第一讲单元函数微积分1ppt课件

1、 第一讲 极限与连续 一元函数微积分 专题1. 极限的求法(1)(1)用初等数学用初等数学( (例如三角、对数、指数例如三角、对数、指数, , 分子与分母同乘以某式分子与分母同乘以某式, ,提公因式等提公因式等) )中的恒等变形中的恒等变形, ,使能约分的约分使能约分的约分, , 能化简的化简能化简的化简. .(2)用极限的四则运算用极限的四则运算,复合函数求极限复合函数求极限, 连续函数求极限连续函数求极限(代入法代入法)*(4) 用等价无穷小代换用等价无穷小代换(3)有极限存在且不为有极限存在且不为0的因式的因式, 可以先算出其极限提出来可以先算出其极限提出来,再求剩再求剩下极限下极限.*

2、(5) 利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限.*(6)用洛必达法则求未定式的极限用洛必达法则求未定式的极限.(7)用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或积分中值公式用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或积分中值公式*(9). 用定积分的定义用定积分的定义(11). 用收敛级数的必要条件用收敛级数的必要条件 *(8). 用夹逼定理用夹逼定理*(10). 用单调有界证明用单调有界证明(单调递增有上界或者单调递减有下界单调递增有上界或者单调递减有下界) 设设 收敛收敛, 那么那么 (12). 柯西收敛准则柯西收敛准则(13). 施笃兹施笃兹(Stolz)定理定理专题专题2: 求极限问题的反问题求极限

3、问题的反问题专题专题4: 函数的连续性函数的连续性,间断点间断点 连续函数的性质连续函数的性质: 闭区间上的有界闭区间上的有界性、最值、零点、介值定理、根的存在性性、最值、零点、介值定理、根的存在性专题专题3: 无穷小无穷小(大大)及其阶及其阶专题专题5: 导数的概念与几何意义导数的概念与几何意义专题专题6: 各种导数的计算各种导数的计算参量函数求导参量函数求导(一阶、二阶一阶、二阶)隐函数求导隐函数求导 分段函数求导分段函数求导 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 专题专题7、利用导数研究函数的性态、利用导数研究函数的性态单调性、极值、最值、凹凸、拐点、渐近线和曲率单调性、极值、最值、凹凸、拐点、渐近

4、线和曲率专题专题8、积分的计算、积分的计算 1.换元法与分部积分法换元法与分部积分法 2. 常用技巧常用技巧: (1). 通过适当的变量变换或分部积分通过适当的变量变换或分部积分, 得到一个与原积分相同的积得到一个与原积分相同的积分分, 建立一个等式建立一个等式, 从中得出原来要计算的积分从中得出原来要计算的积分. (2). 将积分区间拆成两个将积分区间拆成两个, 再经适当的变换将两个区间上的积分合再经适当的变换将两个区间上的积分合并以化简并以化简. (3). 化成二重积分再交换积分次序化成二重积分再交换积分次序.专题专题9、反常积分、反常积分专题专题10、定积分的应用、定积分的应用专题专题1

5、1: 不等式问题不等式问题1. 微分学解决不等式问题常用方法微分学解决不等式问题常用方法(1). 用单调性用单调性 (2). 用最值用最值(3). 用拉格朗日中值定理或柯西公式用拉格朗日中值定理或柯西公式(4). 用拉格朗日余项泰勒公式用拉格朗日余项泰勒公式 (1) (1) 利用定积分的保序性；利用定积分的保序性； (2) (2) 利用定积分中值定理和被积函数的单调性；利用定积分中值定理和被积函数的单调性； (3) (3) 利用变上限定积分的单调性；利用变上限定积分的单调性； (4) (4) 利用利用CauchyCauchy不等式不等式 222( ) ( )d( )d( )d.bbbaaaf

6、x g xxfxxgxx (5) (5) 利用无穷级数做估值利用无穷级数做估值 (6) (6) 化成二重积分来处理化成二重积分来处理2、 定积分和反常积分中不等式问题所用的方法定积分和反常积分中不等式问题所用的方法专题专题12 函数零点问题函数零点问题,方程根的存在性方程根的存在性 (1) (1) 若题目中涉及连续函数若题目中涉及连续函数, , 一般用连续函数介值定理一般用连续函数介值定理( (或连续函数零点定理或连续函数零点定理); ); 若题目中涉及导数的零点若题目中涉及导数的零点, , 则一般利用罗尔定理或罗尔定理与连续函数介值定理则一般利用罗尔定理或罗尔定理与连续函数介值定理( (零点

