D5_7物理应用

1、第七节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理上的应用 第五五章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.一个单求电场力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 当单位正电荷距离

2、原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, S例例2.体, 求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.xxdx 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素为WdxFdx

3、xkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wdxxdg9故所求功为50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 结束 05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体对薄板的侧压力二、液体对薄板的侧压

4、力设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强xpg33g2R例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为一横放的半径为R 的圆柱形桶,内盛半桶密度为 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明:

5、当桶内充满液体时, )(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyRxxxd例例5 5 有等腰梯形水闸，如图所示，上底长6m，下底2m，高10m。试求当水面位于上底下2 m 时，闸门所受的水压力。 xx+dxx2B(10,1)A(0,3)Oy解解：建立坐标系如图所示。 直线AB的方程为)0(100133xy35xy即闸门上对应于区间x，x+dx窄条形所受的压力约为xxxgPd)35(2)2(d102d)35)(2(2xxxgP102236101

6、7152xxxg)8 . 9( 7 .9611514721573623mKNgKNgg内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 条条、段段、环环、带带、解解：建立坐标系如图所示。相应于区间x，x+dx的球体中的薄片（球台）的体积约为 xxRVd)(d22当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x，所需做的功

7、约为xxRxRgWd)(d22于是 RRxxRxRgWd)(22O xR+x x水面1 1 半径为R 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？ RRxxRxRgWd)(22RRxxRRgd)(22RxxRRg02232O xR+x x水面gR 434锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .2斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lgloyxy则其方程为问斜边与水面交成的xxxd机

8、动 目录 上页 下页 返回 结束 sin0lP)cos(cos633lgP机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故此唯一驻点0即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即0sincos3sin2, ),0(2loyxyxxxd解解由题意木板对铁第一次锤击时所作的功为3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？P186(6)n101d)(xxfw,2k设 次击入的总深度为 厘米，hn次锤击所作的总功为n.d)(0hhxxfw钉的阻力为

9、（设x轴正向与打击方向相同，k为阻力系数）kxxf)(依题意知，每次锤击所作的功相等hhxkxw0d1nwwh,22kh22kh第 次击入的深度为n,2kn次击入的总深度为n,nh . 1nn习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、体积、 弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第五五章 例例1. 求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设

10、抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设非负函数上满足在 1,0)(x

11、f)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得机动 目录 上页 下页 返回 结束 又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1机动 目录 上页 下页 返

12、回 结束 例例3. 设有半径为 R 的半球形容器如图.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyR hR设经过 t 秒容器内水深为h ,. )(thh 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyhR(1) 求thdd由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20两边对 t 求导, 得)2(2hRh thddathdd)2(2hRhaat (升) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提对应于d,yyyyx d2微元体积:微元的重力 :yx dg2薄层所需的功元素oxRyWdyx dg2)(yR yyRyRyd)(2(g2故所求功为WR0gyyyRyRd)32(322