【规律技巧提炼】平面向量的线性运算除了常规加法、减法、数乘、数量积外，还有几个关键要素：(1)基底向量的建立；(2)未知向量与基底向量的关系；(3)向量条件的几何意义；(4)参数取值范围的几何解法【随堂练习】1.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，则实数k的值为

16、_2.已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60°，则|ab|_.第4讲 平面向量的坐标运算及数量积【知识梳理】1平面向量的数量积a·b|a|b|cos.2平面向量的坐标运算若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘a(x1，y1)向量共线abx1y2x2y10距离公式|数量积a·bx1x2y1y2模|a|垂直abx1x2y1y203.核心问题(1)有关数量积的基本运算(2)有关数量积的定值和最值问题(3)用三角函数研究与向量有关的问题【热点探究】探究点一平面向量的数量积基本运算 平面向

17、量的数量积的基本运算主要包含以下几个方面：一是用定义法或坐标法求解数量积；二是求解向量的模；三是求解向量的夹角【例1】 (1)设向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0<<<，若|2ab|a2b|，则_.(2)在ABC中，AB1，AC2，O为ABC外接圆的圆心，则·_.【变式】等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若··，则实数的值是_探究点二平面向量的数量积最值问题 与动点有关的向量数量积问题中最常见的问题是求动点构造的向量的数量积的最值问题，此类问题一般需要建立与数量积有关的函数，通过函数求最值【例2】如图放置的边长为1的正方

18、形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)上滑动，则·的最大值是_【变式】已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为_探究点三用三角函数研究向量中的参数取值范围问题在用坐标研究向量问题时，涉及参数取值范围时，建立参数与坐标之间的函数关系较为困难或建立后没有办法研究时，可以用对应的三角函数值表示向量的坐标，再建立参数与三角函数的关系，也是研究问题的一个途径【例3】 如图112，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为_ 【变式】平面内两个非零向量，满足|1，且与夹

19、角为135°，则|的取值范围_【规律技巧提炼】1向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算2研究向量，一般有两个途径，一是建立直角坐标用坐标研究向量间的问题，二是用基底向量来研究3与向量数量积有关的最值或参数的取值范围，可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究，也可以考虑其几何意义，从几何角度来研究【随堂练习】1.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)、B(2,3)、C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值2.在ABC中，角A、B、C所对的边长分

20、别为a、b、c，设向量x(sinB，sinC)，向量y(cosB，cosC)，向量z(cosB，cosC)，若z(xy)，求tanBtanC的值第5讲 三角函数的综合问题【知识梳理】1三角函数的综合问题主要包含以下几个方面(1)与三角形有关的三角函数问题(2)与向量有关的三角函数问题(3)三角函数的实际应用题2有关定理和公式(1)正弦定理：2R(R为ABC外接圆半径)(2)三角形面积公式：SabsinCbcsinAacsinB.(3)余弦定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC，cosA， cosB， cosC.(4)仰角与俯角：与目标视线在同一

21、铅垂水平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时的夹角叫做仰角；目标视线在水平视线下方时的夹角叫做俯角(5)方位角：一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角，在实际问题中，一般更明确地指出方位角的具体方向【热点探究】探究点一 三角形背景下的三角函数研究在斜三角形的研究中，除了三角形形状本身的研究，也会出现以三角形中的角为自变量的三角函数性质的研究，这里要注意因为三角形形状的影响，而带来自变量的取值范围的变化【例1】已知ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若.(1)求角A；(2)若f(x)cos2(xA)sin2(xA)，求f(x)的单调递增区间探究点二 向量背景下

22、的三角函数的研究向量背景下的三角函数的研究主要指的是所给向量的坐标用三角函数表示，以向量的数量积构造三角函数，并且进一步对所得三角函数进行研究其中向量仅仅在其中起到的是给命题带“帽子”的作用【例2】 已知a(sinx,1)，b(1，cosx)，且函数f(x)a·b，是f(x)的导函数(1)求函数F(x)f(x)的最大值和最小正周期；(2)若f(x)2，求的值探究点三 解三角形的实际应用问题解三角形的实际应用问题主要是测量问题和航行问题，需要将所给实际问题转化为三角形后，用三角形知识和三角函数进行研究【例3】如图121，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680 km的空中B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成角的方向飞行，在中途C处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B处已知sin.(1)在飞行路径ABC中，求tanC；(2)求新的飞行路程比原路程多多少千米(参考数据：1.414，1.732) 探究点四 三角函数的实际应用题三角函数的实际应用题指的是在实际问题中建