2018版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合教师用书理新人教版

1、第十章计数原理 10.2 排列与组合教师用书 理新人教版基础知识自主学习基础知识自主学习ET知识梳理-i .排列与组合的概念名称定义排列从n个不冋兀素中取出mmKn)个兀素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1) 排列数的定义：从n个不同元素中取出n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 A 表示.(2) 组合数的定义：从n个不同元素中取出mmKn)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 C 表示.3 排列数、组合数的公式及性质(1)Am=n(n 1)(n 2)-( n1)n!公式nm!mAn n 1n2n

2、m+1(2)Cn= Am=m=n!m nm!性质(1) 0 ! = 1 ； A=n!_ mnm_m_m_m_ 1(2) Cn= Cn； Cn+1= G+CT【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(X)(2) 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(X)2(3) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(4) (n+1)! -n!=nn!.(V)(5) Am=nA-1.(V)(6)kCn=nCS-l(V)考点自测1 . （2016 四川）用数字 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A. 24B

3、. 48C. 60D. 72答案 D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5 ;分为两步：先从 1,3,5 三个数中选一个作为个位数有C 种情况，再将剩下的 4 个数字排列得到 A4种情况，则满足条件的五位数有 d A4= 72（个）.故选 D.2.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A. 144 B . 120 C . 72 D . 24答案 D解析 “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为 局=4X3X2= 24.3.（教材改编）用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位数，其中偶

4、数的个数为（）A. 8 B . 24 C . 48 D . 120答案 C解析 末位数字排法有 &种，其他位置排法有 A 种，共有AA4=48（种）.4._ 某高三毕业班有40 人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 _ 条毕业留言.（用数字作答）答案 1 560解析依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A40= 40X39= 1 560（条）留言.35 .某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案有 _种.答案 14解析分两类：有 1 名女生：C

5、2C4=8.有 2 名女生：C2C4=6.不同的选派方案有 8+ 6 = 14(种).题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一排列问题例 1 (1)3 名男生，4 名女生，选其中 5 人排成一排，则有 _ 种不同的排法.(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种.答案 (1)2 520(2)216解析(1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有A7=2 520(种)排法.(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A5种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有 dA4种.故不同的排法共有A5+CA4=120+ 96 = 216(种

6、).引申探究1 本例(1)中若将条件“选其中 5 人排成一排”改为“排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解 前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A7= 5 040(种)排法.2 .本例(1)中若将条件“选其中 5 人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解 相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有Ai种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A4种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2种排法.根据分步乘法计数原理，共有ATA4A2=288(种)排法.3.本例(1)中若

7、将条件“选其中 5 人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解 不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A4种排法，男生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排 共有 A54种排法，故共有 A4A3=1 440(种)排法.4 .本例(1)中若将条件“选其中 5 人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解 先安排甲，从除去排头和排尾的5 个位置中安排甲，有A5=5（种）排法；再安排其他人，有 A6= 720（种）排法.所以共有 足 3 600（种）排法.思维升华排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件

8、的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法孑“汕由 0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数.求：（1）有多少个含 2,3，但它们不相邻的五位数？（2）有多少个含数字 1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解（1）先不考虑 0 是否在首位，0,1,4,5 先排三个位置，则有 A3个，2,3 去排四个空档，有A4个，即有A4A个；而 0 在

9、首位时，有AA2个，即有A4A4= 252（个）含有 2,3，但它们不 相邻的五位数.（2）在六个位置先排 0,4,5，先不考虑 0 是否在首位，则有 A6个，去掉 0 在首位，即有 A3A个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3 必须由大到小进入相应位置， 并不能自由排列，所以有 A3 A5= 100（个）六位数.题型二组合问题例 2（1）若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是（）A. 60B. 63C. 65D. 66（2）要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，代B, C三人必须入选，则有 _种不同选法.答

10、案（1）D（2）36解析（1）因为 1,2,3，9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，贝 U 4 个数全为5奇数或全为偶数或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C4+ d + c5d= 66（种）不同的取法.只需从A,B, C之外的 9 人中选择 2 人，即有 C9= 36（种）不同的选法.引申探究1 本例(2)中若将条件“AB,C三人必须入选”改为“A,B, C三人都不能入选”，其他条 件不变，则不同的选法有多少种？解 由 A,B，C三人都不能入选只需从余下9 人中选择 5 人，即有 C9= C9= 126(种)不同的选法.2 本例(2)中若将条件“A B,C三人必须