7、定理零点定理) )的综合应用的综合应用; ; 如果讨论至多几个点如果讨论至多几个点, , 要利用单调性要利用单调性. . (2) (2) 含积分的零点问题含积分的零点问题方法方法1: 1: 将一个定积分看做一个变限函数将一个定积分看做一个变限函数, ,关于该积分的零点问题关于该积分的零点问题, ,可用微分学中的方法处理可用微分学中的方法处理. .方法方法2: 2: 用积分中值定理以及积分的其它性质用积分中值定理以及积分的其它性质 . .方法方法3: 3: 以某定积分为零作为条件以某定积分为零作为条件, ,讨论与此有关的函数的零点问题讨论与此有关的函数的零点问题. .判定极限存在的准则判定极限存

8、在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.准则准则I 夹逼准则夹逼准则 定理定理: : 若在若在 内或当内或当 时有不等式时有不等式成立，且成立，且 那么那么00(;)U x0 xN( )( )( )f xh xg x00 ()()lim( )lim( ),xxxxxxf xg xA0 ()lim( ).xxxh xA(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim两个重要极限两个重要极限);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中

9、的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地无穷小的比较无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存存在在且且设设.),0, 0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的是是是是就就说说如如果果kkCCk 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x2 sin tan arcsin arctan ln(1) 1,11 ln ,1cos,(1)1 (0)2xxaxxxxxxeaxaxxxax a 111.nxxn , )(a

10、f (1)(2)(3)f (x)在点在点a 处：处：(1) 连续连续 (2) 有极限有极限 (3) 有定义有定义 则称则称 y=f (x)在点在点 a 连续。连续。假设假设Axfax )(lim 函数连续的定义函数连续的定义三者关系是：三者关系是：跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点: :.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x间断点的分类间断点的分类0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)

11、(00类类间间断断点点的的第第二二为为函函数数则则称称点点至至少少有有一一个个不不存存在在右右极极限限处处的的左左在在点点如如果果xfxxxf定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. .定理定理( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .定理定理 (

12、 (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质导数的定义导数的定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 000( )()limxxf xf xxx 0()fx dydx00()( )limlim.xxyf xxf xyxx 单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 2.右导数右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxf

13、xxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.用定义用定义.含绝对值符号的函数怎么求导？含绝对值符号的函数怎么求导？在分段点处怎么求导？在分段点处怎么求导？分段函数的求导分段函数的求导写成分段函数再求导写成分段函数再求导.基本导数公式基本导数公式222()0(sin)cos(tan)sec(sec)sectan()ln1(log)ln1(arcsin)11(arctan)1xxaCxxxxxxxaaaxxaxxxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）1222()(cos )sin

14、(cot )csc(csc )csccot()1(ln )1(arccos )11(cot )1xxxxxxxxxxxeexxxxxx arc求导法则求导法则设设)(),(xvvxuu 可可导导，则则（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常数数),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则1( )( ),( ).( )xyyf xfxy 如如果果的的反反函函(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdudu

15、dydxdyxfyxuufy 或或的的导导数数为为则则复复合合函函数数而而设设(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(5) (5) 隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6)

16、(6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则高阶导数高阶导数,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)高阶导数的求法1.1.由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶

17、导数. 2. 2. 求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后, , 分析结果的规律性分析结果的规律性, ,写出写出n n阶导数阶导数.(.(数学归纳法证明数学归纳法证明) )3.利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算，通过四则运算， 变量代换等方法变量代换等方法, 求求n阶导数阶导数.常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1(

18、)1( nnnxnxnnnnaxaxaxay 1110o 1! 0)(nayn 0)2()1( nnyy高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式微分的定义微分的定义,求法求法定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfx

19、xfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )导数与微分的关系导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :计算函数的导数计

20、算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. . 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx dxxfdy)( 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)

21、(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arco112! )1(e! ! 21 nnxnnxxxo2mmmmxmmxxxx212153! )2(sin)1(! )12()1( ! 5! 3 o3121242! )12(cos)1(! )2()1( ! 4! 21 mmmmxmmxxx .)0(之之间间与与在在x 常用常用麦克劳林公式：麦克劳林公式：)0(之之间间与与在在x )0(之之间间与与在在

22、x xexsinxcoso4 nxxxxnn 132)1( 32o5nxnnxx! )1()1( ! 2)1(12 .)0(之之间间与与在在x .)1)(1()1( 11 nnnnx ) 1( ! )1()()1(11 nnxxnn 1)(0 .)ln(1x )1(x .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下

