有限元分析第5章平面矩形单元与平面等参单元

1、有限元分析有限元分析内容内容 平面矩形单元与平面等参单元平面矩形单元与平面等参单元 1 平面平面矩形单元分析矩形单元分析 2 等参单元的等参单元的概念概念 3 平面平面四节点等参单元分析四节点等参单元分析要求要求 理解：平面矩形单元分析流程理解：平面矩形单元分析流程 平面矩形单元与三角形单元的比较平面矩形单元与三角形单元的比较 等参单元的目的和实现方法等参单元的目的和实现方法 掌握：掌握： 等参单元分析的基本思想等参单元分析的基本思想 课后作业课后作业 收集、阅读平面收集、阅读平面8节点等参元分析资料节点等参元分析资料回顾回顾整体离散单元组装人工节点人工节点逼近离散逼近离散单元刚度方程单元刚度

2、方程 eeeKF KP总体刚度方程总体刚度方程回顾回顾2. 单元分片插值（单元分析）单元分片插值（单元分析）几何形状，特别是边界的逼近程度。插值多项式的项数的截取。3. 其它其它回顾回顾回顾回顾节点位移节点位移内部节点位移内部节点位移vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo,0,0,0,0,0,0,iiijmjijmjmmuvN x yN x yN x yu x yuN x yN x yN x yv x yvuv 1,()2iiiiNx yab xc yA如何增加？如何增加？一、平面矩形单元(xm, ym)uivi(xi, yi)(xj

3、, yj)ijmumvjvmuj(xk, yk)kukvkaabbx, y, 矩形单元也是常用的单元之一，由于矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。位移状态和应力状态。如图所示四节点矩形单元，记单元的节点位移向量 和节点力向量为： FTiijjmmkkuvuvuvuvTxiyix jy jxmymxkykFFFFFFFFF为了能推导出简洁的结果，在这里引入无量纲坐标： xayb(xm, ym)uivi(xi, yi)(xj, yj)ijmumvj

4、vmuj(xk, yk)kukvkaabbx, y, 11 11 单元位移场由图可以看出，节点条件共有8个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，可以取以下多项式作为单元的位移场模式：12345678vuaa xa ya xyaa xa ya xy它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以上两式中右端的第四项是考虑到x和y方向的对称性而取的。 48,a xy a xy由节点条件，在处，有 ,(, , )rrxxyyri j m k,(, , ,),rrrrrru xyuri j k mv xyv回代，可以求解出待定系数，然后整理可得18aa00000000ijmkijmkNNNNuNN

5、NNv N其中，N为单元的形函数矩阵，1114111411141114ijmkxyNabxyNabxyNabxyNab如以无量纲坐标系来表达，则上式可以写成111(, , )4rrrNri j m k 其中：,(, , )rrrrxyri j m kaa(xm, ym)uivi(xi, yi)(xj, yj)ijmumvjvmuj(xk, yk)kukvkaabbx, y, xayb单元应变场根据单元的位移场函数式，由几何方程可以得到单元的应变场表达式，010uubxvvayabuvuvabyx记为：Bxayb这里，B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形式ijmkBBBBB其中 0(

6、1)01100(1)(, , ,)4(1)(1)rrrrrrrrrrrrrNbbNaari j k mabababNNabB注意注意：矩形单元的应变场为一次线性函数。矩形单元的应变场为一次线性函数。单元应力场由物理方程及应变矩阵，可以得到单元的应力场表达式，DDBS其中为应力矩阵，D称为弹性矩阵，对于平面应力问题，SDB21010(1)1002ED注意注意：矩形单元的应力场为一次线性函数。矩形单元的应力场为一次线性函数。将应力矩阵表示为分块矩阵的形式ijmkSSSSS其中：2(1)(1)(1)(1)(, , ,)4(1)11(1)(1)22rrrrrrrrrrrrrrbaEbari j k m

7、abab SDB对于平面应变问题，只需将E换为，换为。 21E1单元刚度矩阵和三角形单元一样，可以根据虚功理导出节点位移向量和节点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵，可以将其写成分块的形式。K8 8iiijimikjijjjmjkmimjmmmkkikjkmkkkkkkkkkkkkkkkkkkk其中d( , , )Trsrsr si j m kkB DB对于平面应力问题，如果单元厚度t为常数，则可得刚度矩阵的显式形式： 21131211123, , ,4(1)1131211123rsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsbaabEtr si j m kb aa b k1111( , ,

8、 )Trsrsabd d tr si j m k kB DB积分得：等参单元二、平面等参单元问题：能否利用规则的平面矩形单元的结果来研究不规则的任意四边形单元的计算公式？思路：任意直四边形可看成是正四边形( (常称为母元) )的变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。重点：1 1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系2 2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边形的单刚矩阵（包括母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算）等参单元分析范例平面4节点等参单元1、等参变换（坐标映射）目的：建立矩形母单元与任意

9、四边形单元的坐标映射关系12345678xy iiiixfy（1,2,3,4）， xfy 解法解法：插值插值代入4个角点坐标，确定系数。1122334411223344xN xN xN xN xyN yN yN yN y求出待定系数，得求出待定系数，得 1111xfy 2211xfy 3311xfy 3311xfy 12341114111411141114NNNN 1,114iiiN i = 1,2,3,4将四角点的局部坐标代入将四角点的局部坐标代入12345678xy 2、等参单元位移函数从坐标变换可知, ,等参单元位移与母元间位移仅相差坐标变换式, ,而母元单元内任意点P的位移函数i3、等

10、参单元应变矩阵1412341238000,000000000uxxuNNNNvNyyNNNvuvyxyx iiiiiiNNNxyxyNNNxyxy由几何方程，得由几何方程，得新问题：形函数是局部坐标的函数，而局部坐标又是整体坐标的函数，故：iiiiNxyNxNNxyy3、等参单元应变矩阵iiiiNxyNxNNxyy iiiiNNxJNNy 11yyJxxJ 1iiiiNNxJNNy xyJxy称为雅克比矩阵，且44114411,iiiiiiiiiiiixyyxJNxNxxxNyNyyy3、等参单元应变矩阵 13421131244112233444,00000000eeNNNNuxxxxvNNN

11、NByyyyuNNNNNNNNvyxyxyxyx 4、等参单元应力矩阵 DDBS5、等参单元刚度矩阵 eTkBD B tdA求微小平行四边形面积1111 |eTktBD BJd d 注：等参单元的刚度积分一般很难有解析式，必须进行数值积分，目前普遍采用高斯数值积分法（略）。等参单元小结1、等参单元存在的充要条件是|J|0为了保证能进行等参变换( (即总体坐标与局部坐标一一对应) )，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180180度情况。等参单元小结 2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。3、前述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同，故被称为等参元。如取坐标变换的几何模式阶次较单元