11、入选”改为“A,B, C三人只有一人入选”，其他 条件不变，则不同的选法有多少种？解 可分两步，先从代B,C三人中选出 1 人，有 d 种选法，再从余下的 9 人中选 4 人，有 C 种选法，所以共有 C3xc 9= 378(种)不同的选法.3 本例中若将条件“A, B,C三人必须入选”改为“A,B, C三人至少一人入选”，其他 条件不变，则不同的选法有多少种？解 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C；2种，再减去A, B, C三人都不入选的情况 C9种, 共有 C?2d = 666(种)不同的选法.思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1) “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：

12、“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2) “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至 多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法 分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.(1) 其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2) 其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3) 恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4) 至少有 2 种假货在内，不同

13、的取法有多少种？(5) 至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C34= 561(种),6某一种假货必须在内的不同取法有561 种.从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 目种或者 C35 C34= CL= 5 984(种).某一种假货不能在内的不同取法有5 984 种.从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C2cd5= 2 100（种）.恰有 2 种假货在内的不同的取法有2 100 种. 选取 2 件假货有 氏蘇种，选取 3 件假货有 必种，共有选取方式 氏嗓+ 5 = 2 100 + 455=2 555（种

14、）.至少有 2 种假货在内的不同的取法有2 555 种.选取 3 件的总数为 ds,因此共有选取方式C65- 0*5= 6 545 - 455= 6 090（种）.至多有 2 种假货在内的不同的取法有6 090 种.题型三排列与组合问题的综合应用命题点 1 相邻问题例 3（2017 济南调研）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A.3X3!B. 3X（3!）3C. （3 ! ）4D. 9!答案 C解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3 家，所以有（3 ! ）4种坐法.命题点 2 相间问题例 4 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目

15、和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 _.答案 120解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声”，“小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”.对 于第一种情况，形式为“小品1 歌舞 1 小品 2相声”，有 恋 4 届=36（种）安排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“口 小品 1 相声小品 2”，有 AA4= 48（种）安排方法.由分类加法计数原理知共有 36 + 36 + 48= 120（种）安排方法.7命题点 3 特

16、殊元素（位置）问题例 5（2016 郑州检测）从 1,2,3,4,5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有 2 和 3 时，2 需排在 3 的前面（不一定相邻），这样的三位数有 _ 个.答案 51解析 分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有Al= 6（个）;23第二类，只有 2 或 3 其中的一个，需从 1,4,5 中选两个数字组成三位数，有 2C3A?= 36（个）； 第三类，2,3 均有，再从 1,4,5 中选一个，因为 2 需排在 3 的前面，所以可组成1C3A3=9（个）. 由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51 个.思维升华排列与组合综

17、合问题的常见类型及解题策略（1）相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列. 相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.（3）特殊元素（位置）优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.（4）多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数.芒匸阳： （1）（2016 山西四校联考三）有 5 名优秀毕业生到母校的3 个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A. 15

18、0B. 180C. 200D. 280（2）将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3 所大学，若每所大学至少保送 1 人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（）A. 150 种B. 114 种C. 100 种D. 72 种答案（1）A（2）C8C2C2解析（1）分两类：一类，3 个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有 CAC-A!=90（种）分派方法；另一类，3 个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有CTA3=60（种）分派方法，所以不同分派方法种数为 90+ 60= 150,故选 A.（2）先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1

19、或者 3,1,1 ,所以CCC!CCC共有 3 尹+艺尹=25（种）分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有 4 种方法，所以不同的保送方案共有25X4=100（种）.现场纠错系列14.排列、组合问题典例 有 20 个零件，其中 16 个一等品，4 个二等品，若从 20 个零件中任意取 3 个，那么至 少有 1 个一等品的不同取法有 _种.错解展示解析 先从一等品中取 1 个， 有 C；6种取法； 再从余下的 19 个零件中任取 2 个， 有种不同 取法， 共有 C6XCW= 2 736（种）不同取法.答案 2 736现场纠错解析 方

20、法一 将“至少有 1 个是一等品的不同取法”分三类： “恰有 1 个一等品”， “恰 有 2 个一等品”，“恰有 3 个一等品”，由分类加法计数原理，知有C6&+ 6&+ C?6= 1136（种）.方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：CL C4= 1 136（种）.答案 1 136纠错心得（1）解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件.解题时要细心、周全，做到不重不漏9课时作业课时作业1 .两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一