23、通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .或无穷大其他类型型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或0101 .0000 型型 . 2步骤步骤:步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o. 及时求出已定式的极限及时求出已定式的极限.1o. 需要先验证条件需要先验证条件.求函数极值和最值求函数极值和最值求极值的步骤：求极值的步骤：(1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点；求

24、函数的所有驻点和导数不存在的点；是是极极值值点点。改改变变符符号号，则则邻邻域域内内，若若在在00)( )2(xxfx 不不是是极极值值点点。否否则则0 x 变变的的符符号号由由时时，渐渐增增地地过过当当)(0 xfxx 变变的的符符号号由由时时，渐渐增增地地过过当当)(0 xfxx;)(0是是极极大大值值xf;)(0是是极极小小值值则则xf),0)(0 xf或或),0)(0 xf或或求求a,b上连续函数上连续函数f (x)的最值的步骤：的最值的步骤：(1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点；求函数的所有驻点和导数不存在的点；(2) 把把 f (x)在这些点的值与在这些点的值与f (a) ,

25、f (b)比较，最大者为最大值，最小者比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。为最小值。注：若连续函数注：若连续函数f (x)在区间在区间 I 内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；内有唯一的极值点。则极大值就是最大值； 极小值就是最小值。极小值就是最小值。, xfax )(lim若若.,a xxfx )(lim若若 是是斜斜渐渐近近线线。则则 bxay , baxxfx )(lim是是竖竖直直渐渐近近线线；则则ax 给定函数给定函数 y = f (x) ,求其竖直渐近线及斜渐近线。求其竖直渐近线及斜渐近线。 . 0 就就是是水水平平渐渐近近线线。），（其其中中，当当 bya .两者的联系与区

26、别？两者的联系与区别？2.不定积分不定积分，则则称称可可导导，且且内内若若在在某某区区间间)()()(xfxFxFI 的的原原函函数数。为为)()(xfxF的的全全体体原原函函数数。)(xf联络：它们的导数相同，都是联络：它们的导数相同，都是 f (x).原函数是不定积分中的一个函数。原函数是不定积分中的一个函数。区别：区别：.)( d)( CxFxxf 记记为为不定积分是函数族；不定积分是函数族；1. 原函数原函数 dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(4.微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，

27、)0 k5. 不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(3. 原函数存在定理原函数存在定理任何连续函数都有原函数。任何连续函数都有原函数。但是连续函数的原函数不一定是初等函数。但是连续函数的原函数不一定是初等函数。 xxx xx xx xx xx xxxx xx xx 2 dtansec 7 dcsc 6 dsec5 dcsc4 dsec3 dcot9 dtan 2 dcos8 dsin1 2Cx cosCx sinCx| cos|lnCx| sin|lnCx|x tansec|lnCx|x cotcsc|

28、lnCx tanCx cotCx sec.6. 基本积分公式基本积分公式. . . . 222d 15 d14d13 d12 d11axx axx xax xa xx 222x xxxdcotcsc 10Cx csc 1 111 |ln1 Cx CxCaax lnCaxaxa ln21Cax arcsinCaxa arctan1. xaxxaxxxa axxaxx 22222d 20d 19d18d 17d1622222Caxx )(ln22Caxaxax arcsin22222Caxxaaxx 22222ln22.Caxx 22ln.Caxxaaxx )ln(2222222.（第二换元）（第

29、二换元）（分步积分）（分步积分）（分步积分）（分步积分）（第二换元）（第二换元）（用第二换元法算得）（用第二换元法算得）Cx sh)21( xdxch xdxCx ch)22(sh8 8、第一类换元法、第一类换元法7 7、直接积分法、直接积分法定定理理 1 设设)(uf具具有有原原函函数数，)(xu 可可导导，则则有有换换元元公公式式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法）第一类换元公式凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln.

30、3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 反用第一换元法：反用第一换元法： xxfd)( ttgd)( )(CtG )( tx 令令 xttfd)()( )(1CxG , )()(是是已已知知这这里里tgtG . )()( 1的反函数的反函数是是tt .常用的代换有三角代换、双曲代换、倒代换等，用于：常用的代换有三角代换、双曲代换、倒代换等，用于：,)d,(22 xxaxR,)d,(22 xxaxR. )d,(22等形式的积分等形式的积分 xax

