2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案(含解析

1、般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式设ai,a2,a3,bi,b2,b3是实数，则(ai+a2+a3)(bi+b2+b2) (aibi+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi= 0(i= i,2,3)或存在一个数k,使得a= kb(i= 1,2,3)时等号成立.2.一般形式的柯西不等式设ai,a2,a3,，an,bi,b2,b3,，bn是实数，则(a2+a2+ +a2)(b2+b2+ +bl) (aibi+a2b2+ +anbn)2，当且仅当b= 0(i=i,2，n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i= i,2，n)时，等号成立.利用柯西不等式证明不等式i i设Xi,X2,，Xn都是正数

2、，求证：一+ + ,XiX2XnXi+X2+Xn根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明.(i ii fsS/(Xi +X2+ +Xn)i+ XiX2Xn；ii二 + +XiX2方法规律小结柯西不等式的结构特征可以记为:(ai+a2+an)(b+ b+ +bn)aibi+a2b2+. anbn)2.其中a,FU(i= 1,2，n).在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键.4窥血臬剖；i.已知a,b,c,d FU且a+b+c= i.求证：.3a+ i +、3b+ i + .3c+ i32.+2niXnXi+X2

3、+Xn屮十仮卡)X2Xn2证明：根据柯西不等式，有(3a+ 1 + 3b+ 1 + 3c+ 1)2(1 + 1 + 1)(3a+ 1+ 3b+ 1+ 3c+ 1) = 18, 3a+1+3b+1+3c+1 1.a+a2a2+a3a3+a1A_追1一z二:1 1所以 + + 1.a+a2a2+a3a3+a1利用柯西不等式求最值ItH|149(1)已知x,y,zR+,且x+y+z= 1，求+ + -的最小值.入y乙设 2x+ 3y+ 5z= 29,求函数 卩=.2x+ 1 + . 3y+ 4 + . 5z+ 6 的最大值.2设a1,a2,a3均为正数,9 八且a1+a2+a3=空求证:1 1 1+

4、 + 1.a1+a2a2+a3a3+a1证明:法一：由柯西不等式,1；a3+a11+a3+1店店+ a1 2= 9,- a1+a2+ - 辰辰+ as当且仅当(+a2)= (rja2+a3)a2+a3+3+a2a2+a3a3+a1133a1+a2a2+a3a3+a1= 9,当且仅当a1=a2=a3时，等号成立，-2X* 99,3即a1=a2=a3= ?时，等号1 1+0+ 话又a1+a2+as= |1+ +a2+a3a3+a13(1)巧妙利用“ 1”的代换，构造柯西不等式来求最值.(2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值. x+ y + z= 1,149149 _ F =1-(x+y+z)x

5、 y z x y z4吋声+話呵=(1 + 2 + 3)2= 36.当且仅当x=y=Z,231 1 1即x=6，y=3，z=时，等号成立.1 4 9，+所以-+十-的最小值为 36.x y z(2)根据柯西不等式，有(2x+ 1 T+3y+ 4 - 1+5z+ 6 - 1)(x+y+z) = 12 ,4 均为正数，三个正方形面积之和S=1即x+y+z48.从而S 花x48= 3.当且仅当1=y=彳时，等号成立.又x+y+z= 12,.x=y=z= 4 时，Smin= 3.故把绳子三等分时，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，最小值为 3 m2.1.设a= ( 2,1,2) ,|b| = 6,

6、A.18B. 6C. 18D. 12解析：选 C |a bla|b| ,/ |a blw18. 18abw18,2 22.已知a1+a2+当a,b反向时，a,b最小，最小值一 18.2 2 2 2+an= 1,X1+X2+Xn= 1，贝Ua1X1+82x2+anxn的最大值是( q Jk1 IA. 1B. 2C. 3D. 4解析：选 A(ax1+a2X2+ +anXn)2w(a1+a2+a2)(x2+x2+x2)=1x1=1,x1X2且仅当=x;Xn-=1 时取等号,an8X1+a2X2+anxn的最大值是 1.A. 5C. 25课时跟踪检测（十）54.已知x,y,zR,且x 2y 3z= 4

7、,贝U x+y+z的最小值为()6A.77B.8C-77D.4解析：选 A 由柯西不等式，得2/2222“八222、w(x+y+z)，即(x 2y 3z) 8.y z2当且仅当x=时，等号成立,2 3 7即x1 2 3 4 5+y6+z7的最小值为8.2 2 2 _5.已知 2x+ 3y+z= 8,则x+y+z取得最小值时，x,y,z形成的点(x ,y,z) =_82(22+ 32+ 12)(x2+y2+z2) (2x+ 3y+z)2,即x2+y2+z2 =x y当且仅当 2=3 =z时，等号成立.又 2x+ 3y+z= 8,8124十亠一12 4解得x= 7,y= ,z= 7，所求点为, ,

8、 7 .答案：8 空 4答案：7，7, 76._ 已知实数x,y,z满足x+ 2y+z= 1,则x2+ 4y2+z2的最小值为 _.2 2 2 2解析：由柯西不等式，得(x+ 4y+z)(1 + 1 + 1)(x+ 2y+z).2 2 2/ x+ 2y+z= 1,.3(x+ 4y+z) 1,1 1 即x+ 4y+z3.当且仅当x= 2y=z= 3,1 1 1 即x= 3,y= 6,z= 3 时，等号成立，故x2+ 4y2+z2的最小值为1 答案：37._已知a,b,cR+且a+b+c= 6,则/2a/2b+1 + p2c+ 3 的最大值为 _ .解析：由柯西不等式，得，2a+ 2b+ 1 + . 2c+ 3)2= (1x2a+ 1x-2b+ 1 +1X2c+3)2 =1,1即(y 1) + (x+y 3) + (2x+y 6)韦y 1 3 xy2x+y 6551当且仅当-=-，即x= ,y= 时，等号成立，此时有最小值.12 1 2 6 6._z彈關逊 10.已知不等式|a 2| 石.x yJ2y f3z6326当且仅当彳=亍=，即x=石，y=后,z=石时取等号，则|a 2| 石，所以实数3.已知：x,y,zR+且x+y+z=2,则，x+ 2. y+ 3z的最大值