21、定要排在一起，则这6 人的入园顺序排法种数为（）A. 48 B . 36 C . 24 D . 12答案 C解析（捆绑法）爸爸排法有 A2种，两个小孩排在一起故看成一体，有A2种排法，妈妈和孩子共有 A3种排法，排法种数共有AAA3=24（种）.故选 C.2 .（2016 黄山月考）某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A. 16 B . 18 C . 24 D . 32答案 C解析 将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3 辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A3=6（种）排法，再将捆绑在一起

22、的四个车位插入4 个空档中，有 4 种方法，故共有 4X6= 24（种）方法.3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A. 34 种B. 48 种C. 96 种D. 144 种答案 C解析 程序A有血=2（种）结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的 3 个元素排列有AA=48（种），由分步乘法计数原理，知实验编排共有2X48= 96（种）方法.4 .将A,B, C, D, E排成一列，要求A,B,C在排列中顺序为“A, B, C或“C,B, A”（可以不相邻），这样的排列数有（）A.

23、 12 种B. 20 种C. 40 种D. 60 种答案 C10解析（消序法）五个元素没有限制全排列为A5,由于要求A, B C的次序一定（按A, B, C或C, B,A）,故除以这三个元素的全排列Al,A可得 AsX2= 40（种）.5. （2016 长沙模拟）某校高二年级共有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级 的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为（）A. A6ciB.C2C. A2A4D. 2A2答案 B解析 方法一 将 4 人平均分成两组有1C2种方法，将此两组分配到6 个班级中的 2 个班有A2种.1所以不同的安排方法有-C4A2（种）.方法二 先从

24、 6 个班级中选 2 个班级有C2种不同方法，然后安排学生有 6C 种，故有C6C4C2=2 必（种）6.（2017 汉中质检）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（）A. 24 对B. 30 对C. 48 对D. 60 对答案 C解析 正方体中共有 12 条面对角线，任取两条作为一对共有C-2= 66（对）,12 条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60角相对两面上的 4 条对角线组成的 C4= 6（对）组合中，平行有 2 对，垂直有 4 对，所以所有的平行和垂直共有3C4= 18（对）.所以成 60角的有 C2 3CU 66 - 18= 48（对）.7

25、.（2016 北京西城区期末）现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小11组的带队教师至多2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种.（用数字作答）答案 54解析 第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3 人分成两组，再分配到 3 个小组中，有CA3= 18 （种）； 第二类， 先把另外的 3 人分配到 3 个小组， 再把甲、 乙分配到其中 2 个小组，有AA3=36（种）.根据分类加法计数原理可得，共有 36 + 18= 54（种）.8._（2017 福州质检）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券 分配

26、给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有种.（用数字作答）答案 60解析 分两类：第一类：3 张中奖奖券分给 3 个人，共 A4种分法；第二类：3 张中奖奖券分给 2 个人相当于把 3 张中奖奖券分两组再分给 4 人中的 2 人，共有色A种分法.总获奖情况共有 A3+幺兀=60（种）.9.把 5 件不同产品摆成一排， 若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 _ 种答案 36解析 先考虑产品A与B相邻，把A, B作为一个元素有 A4种方法，而A, B可交换位置，所 以有 2A4= 48（种）摆法，又当A B相邻且又满足A,C相邻，有 2A3= 12（种）摆法，故满足条 件

27、的摆法有 48- 12= 36（种）.10若把英语单词“ good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有 _种.答案 11解析 把 g、o、o、d 4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g 和 d，共有 A4种排法；第二步：排两个 o.共一种排法，所以总的排法种数为AJ= 12.其中正确的有一种，所以错误的共有A 1= 12- 1= 11（种）.11 将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 _种 （ 用数字作答 ）答案 480解析 从左往右看，若C排在第 1 位，共有 A5= 120（种）排法；若C排在第 2 位，A和B有C右边的4

28、 个位置可以选，共有ATA；=72（种）排法；若C排在第 3 位，则 A,B可排C的左侧 或右侧，共有A73 +AA3= 48 （种） 排法； 若C排在第 4,5,6 位时， 其排法数与排在第 3,2,1 位相同， 故共有 2X（12012+ 72 + 48） = 480（种）排法.12.（2017 青岛月考）2016 年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后 四位数从“ 0000”到“9999”共 10 000 个号码中选择. 公司规定： 凡卡号的后四位恰带有两 个数字“ 6”或恰带有两个数字“ 8”的一律作为“金猴卡”， 享受一定优惠政策.如后四位 数为“ 2663”， “ 8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数.解 当后四位数恰有 2 个 6 时，“金猴卡”共有 Cjx9X9= 48