31、xR是否需要其它的代换，是否需要其它的代换， 具体问题，具体分析。具体问题，具体分析。存存在在并并可可导导，为为保保证证)(1t 的的某某一一区区间间在在要要求求 )(tt . 0)( t 单调、可导且单调、可导且.9 9、第二类换元法、第二类换元法1010、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 选择选择u u的有效方法的有效方法: :(1)(1)反对幂三指反对幂三指L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数； 哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.(2)LIATE选择

32、法选择法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式11 有理函数的积分有理函数的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分可化为有理函数进行积分可化为有理函数进行积分 1 1三角函数有理式可表为三角函数有理式可表为 2 2用万能置换可化为有理函数的积分，故三角用万能置换可

33、化为有理函数的积分，故三角 函数的有理式都能函数的有理式都能“积得出来积得出来”.”. 3 3万能置换万能置换(sin ,cos )Rxx令 ，那么故tan2xt 2222212sin,cos,dd ,111ttxxxtttt2122221,d11(sin ,cos )d1( )d .tttRtttx xR tttRx 某些无理函数某些无理函数有理化有理化1 ,dnaxbR xxcxh 为使其有理化，只需作变换为使其有理化，只需作变换 12(),dd .()nnnnnn ahbc thtbxxtacaxbtcxcthta即即,22 ( ,)dR xaxbxcx 先配方，再作三角代换，即可有理化

34、。定积分定积分和和S总趋于总趋于设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，1.定义定义 baIdxxf)(iinixf )(lim10 .记记,max21nxxx ，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，确确定定的的极极限限I，如如果果不不论论对对,ba怎怎样样的的分分法法，点点i 怎怎样样只只要要当当0 时时，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，实质: 通过分割,取介点,求和,取极限得到的一类特殊和式的极限.是个确定的数.与被积函数和积分区间有关,与积分变量的符号无关. 用定积分的定义求极限用定积分的定义求极限na

35、bnabiafnin 1)(lim niiinxxf1)(lim.d)( baxxf .,)(上上连连续续在在设设baxf分分点点的的坐坐标标为为,nabxi .,2 , 1 ni ., ban等等分分基本思想：基本思想：则则每每一一子子区区间间长长度度为为 ,)(nabiaxi abixxy0.,2 , 1 ni 时时，当当1,0 bannifnin1)(lim1 .d)(10 xxf.f (x)2 2、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数)性质性质2 badxxf)( bc

36、cadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则在积分区间则在积分区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分

37、别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，积分中值公式积分中值公式注：此定理解决积分去掉积分号的问题。注：此定理解决积分去掉积分号的问题。?)( x F)()(xfxF )(d)()(xgattfxgF?)( d)()( )()( xFttfxFxgxh 则则，若若)()()(xgxgfxF )()(xhxhf .有有何何关关系系？)( d)()( ) 1xfttfxFxa与?)( xgF (1)关于积分限为变元的函数关于积分限为变元的函数 xattfxFd)()(.)( d)()( )2)(xFttf

38、xFxga 则则若若，)()(xgxgf .3 3、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式(2)（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4 4、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1换元法换元法（2分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv (1) 变量代换写出，要换限；变量代换写出，要换限； (2) 被积函数表示式受积分限的

39、制约。被积函数表示式受积分限的制约。 (3) 不用回代不用回代. 计算定积分计算定积分(NL公式）公式）与计算不定积分的不同之处：与计算不定积分的不同之处：5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形ababX型区域的面积型区域的面积1)如果图形为：如果图形为：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DY 型区域的面积型区域的面积21( )( )baAyy dy如果曲边梯形的曲

40、边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数2) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形3)(2) 体积体积xdxx xyo2 ( )bxaVf xdx 2 ( )dycVydy xyo)(yx cd2 ( )by kaVf xk dx 2 ( )dx

41、 acVya dy xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay| )(|2 柱壳法(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线

42、弧为6.6.若干重要结果若干重要结果2200(1)sin d0,cos d0,x xx x2200 sin dcos d1,x xx x0 sin d2;x x 0(2)( )d( )() daaaf xxf xfxx00 ( )2( )d( )af xf xxf x为函数，为函数，为函数；为函数；奇奇偶偶，3( )f xT是是周周期期为为 的的函函数数, ,则则（ ）0( )d( )d (),a TTaf xxf xxx R00( )d( )d ();nTTf xxnf xxn +Z22004sindcosdnnx xx x（ ）（ ）(1)!,!(1)!,!2nnnnnn为奇数，为奇数，为偶数；为偶数；005(sin )d(sin )d ,2xfxxfxx（ ）200sind2sind ;nnx xx x2+06ed;2xx（ ）7、广义、广义(反常反常)积分积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.(2